В предыдущем параграфе было установлено, что когда $w_{i}$ изменяется на единицу, координата $q_{i}$ совершает полный цикл изменения. В случае периодического движения типа либрации это означает, что $q_{i}$ возвращается к своему первоначальному значению. Следовательно, в случае либрации переменная $q_{i}$ должна быть периодической функцией переменной $w_{i}$, и период этой функции должен быть равен $\Delta w_{i}=1$. Поэтому либрационную координату $q_{k}$ можно представить в виде ряда
\[
q_{k}=\sum_{j=-\infty}^{\infty} a_{j} e^{2 \pi i j w_{k}} \quad \text { (либрация), }
\]

являющегося рядом Фурье. Согласно (9.39) его можно записать в виде
\[
q_{k}=\sum_{j=-\infty}^{\infty} a_{j} e^{2 \pi i j\left(v_{k} t+\beta_{k}\right)} \quad \text { (либрация), }
\]

где $j$-целое число, пробегающее значения от $-\infty$ до $+\infty$. Коэффициенты этого ряда определяются известными равенствами
\[
a_{j}=\int_{0}^{1} q_{k} e^{-2 \pi i j w_{k}} d w_{k} .
\]

Если же движение носит вращательный характер, то изменению $w_{k}$ на единицу соответствует увеличение переменной $q_{k}$ на величину ее периода $q_{0 k}$. Поэтому такая координата не является периодической функцией $w_{k}$, но легко видеть, что разность $q_{k}-w_{k} q_{0 k}$ будет в этом случае периодической функцией $w_{k}$ с периодом, равным единице. Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье
\[
q_{k}-w_{k} q_{0 k}=\sum_{j=-\infty}^{\infty} a_{j} e^{2 \pi i j w_{k}} \quad \text { (вращение). }
\]

Соответствующая зависимость от времени будет выражаться рядом
\[
q_{k}-\left(v_{k} t+\beta_{k}\right) q_{0 k}=\sum_{j=-\infty}^{\infty} a_{j} e^{2 \pi i j\left(v_{k} t+\beta_{k}\right)} \quad \text { (вращение). }
\]

Следовательно, и при либрации, и при вращении зависимость $q_{k}$ от $t$ можно представить с помощью суммы гармоник, частоты которых кратны $v_{k}$. Однако если мы будем рассматривать функцию нескольких $q_{k}$, то в ее ряд Фурье будут входить члены, соответствующие нескольким частотам $v_{k}$. Например, декартовы координаты $x_{i}$ часто являются неразделяющимися. Однако они могут быть выражены через ғазделяющиеся координаты $q_{k}$, и тогда ряд Фурье для $x_{i}$ будет содержать все возможные линейные комбинации основных частот $v_{k}$. Таким образом, мы приходим к разложению вида
\[
x_{i}=\sum_{j_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{i_{2}=-\infty}^{\infty} \ldots \sum_{i_{n}=-\infty}^{\infty} a_{j_{1}} \cdots i_{n} e^{2 \pi l\left(l_{1} w_{1}+l_{2} w_{2} \cdots l_{n} w_{n}\right)},
\]

где $j$-целые числа, пробегающие значения от $-\infty$ до $+\infty$. Переходя к зависимости от $t$, мы можем записать это уравнение в следующем окончательном виде:
\[
x_{i}=\sum_{i_{1}=-\infty}^{\infty} \ldots \sum_{i_{n}=-\infty}^{\infty} a_{l_{1}} \ldots f_{n} e^{2 \pi i\left(f_{11}+\cdots l_{n} v_{n}\right)^{t+2 \pi i}\left(i_{1} \beta_{1}+\cdots l_{n} \beta_{n}\right)} .
\]

Пусть теперь не все $v_{i}$ являются соизмеримыми. Тогда функция (9.49) не будет периодической функцией времени в обычном смысле этого слова [как, например, функция (9.46a)]. Это связано с тем, что хотя множитель
\[
e^{2 \pi i l_{1} v_{1} t}
\]

и является периодической функцией $t$, однако период его $1 / v_{1}$ несоизмерим с периодами других аналогичных множителей. Поэтому в целом эта функция не является периодической. В таких случаях говорят, что рассматриваемая функция является многопериодической или почти-периодической. (Такого рода функция уже встречалась нам при рассмотрении гармонического осциллятора с несколькими степенями свободы.) Рассмотрим, например, колебания точки, находящейся под действием восстанавливающих сил, направленных вдоль осей $x$ и $y$. Эти координаты являются разделяющимися переменными, изменяющимися по гармоническому закону с частотами $v_{x}$ и $v_{y}$. Повернем теперь систему координат на $45^{\circ}$ вокруг оси $z$. Тогда мы получим новые координаты $x^{\prime}, y^{\prime}$, изменяющиеся по закону
\[
\left.\begin{array}{rl}
x^{\prime} & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[x_{0} \cos 2 \pi\left(v_{x} t+\beta_{x}\right)+y_{0} \cos 2 \pi\left(v_{y} t+\beta_{y}\right)\right], \\
y^{\prime} & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[y_{0} \cos 2 \pi\left(v_{y} t+\beta_{y}\right)-x_{0} \cos 2 \pi\left(v_{x} t+\beta_{x}\right)\right] .
\end{array}\right\}
\]

Если $v_{x} / v_{y}$ есть число рациональное, то написанные функции будут периодическими, а траектория точки будет замкнутой фигурой Лиссажу. Но если числа $v_{x}$ и $v_{y}$ несоизмеримы, то получающаяся фигура не будет замкнутой, и движение не будет строго повторяющимся. Уравнения (9.50) будут в этом случае простейшими частными случаями уравнения (9.49).

Почти-периодическую функцию можно получить с помощью производящей функции $W$. Равенство (9.35) показывает, что когда $q_{i}$ совершает полный цикл изменения, т. е. когда $w_{i}$ изменяется на единицу, характеристическая функция увеличивается на $J_{i}$. Отсюда следует, что если одна из величин $w_{k}$ увеличивается на единицу, а остальные не меняются, то функция
\[
W^{\prime}=W-\sum_{k} w_{k} J_{k}
\]

также остается неизменной. Поэтому функция (9.51) является многопериодической и может быть разложена в ряд вида (9.48) (по $w_{i}$ ) или вида (9.49) (по $v_{i}$ ). Так как согласно уравнениям преобразования
\[
w_{k}=\frac{\partial W}{\partial J_{k}},
\]

то легко видеть, что равенство (9.51) определяет преобразование Лежандра, осуществляющее переход от переменных $q, J$ к переменным $q$, w. Сравнение с равенством (8.10) показывает, что $W^{\prime}(q, w)$ есть производящая функция типа $F_{1}(q, Q)$, осуществляющая переход от канонических переменных $q, p$ к каноническим переменным $w, J$. Функция $W$, конечно, не является решением уравнения Гамильтона – Якоби*), хотя она осуществляет такое же преобразование, как функция $W$.

Для того чтобы конфигурация системы не изменялась строго периодическим образом, частоты движения должны быть несоизмеримыми. В противном случае конфигурация системы будет через достаточно большой промежуток времени повторяться. Формальным признаком соизмеримости всех частот является существование $n-1$ соотношений вида
\[
\sum_{i=1}^{n} j_{i} v_{i}=0,
\]

где $J_{i}$ – целые числа. Эти уравнения позволяют представить любое $v_{i}$ в виде рациональной части любого другого $v_{i}$. Если система такова, что можно составить лишь $m$ соотношений вида (9.52), то говорят, что она является $m$-кратно вырождающейся. Если, в частности, $m=n-1$, то ее называют полностью вырождающейся (движение системы будет в этом случае чисто периодическим). Следовательно, в случае замкнутой траектории изображающей точки движение системы является полностью вырождающимся**).
*) Переменные действие – угол мы ввели на основании рассмотрения разделяющихся координат, изменяющихся по периодическому закону, а затем показали, что движение системы является в общем случае много-периодическим. Следует заметить, что можно было бы проделать это в обратном порядке, т. е. начать с того факта, что движение системы является многопериодическим, а затем ввести переменные действие – угол. При этом нужно потребовать, чтобы конфигурация системы и производящая функция $W^{\prime}(q, w)$ были много-периодическими относительно переменных $ш$ с периодом, равным единице, а гамильтониан был циклическим относительно всех переменных $ш$. Таким путём можно было бы избежать необходимости обращаться к разделяющимся координатам. Более подробно об этом см. В orn, The Mechanics of the Atom, $\$ 15$.
**) Существует интересная связь между вырождением системы и возможностью разделения переменных в уравнении Гамильтона – Якоби. Можно показать, что в случае невырождающейся системы траектория изображающей точки целиком заполняет некоторую ограниченную область фазового пространства (равно, как и пространства конфигураций; см. Приложение 1 к уже цитированной книге Борна). Но мы знаем, что разделяющиеся координаты изменяются независимо друг от друга по строго периодическим законам. Следовательно, траектория изображающей точки должна быть ограничена поверхностями $q_{i}=$ const, $p_{i}=$ const, которые определяют границы изменения $q_{i}$ и $p_{i}$. (Эти соображения легко распространить и на случай вращательного движения, для чего нужно ограничить изменения углов интервалом от нуля до 2л.) Эти поверхности определяют объем пространства всюду плотно заполненный траекторией изображающей точки, откуда следует, что в невырождающихся системах можно лишь единственным образом произвести разделение переменных. Это значит, что в этом случае нельзя выбрать две различные системы координат, допускающие разделение переменных в уравнении Гамильтона – Якоби (не считая тривиальных вариантов, таких, например, как изменение масштаба). Поэтому наличие двух таких систем обобщенных координат ясно указывает на вырождение данной механической системы.

Простейшим случаем вырождения является такой, когда несколько частот равны. Пусть, например, мы имеем гармонический осциллятор с тремя степенями свободы. Если у него будут два одинаковых коэффициента восстанавливающей силы, то соответствующие частоты также будут одинаковыми, и эта система будет иметь одну степень вырождения. В случае колебания в изотропной упругой среде коэффициенты восстанавливающей силы одинаковы по всем направлениям, и поэтому будут равны все частоты колебания. Такая система является полностью вырождающейся.

В случае, когда имеется вырождение, частоты колебаний не являются независимыми, и движение системы можно описать числом частот, меньшим, чем $n$. Если, например, имеется $m$ условий вырождения, то их можно использовать и понизить число частот до $n-m$; в этом случае мы будем иметь $n-m$ периодов движения. Изящный способ уменьшения числа частот дает точечное преобразование переменных действие – угол. Пусть $m$ условий вырождения имеют вид
\[
\sum_{i=1}^{n} j_{k i} v_{i}=0 \quad(k=1, \ldots, m) .
\]

Рассмотрим теперь точечное преобразование $(w, J) \rightarrow\left(w^{\prime}, J^{\prime}\right)$, определяемое производящей функцией
\[
F_{2}=\sum_{k=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} J_{k}^{\prime} j_{k i} w_{i}+\sum_{k=m+1}^{n} J_{k}^{\prime} w_{k}
\]
[см. уравнение (8.19)]. Новые координаты $w^{\prime}$ будут тогда равны
\[
\left.\begin{array}{ll}
w_{k}^{\prime}=\sum_{i=1}^{n} j_{k i} w_{i} & (k=1, \ldots, m), \\
w_{k}^{\prime}=w_{k} & (k=m+1, \ldots, n),
\end{array}\right\}
\]

а новые частоты $v^{\prime}$ –
\[
\left.\begin{array}{ll}
v_{k}^{\prime}=\dot{w}_{k}^{\prime}=\sum_{i=1}^{n} j_{k i} v_{i}=0 & (k=1, \ldots, m), \\
v_{k}^{\prime}=v_{k} & (k=m+1, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно, $m$ частот будут теперь равны нулю, и останется лишь $n-m$ независимых частот. Новые координаты $w_{k}^{\prime}$, очевидно, можно считать угловыми переменными, так как конфигурация системы получается в этих координатах периодической с периодом, равным единице. Переменные $J_{k}^{\prime}$ можно получить посредством решения $n$ уравнений преобразования
\[
J_{i}=\sum_{k=1}^{m} J_{k}^{\prime} j_{k i}+\sum_{k=m+1}^{n} J_{k}^{\prime} \delta_{k i} .
\]

В ряде Фурье нулевым частотам соответствуют постоянные множители. Они имеются, конечно, и в первоначальном ряде Фурье, т. е. в ряде (9.49), где они получаются при значениях $J_{i}$, удовлетворяющих условиям вырождения.
Так как
\[
v_{i}^{\prime}=\frac{\partial H}{\partial I_{i}^{\prime}},
\]

то гамильтониан не должен зависеть от переменных $J_{i}$, для которых соответствующие частоты равны нулю. Поэтому в полностью вырождающейся системе гамильтониан можно сделать зависящим лишь от одной переменной $J_{i}$.

Многие факты, связанные с вырождением, хорошо иллюстрируются на примере движения под действием центральной силы $F=-k / r^{2}$. Это движение интересно также и в том отношении, что оно позволяет показать, как переменные $J$ и ш применяются к исследованию некоторых систем. Кроме того, при этом обнаруживается связь с квантовой механикой Бора. Поэтому следующий параграф мы посвящаем подробному рассмотрению задачи Кеплера в переменных $J$, w.