Уравнения Гамильтона особенно удобны при исследовании систем, содержащих циклические координаты. Согласно определению, данному в $\S 2.6$, циклической координатой $q_{j}$ называется координата, которая не входит в лагранжиан, и отсюда, как мы знаем, следует (на основании уравнений Лагранжа), что обобщенный импульс $p_{j}$, соответствующий этой координате, является постоянным. Но если $\dot{p}_{j}$ будет равно нулю, то согласно уравнениям (7.12) производная $\frac{\partial H}{\partial q_{j}}$ также будет равна нулю. Следовательно, циклическая координата будет отсутствовать не только в лагранжиане, но и в гамильтониане *). Пусть теперь, наоборот, будет известно, что некоторая координата $q_{j}$ не входит в $H$. Тогда из (7.12) можно будет сделать вывод, что соответствующий обобщенный импульс $p_{j}$ будет оставаться постоянным. Таким образом, между гамильтонианом $H$ и лагранжианом $L$ здесь имеется полное сходство. Однако между ними имеется и существенная разница. Если какая-нибудь координата, например $q_{n}$, является циклической, то лагранжиан имеет вид
\[
L=L\left(q_{1}, \ldots, q_{n-1}, \dot{q}_{1}, \ldots, \dot{q}_{n}, t\right),
\]
т. е. содержит все обобщенные скорости. Поэтому, несмотря на наличие циклической координаты, нам все же приходится решать задачу с $n$ степенями свободы. В противоположность этому при описании системы с помощью гамильтониана циклическая координата $q_{n}$ действительно может быть названа «игнорируемой», так как при этом импульс $p_{n}$ будет равен некоторой постоянной $\alpha$, и поэтому $H$ будет иметь вид.
\[
H=H\left(q_{1}, \ldots, q_{n-1}, p_{1}, \ldots, p_{n-1}, \alpha, t\right) .
\]

Таким образом, гамильтониан будет в этом случае содержать только $n-1$ координат, и их можно будет определить, полностью игнорируя циклическую координату. (Эта координата проявляет себя лншь в виде постоянной интегрирования $\alpha$, которая определяется начальными условиями.) После того как это будет сделано, можно будет найти и циклическую координату
*) Этот вывод следует также и из уравнения (7.8), согласно которому $H$ отличается от $-L$ только на сумму $\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}$, не содержащую $q_{i}$ явным об. разом.

$q_{n}$ как функцию времени, для чего достаточно будет проинтегрировать уравнение
\[
\dot{q}_{n}=\frac{\partial H}{\partial \alpha} .
\]

Возможен еще один метод исключения циклических координат из уравнений Лагранжа — это так называемый метод Рауса. В сущности это такой же метод перехода от переменных $q$, $\dot{q}$ к переменным $q, p$, но выполняемый лишь для тех координат, которые являются циклическими. При этом получаются уравнения движения, которые для циклических координат подобны уравнениям Гамильтона, а для остальных — уравнениям Лагранжа.

Обозначим циклические кординаты через $q_{1}, \ldots, q_{s}$ и введем функцию $R$, определяемую равенством
\[
R\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{s}, \dot{q}_{s+1}, \ldots, \dot{q}_{n}, t\right)=\sum_{i=1}^{s} p_{i} \dot{q}_{i}-L .
\]

Эта функция называется функцией Рауса*). Дифференциал ее равен
\[
d R=\sum_{i=1}^{s} \dot{q}_{i} d p_{i}-\sum_{i=S+1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d \dot{q}_{i}-\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t,
\]

и отсюда можно сделать вывод, что имеют место следующие равенства:
\[
\frac{\partial R}{\partial p_{i}}=\dot{q}_{i}, \quad \frac{\partial R}{\partial q_{i}}=-\dot{p}_{i} \quad(i=1, \ldots, s)
\]

и
\[
\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}, \quad \frac{\partial R}{\partial q_{i}}=-\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \quad(i=s+1, \ldots, n) .(7.16)
\]

Уравнения (7.15) относятся к координатам $q_{1}, \ldots, q_{s}$ и имеют вид уравнений Ғамильтона, в которых функция $R$ играет роль гамильтониана. В то же время уравнения (7.16) показывают, что координаты $q_{s+1}, \ldots, q_{n}$ удовлетворяют уравнениям
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial R}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=s+1, \ldots, n),
\]

имеющим вид уравнений Лагранжа, в которых $R$ играет роль лагранжиана. Воспользуемся теперь циклическим характером координат $q_{1}, \ldots, q_{s}$. Так как ни одна из этих координат не входит в функцию $L$, то они, очевидно, не войдут и в функцию $R$.
*) Функция (7.14) отличается от обычно определяемой функции Рауса. Это сделано для того, чтобы функция Рауса была подобна функции (7.8), определяющей $H$.

Кроме того, обобщенные импульсы $p_{1}, \ldots, p_{s}$ будут постоянны (как соогветствующие циклическим координатам). Поэтому их можно заменить постоянными $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{s}$, определяемыми из начальных условий, и тогда функция Рауса будет иметь вид
\[
R\left(q_{s+1}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{s+1}, \ldots, \dot{q}_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{s}, t\right),
\]
т. е. не будет содержать циклических координат и их производных. На этом основании уравнения (7.17), определяющие нециклические координаты, можно решать, не рассматривая вопроса о поведении циклических координат. Следовательно, мы здесь имеем такое же положение, как в уравнениях Гамильтона. Таким образом, метод Рауса можно рассматривать как основанный и на методе Лагранжа и на методе Гамильтона (хотя частичное применение метода Гамильтона является менее естественным, чем полное его использование).