Другим вариационным принципом, подобным принципу Гамильтона, является принцип наименьшего действия. Если стремиться к наиболее общему определению, то под действием в механике следует понимать интеграл
\[
A=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t .
\]

Принцип наименьшего действия утверждает, что в системе, в которой $H$ остается постоянным, справедливо равенство
\[
\Delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t=0,
\]

где $\Delta$-так называемая полная вариация, определяемая ниже.
Қак мы уже говорили, $\delta$-вариация соответствует виртуальным перемещениям системы, т.е. таким перемещениям, при которых время $t$ оставляют неизменным, а координаты варьируют в соответствии со связями, наложенными на систему. Такое перемещение не всегда принадлежит к числу перемещений, которые могут иметь место при движении системы. Это будет, например, в случае связей, зависящих от времени. Поэтому движение, получающееся в результате $\delta$-вариации, может быть таким, что гамильтониан его не будет постоянным. В противоположность $\delta$-вариации полная вариация $\Delta$ связана с перемещениями, которые обусловлены не только варьированием траектории, но и изменением времени $t$. Поэтому траектория, образующаяся при $\Delta$-вариации, состоит из точек, получающихся в результате перемещений, обусловленных также дифференциалами времени. Вследствие этого мы можем потребовать, чтобы движения, получающиеся при $\Delta$-вариациях, были физически возможными, для чего можно потребовать, чтобы $H$ было постоянным не только на действительной траектории, но и на траекториях, получающихся в результате $\Delta$-вариаций. Время движения вдоль таких траекторий уже не обязательно будет одним и тем же, так как для сохранения гамильтониана точке придется ускорять или замедлять свое движение. Поэтому $\Delta$-процесс предполагает варьирование $t$ даже в конечных точках траектории, где вариация величин $q_{i}$ по условию считаются равными нулю.

Следует заметить, что траектория, получающаяся в пространстве конфигураций в результате варьирования истинной траектории, может быть одинаковой как при $\delta$-вариации, так и при $\Delta$-вариации. Однако скорость движения изображающей точки вдоль полученной граектории будет при этом неодинаковой, так как в первом случае вариация ее скорости должна быть такой, чтобы не менялось полное время движения, а во втором – чтобы не менялось $H$.

Для получения $\Delta$-вариации можно ввести семейство кривых, зависящих от параметра $\alpha$, подобно тому как это было сделано для $\delta$-вариации. Однако сейчас нам нужно будет варьировать и время, связанное с каждой точкой на траектории, вследствие чего $t$ нужно будет рассматривать как функцию $\alpha$. Поэтому вариация координаты $q_{i}(t, \alpha)$ будет определяться не только явной зависимостью $q_{i}$ от $\alpha$, но и неявной зависимостью, осуществляемой через переменную $t$. Учитывая это, мы можем написать
\[
\Delta q \rightarrow d \alpha\left(\frac{d q}{d \alpha}\right)=d \alpha\left(\frac{\partial q}{\partial \alpha}+\dot{q} \frac{d t}{d \alpha}\right) .
\]

Но легко видеть, что
\[
\delta q \rightarrow d \alpha \frac{\partial q}{\partial \alpha},
\]
a $\frac{d t}{d \alpha} d \alpha$ представляет собой изменение времени $t$ вследствие $\Delta$-вариации, которое можно обозначить через $\Delta t$. Поэтому равен. ство (7.32) можно записать в виде
\[
\Delta q=\delta q+\dot{q} \Delta t .
\]
(Заметим, что $\Delta$-варьирование и дифференцирование по времени являются операциями, порядок которых нельзя менять, подобно тому как это делалось при $\delta$-варьировании.) Соотношение, подобное (7.33), справедливо также для любой функции $f(q, t)$, для которой оно имеет вид
\[
\Delta f=\delta f+\dot{f} \Delta t .
\]

Действительно, так как
\[
\Delta f=\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \Delta q_{i}+\frac{\partial f}{\partial t} \Delta t
\]

то на основании (7.33) можно написать
\[
\Delta f=\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\left(\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial l}{\partial t}\right) \Delta t,
\]

что совпадает с (7.34), ибо первый член правой части этого равенства равен $\delta f$, а коэффициент при $\Delta t$ представляет полную производную $\frac{d f}{d t}$. Равенство (7.34) выражает единственно существенное для нас свойство $\Delta$-вариации, и с помощью этого равенства мы докажем принцип наименьшего действия, обходясь без громоздких выражений, связанных с параметром $\alpha$.
Действие $A$ можно записать в виде
\[
A=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}}(L+H) d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t+H\left(t_{2}-t_{1}\right)
\]
(так как $H=$ const). Поэтому $\Delta A$ будет равно
\[
\Delta A=\Delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t+H\left(\Delta t_{2}-\Delta t_{1}\right)
\]

причем, варьируя этот интеграл, следует варьировать и его пределы. Обозначая первообразную от функции $L(t)$ через $I(t)$, будем иметь
\[
\Delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=\Delta I\left(t_{2}\right)-\Delta I\left(t_{1}\right)
\]

что с помощью формулы (7.34) можно записать в виде
\[
\Delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=\delta I\left(t_{2}\right)-\delta I\left(t_{1}\right)+\dot{I}\left(t_{2}\right) \Delta t_{2}-\dot{I}\left(t_{1}\right) \Delta t_{1}
\]

или окончательно
\[
\Delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t+\left.L \Delta t\right|_{t_{1}} ^{t_{2}} .
\]

По поводу полученного равенства следует сделать одно замечание. Может показаться, что в соответствии с принципом Гамильтона первое слагаемое правой части этого равенства должно обращаться в нуль. Это, однако, неверно, так как принцип Гамильтона требует, чтобы в конечных точках траектории обращались в нуль вариации $\delta q_{i}$, тогда как в данном случае в этих точках обращаются в нуль вариации $\Delta q_{i}$. Однако вьчисление вариации этого интеграла можно провести без особого труда. Согласно определению $\delta$-вариации имеем
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \delta \dot{q}_{i}\right) d t,
\]

что с помощью уравнений Лагранжа можно записать в виде
\[
\delta \int_{t_{i}}^{t_{2}} L d t=\sum_{i} \int\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) \delta q_{i}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \frac{d}{d t} \delta q_{i}\right] d t=\sum_{i} \int \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) d t .
\]

Воспользовавшись теперь равенством (7.33), получим
\[
\begin{aligned}
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=\sum_{i} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \Delta q_{i}-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i} \Delta t\right) d t & = \\
& =\left.\sum_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \Delta q_{i}-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} \dot{q}_{i} \Delta t\right)\right|_{t_{1}} ^{t_{2}},
\end{aligned}
\]

причем в конечных точках траектории все $\Delta q_{i}$ обращаются в нуль, а $\Delta t
eq 0$, так как время движения не является постоянным. Поэтому будем иметь
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=-\left.\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} \Delta t\right|_{t_{1}} ^{t_{2}}
\]

Учитывая теперь равенства (7.36) и (7.37), получим полную вариацию действия
\[
\Delta A=\left.\left(-\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}+L-H\right) \Delta t\right|_{t_{1}} ^{t_{2}},
\]

что согласно определению $H$ равно нулю. Таким образом, принцип наименьшего действия доказан *).

Принципу наименьшего действия можно придать различные формы. Рассмотрим, например, случай, когда уравнения (1.36) не содержат время явным образом. Тогда согласно равенству (2.56) будем иметь (в нерелятивистской механике):
\[
\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}=2 T .
\]
*) Принцип наименьшего действия обычно связывают с именем Мопертюи. Однако высказанный им в 1747 г. принцип имел туманную теологическую форму и вряд ли может в настоящее время рассматриваться как принцип механики. Строгой формулировкой и доказательством этого принципа мы обязаны Эилеру и Лагранжу.

При этих условиях принцип наименьшего действия приобретает следующий вид:
\[
\Delta \int T d t=0 .
\]

Пусть, далее, на эту систему не дєйствуют активные силы, как например, в случае свободного твердого тела. Тогда $T$ будет оставаться постоянным, и принцип наименьшего действия примет вид
\[
\Delta\left(t_{2}-t_{1}\right)=0 .
\]

Согласно равенству (7.39) траектория системы в пространстве конфигураций такова, что, двигаясь по этой траектории с заданной энергией, система проходит путь между двумя ее точками в кратчайшее время (точнее, время этого движения является экстремальным). В данном случае принцип наименьшего действия напоминает известный принцип Ферма в геометрической оптике. Согласно этому принципу световой луч всегда выбирает тот путь, при котором время движения от данной точки $A$ к данной точке $B$ является наименьшим. Нам еще представится случай вернуться к этим соображениям в главе 9 , где будет рассматриваться связь между методом Гамильтона и геометрической оптикой.

Если система состоит из одной точки, то ее кинетическая энергия равна

откуда
\[
T=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m\left|\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}\right|^{2},
\]
\[
d t=\sqrt{\frac{m|d \boldsymbol{r}|^{2}}{2 T}} .
\]

Это равенство выражает $d t$ через длину элемента траектории точки. В рассматриваемом случае принцип наименьшего действия в форме (7.38) можно записать в виде
\[
\Delta \int 2 T d t=\Delta \int \sqrt{2 m T} d s=\Delta \int \sqrt{2 m(H-V)} d s=0,
\]

где вместо $\sqrt{|\boldsymbol{d r}|^{2}}$ мы пишем $d s$. Принцип наименьшего действия в форме (7.40) можно распространить и на систему, состоящую более чем из одной точки, обобщая понятие длины дуги. Пусть такая система описывается обобщенными координатами $q_{i}$, причем согласно поставленному условию уравнения, описывающие зависимость $\boldsymbol{r}_{j}$ от $q_{i}$, не содержат времени. Тогда кинетическая энергия системы будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей [см. уравнение (1.62)], и можно будет написать
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i, k} m_{i k} \dot{q}_{i} \dot{q}_{k},
\]

или
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i, k} m_{i k} \frac{d q_{i} d q_{k}}{d t^{2}}
\]
(мы пишем $m_{i k}$ вместо $2 a_{i k}$ ). Если ввести теперь дифференциал $d \rho$ с помощью равенства
\[
(d \rho)^{2}=\sum_{i, k} m_{i k} d q_{i} d q_{k},
\]

то кинетическая энергия $T$ примет вид
\[
T=\frac{1}{2}\left(\frac{d \rho}{d t}\right)^{2},
\]

откуда
\[
d t=\frac{d \rho}{\sqrt{2 T}} .
\]

Если воспользоваться этим выражением для $d t$, то принцип наименьшего действия можно будет записать в виде
\[
\Delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} T d t=\Delta \int \sqrt{T} d \rho=0,
\]

или окончательно
\[
\Delta \int \sqrt{H-V(q)} d \rho=0 .
\]

Полученноє равенство имеет такую же форму, как равенство (7.40), относящееся к одной материальной точке. Принцип, выражаемый уравнением (7.44), часто называют принципом наименьшего действия в форме Якоби.

Введенный нами дифференциал $d \rho$ имеет формальный характер, однако он приводит к весьма изящной интерпретации, которую мы сейчас рассмотрим.

В дифференциальной геометрии равенство типа (7.42) является наиболее общим равенством, определяющим элемент длины кривой в $n$-мерном пространстве с координатами $q_{1}, \ldots, q_{n}$. При такой интерпретации коэффициенты $m_{i k}$ будут коэффициентами так называемой фундаментальной метрической формы, Если, например, $q_{i}$ будут декартовыми координатами обычного пространства, то эта форма будет очень простой и коэффициенты ее будут равны
\[
m_{i k}=\delta_{i k},
\]

что ясно из сравнения формулы
\[
(d s)^{2}=(d x)^{2}+(d y)^{2}+(d z)^{2}
\]

с равенством (7.42). Вообще для любых криволинейных ортогональных координат матрица коэффициентов $m_{i k}$ будет диагональной (но диагональнье элемєнты ее не обязательно будут равны, как в случае декартовых координат). В случае, например, цилиндрических координат элемент длины будет равен
\[
(d s)^{2}=(d r)^{2}+r^{2}(d \theta)^{2}+(d z)^{2},
\]

так что отличными от нуля коэффициентами здесь будут лишь $m_{r r}, m_{\theta \theta}$ и $m_{z z}$, равные
\[
m_{r r}=1, \quad m_{\theta \theta}=r^{2}, \quad m_{z z}=1 .
\]

Если же криволинейные координаты не являются ортогональными, то матрица коэффициентов $m_{i k}$ не будет диагональной.

Таким образом, дифференциал $d \rho$ можно интерпретировать как длину элемента траектории в пространстве конфигураций с координатами $q_{1}, \ldots, q_{n}$. В общем случае они не являются декартовыми, а представляют координаты пространства, метрика которого определяется коэффициентами $m_{i \hbar}$ из равенства (7.41). Тогда $\sqrt{2 T}$ будет равняться скорости, с которой изображающая точка движется вдоль своей траектории в пространстве конфигураций. Если на систему не действуют\”силы, и поэтому $T$ постоянно, то будет постоянной и скорость движения этой точки, из чего можно сделать вывод, что она будет двигаться вдоль кривой наименьшей длины, т.е. вдоль одной из геодезических линий пространства конфигураций.

Следует подчеркнуть, что в принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по этой траектории. Это видно из того, что уравнение (7.44) содержит элемент траектории $d \rho$ и не содержит времени $t$, так как $H=$ const, a $V$ зависит только от $q_{i}$. Поэтому из принципа наименьшего действия в форме Якоби можно получить дифференциальные уравнения траектории изображающей точки. Это лучше всего сделать посредством введения какого-либо параметра, например расстояния вдоль траектории. Тогда уравнение (7:44) можно будет записать в виде
\[
\Delta \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sqrt{H-V} \sqrt{\sum_{i, k} m_{i k} \frac{d q_{i}}{d \theta} \frac{d q_{k}}{d \theta}} d \theta=0,
\]

где $\theta$ – указанный параметр (его не следует смешивать со временем $t$; он должен быть геометрической характеристикой, определяющей положение точки на траектории). Если выбрать его так, чтобы он не изменялся при смещениях точек траектории во время $\Delta$-вариации, то по отношению к нему $\Delta$-вариация будет подобна $\delta$-вариации. Тогда из уравнения (7.45) можно будет получить дифференциальные уравнения Эйлера – Лагранжа, определяющие траекторию изображающей точки. Если производные $\frac{d q_{l}}{d \theta}$ обозначить через $q_{i}^{\prime}$, то эти уравнения будут иметь вид
\[
\frac{d}{d \theta}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}^{\prime}}\right)-\frac{\partial F}{\partial q_{i}}=0,
\]

где $F\left(q_{i}, q_{i}^{\prime}, \theta, H\right)$ – функция, стоящая под знаком интеграла (7.45).

Если рассматриваемая система состоит всего из одной точки, положение которой определяется координатами $q_{i}$, то уравнения (7.46) будут определять ее траекторию в собственном смысле этого слова (а не траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций). Координаты $q_{i}$ могут быть при этом и не декартовыми, а движение точки может быть ограничено связями, заставляющими ее двигаться не в трех измерениях, а в двух, т. е. по некоторой поверхности. Тогда ее положение на этой поверхности будет определяться координатами $q_{1}$ и $q_{2}$, а $d \rho$ будет, очевидно, пропорционально элементу длины ее траектории. Уравнения (7.46) будут тогда определять траекторию этой точки на поверхности, по которой она движется. В том частном случае, когда на точку не действуют никакие активные силы, ее траекторией будет одна из геодезических линий этой поверхности (как и в случае траектории в пространстве конфигураций). Если такой поверхностью будет, например, сфера, то точка будет двигаться по большому кругу, так как он является геодезической линией сферы.

Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны. Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являющаяся, как известно, линией наименьшей кривизны.

Мы уже говорили, что вариационные принципы не вносят в механику нового физического содержания и редко упрощают практическое решение той или иной механической задачи. Их главное достоинство состоит в том, что они служат отправными точками новых теоретических концепций в классической механике. В этом отношении особенно плодотворен принцип Гамильтона, а также принцип наименьшего действия, хотя и не в такой степени. Что касается других принципов, то они имеют заметно меньшее применение (если не считать бессодержательных телеологических теорий, которые иногда строятся на их основе). Поэтому рассмотрение этих принципов представляется нам нецелесообразным.
ЗА д ч и
1. Напишите уравнения Гамильтона для двух материальных точек, сила взанмодействия которых направлена по прямой, соединяющей эти точки. Исключнте циклические переменные и сведите задачу к квадратурам.
2. Вычислите гамильтониан системы, опнсанной в задаче 5 главы 5 , и получите для нее уравнения Гамильтона.
3. Вычнслите гамильтониан тяжелого симметричного волчка с одной ненодвижной точкой и напишите для него уравнення Гамильтона. Сравните их с уравнениями движения, рассмотренными в § 5.7. Покажите, как свести решение этой задачик квадратурам.
4. Точка находится в инерциальной системе $x y z$ и на нее действует консервативная сила, зависящая только ог $z$ и $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Вычислите ее гамильтониан, приняв в качестве обобщенных координат декартовы координаты этой точки относительно системы, равномерно вращающейся вокруг оси $z$-с угловой скоростью $\omega$ – Каков физический смысл этого гамильтониана? Является ли он константо’й движения?
5. В задаче 4 главы 1 рассматривался электродинамический потенциал, зависящий от скорости. Каков гамильтониан частицы, движущейся под дей: ствием такого потенциала?
6. В главе 6 указывалось, что первый член коварианнтного релятивистского лагранжиана (6.57) является в некоторой степени произвольным. Другая возможная форма лагранжиана получается, если преобразовать принцип Гамильтона (6.48) (перейдя от времени $t$ к местному времени $\tau$, являющемуся инвариантом Лоренца) и использовать новую подынтегральную функцию в качестве $L^{\prime}$. Получить таким путем выражение для ковариантного гамильтониана частицы, находящейся в электромагнитном поле. Показать, что значение этого гамильтониана равно нулю. (При получении уравнений движения значение гамильтониана, конечно, не существенно, так как нас интересует только его функциональная зависимость от координат и импульсов.)
7. Показать, что если ковариантный лагранжиан получается по способу, указанному в предыдущей задаче, то уравнение Гамильтона для $\frac{d p_{4}}{d \tau}$ сводится к уравнению (7.19).