Переходя к рассмотрению различных специальных случаев центральной силы, мы несколько изменим постановку нашей задачи. До сих пор мы считали, что решение задачи означает нахождение $r$ и $\theta$ как функций времени при заданных постоянных интегрирования $E, l$ и др. Однако чаще всего нам приходится иметь дело не с этими функциями, а с уравнением орбиты, т. е. с такой зависимостыо $r$ от $\theta$, из которой исключен параметр $t$. В тех случаях, когда сила является центральной, это исключение выполняется особенно легко, так как уравнения движения содержат тогда $t$ только в качестве переменной дифференцирования. Действительно, уравнение движения (3.8) дает нам в этом случае соотношение
\[
l d t=m r^{2} d \theta
\]

из которого получается соотношение, связывающее производные по $t$ и по $\theta$ :
\[
\frac{d}{d t}=\frac{l}{m r^{2}} \frac{d}{d \theta} .
\]

Эти соотношения можно использовать для преобразования уравнения движения (3.12) в дифференциальное уравнение орбиты. Кроме того, ими можно воспользоваться для интегрирования уравнений движения, заданных в форме (3.17), что даст нам непосредственно уравнение орбиты. Сначала мы пойдем по первому пути.

Из соотношения (3.32) видно, что вторая производная по $t$ равна
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}}=\frac{l}{m r^{2}} \frac{d}{d \theta}\left(\frac{l}{m r^{2}} \frac{d}{d \theta}\right),
\]

и следовательно, уравнение Лагранжа (3.12) принимает вид
\[
\frac{l}{r^{2}} \frac{d}{d \theta}\left(\frac{l}{m r^{2}} \frac{d r}{d \theta}\right)-\frac{l^{2}}{m r^{3}}=f(r) .
\]

Чтобы упростить уравнение (3.33), воспользуемся соотношением
\[
\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d \theta}=-\frac{d\left(\frac{1}{r}\right)}{d \theta}
\]

и, перейдя таким путем к новой переменной $u=\frac{1}{r}$, получим
\[
\frac{l^{2} u^{2}}{m}\left(\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u\right)=-f(u) .
\]

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее орбиту в случае, когда известен закон изменения силы $f$. Если же уравнение орбиты нам известно, т. е. если дано $r$ как функция $\theta$, то с помощью этого уравнения мы можем найти закон изменения силы $f(r)$.

Исходя из уравнения (3.34), можно сделать некоторые общие заключения о характере орбиты. Можно показать, например, что она симметрична относительно точек, в которых радиус $r$ имеет максимум или минимум. Для того чтобы сделать это, мы должны показать, что орбита не меняется при отражении от полярного радиуса такой точки. Выберем для этого систему координат таким образом, чтобы полярная ось проходила через одну из этих точек. Тогда угол $\theta$ будет здесь равен нулю и указанное отражение можно будет выполнить посредством замены $\theta$ на – $\theta$. Дифференциальное уравнение орбиты (3.34), очевидно, инвариантно по отношению к такому преобразованию. Кроме того, начальные условия
\[
u=u(0), \quad\left(\frac{d u}{d \theta}\right)_{0}=0 \quad \text { для } \quad \theta=0
\]

также не меняются при указанном преобразовании. Следовательно, уравнение орбиты не изменяется при замене $\theta$ на $-\theta$, чтто и требовалось доказать.

Таким образом, орбита симметрична относительно апсидальных векторов. Отсюда следует, что, зная часть орбиты между двумя такими векторами, мы можем построить всю орбиту. Для этого достаточно отразить указанный участок относительно одного из апсидальных векторов и получить таким путем соседний

Рис. 30. Построение орбиты посредством последовательных отражений ее участков от апсидальных векторов. участок орбиты. Этот процесс следует продолжать до тех пор, пока не будет получена вся орбита, как это показано на рис. 30.
Для любого конкретного закона изменения силы уравнение орбиты получается посредством интегрирования дифференциального уравнения (3.34). Однако незачем проделывать эту процедуру во всех подробностях, так как бо́льшая часть работы была уже нами проделана при рассмотрении уравнения движения (3.12). Поэтому сейчас остается лишь исключить с помощью (3.31) переменную $t$ из уравнения (3.17). В результате получим
\[
d \theta=\frac{l d r}{m r^{2} \sqrt{\frac{2}{m}\left[E-V(r)-\cdot \frac{l^{2}}{2 m r^{2}}\right]}}
\]

После незначительных преобразований этого равенства и интегрирования в пределах от $r_{0}$ до $r$ находим
\[
\theta=\int_{r_{0}}^{r} \frac{d r}{r^{2} \sqrt{\frac{2 m E}{l^{2}}-\frac{2 m V}{l^{2}}-\frac{1}{r^{2}}}}+\theta_{0},
\]

или, переходя к переменной $u=\frac{1}{r}$ :
\[
\theta=\theta_{0}-\int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{\sqrt{\frac{2 m E}{l^{2}}-\frac{2 m V}{l^{2}}-u^{2}}} .
\]

Как и в случае уравнений движения (3.18), (3.20), формула (3.37) дает нам формальное решение задачи. Однако практически это решение удается получить не всегда, так как интеграл (3.37) часто не может быть выражен в элементарных функциях. Фактически этот интеграл был исследован лищь для некоторых конкретных законов изменения силы, из которых наиболее важным является степенной закон. В этом случае
\[
V=a r^{n+1} \text {, }
\]

а сила $f$ изменяется пропорционально $n$-й степени $r^{*}$ ).
При потенциале (3.38) интеграл (3.37) получается равным
\[
\theta=\theta_{0}-\int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{\sqrt{\frac{2 m E}{l^{2}}-\frac{2 m a}{l^{2}} u^{-n-1}-u^{2}}}
\]

Однако и теперь он выражается в элементарных функциях лишь при определенных значениях $n$. Если выражение, стоящее под радикалом, будет полиномом не выше второй степени и, следовательно, знаменатель подынтегрального выражения будет иметь вид $\sqrt{\alpha u^{2}+\beta u+\gamma}$, то интегрирование можно будет провести в круговых функциях. Это ограничение эквивалентно требованию, чтобы
\[
-n-1=0,1,2 .
\]

Если исключить случай $n=-1$, то мы получим таким путем два значения:
\[
n=-2 \text { и } n=-3,
\]

соответствующих случаю изменения силы обратно пропорционально квадрату или кубу расстояния.

Другой легко интегрируемый случай получается при $n=1$, т. е. при линейном законе изменения силы. В этом случае уравнение (3.39) можно записать в виде
\[
\theta=\theta_{0} \rightarrow \int_{u_{0}}^{u} \frac{d u}{\sqrt{\frac{2 m E}{l^{2}}-\frac{2 m a}{l^{2}} \frac{1}{u^{2}}-u^{2}}},
\]

что после подстановки
\[
u^{2}=x, \quad d u=\frac{d x}{2 \sqrt{x}}
\]
*) Случай $n=-1$ из нашего рассмотрения исключается, так как потенциал (3.38) получается тогда постоянным, что означает отсутствие силы. Если же рассматривать $n$ как показатель степени в функции $f(r)$, то все равно этот случай нужно будет исключить, так как сила, изменяющаяся пропорционально $r^{-1}$, соответствует не степенному потенциалу, а логарифмическому. Такой потенциал скорее характерен не для притяжения к точке, а для гритяжения к линейному источнику силы.

в интеграл правой части уравнения (3.39′) дает
\[
\theta=\theta_{0}-\frac{1}{2} \int_{x_{0}}^{x} \frac{d x}{\sqrt{\frac{2 m E}{l^{2}} x-\frac{2 m a}{l^{2}}-x^{2}}},
\]
т. е. мы опять получаем интеграл рассмотренного типа.

Таким образом, мы можем получить решение в элементарных функциях в трех следующих случаях:
\[
n=1,-2,-3 .
\]

Это не означает, однако, что при других показателях степени интеграл (3.39) не выражается в элементарных функциях; это возможно и при других $n$, но в этом случае нам придется иметь дело с менее известными функциями. Например, возможны такие значения $n$, при которых интеграл (3.39) оказывается эллиптическим и решение выражается через эллиптические функции. Согласно определению эллиптический интеграл равен
\[
\int R(x, \omega) d x,
\]

где $R$-любая рациональная функция $x$ и $\omega$, а $\omega$ равно
\[
\omega=\sqrt{\alpha x^{4}+\beta x^{3}+\gamma x^{2}+\delta x+\eta} .
\]

При этом $\alpha$ и $\beta$ не могут, конечно, одновременно равняться нулю, так как тогда можно будет выразить этот интеграл через круговые функции. Можно показать (см. Whittaker and Watson, Modern Analysis, 4-е изд., стр. 512), что любой такой интеграл может быть выражен через круговые функции и эллиптические интегралы Лежандра первого, второго и третьего рода, для которых имеются полные и подробные таблицы. Свойствам этих интегралов и их связи с эллипітическими функциями посвящена обширная литература, где этот вопрос изложен исчерпывающим образом. Эти функции не требуют для своего применения какого-нибудь более тонкого математического аппарата, чем круговые функции, хотя они и менее обычны. Из определения эллиптических интегралов следует, что интеграл в выражении (3.39) можно выразить через эллиптические функции. при
\[
n=-4,-5 .
\]

Мы можем попытаться представить интеграл в другой форме, тоже приводящей к эллиптическому интегралу. Умножим для этого числитель и знаменатель подынтегрального выражения на

$u^{\rho}$, где $\rho$ – некоторый целый показатель степени. Тогда интеграл примет вид
\[
\int \frac{u^{\rho} d u}{\sqrt{\frac{2 m E}{l^{2}} u^{2 \rho}-\frac{2 m a}{l^{2}} u^{-n-1+2 \rho}-u^{2(\rho+1)}}},
\]

где выражение, стоящее под радикалом, будет полиномом выше четвертого порядка, за исключением случая $\rho=1$. Следовательно, интеграл не будет сложнее эллинтического интеграла лишь при
\[
-n-1+2=0,1,2,3,4 \text {, }
\]

или
\[
n=+1,0,-1,-2,-3 .
\]

Но при $n=+1,-2,-3$ этот интеграл выражается через круговые функции, а случай $n=-1$ мы исключаем. Следовательно, только при $n=0$ эта процедура приводит к эллиптическим функциям.

Кроме того, интеграл эллиптического типа можно получить с помощью подстановки $u^{2}=x$. Интеграл (3.39) примет тогда вид
\[
\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sqrt{\frac{2 m E}{l^{2}} x-\frac{2 m a}{l^{2}} x^{\frac{-n+1}{2}}-x^{2}}}
\]

и приведется к эллиптическому при $(-n+1) / 2$, равном 3 или 4 , что дает нам еще два показателя степени:
\[
n=-5,-7 \text {. }
\]

Наконец, мы опять можем умножить числитель и знаменатель найденного интеграла на $x$, и условие получения эллиптического или более простого интеграла будет иметь вид
\[
\frac{-n+1}{1}+2=0,1,2,3,4 \text {, }
\]

или
\[
n=+5,+3,+1,-1,-3 .
\]

Таким образом, мы в общей сложности получили следующие шесть показателей степени, приводящих к эллиптическим функциям:
\[
n=+5,+3,0,-4,-5,-7 .
\]

Хотя этими значениями исчерпываются все показатели, получаемые рассмотренным путем, однако можно показать, что при соответствующих преобразованиях некоторые дробные показатели также приводят к эллиптическим интегралам.