Сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния, является одной из самых важных центральных сил и поэтому заслуживает подробного рассмотрения. Эта сила и ее потенциал выражаются следующими функциями от $r$ :
\[
f=-\frac{k}{r^{2}}, \quad V=-\frac{k}{r} .
\]

Существует несколько путей иитегрирования уравнения орбиты в рассматриваемом случае. Проще всего это делается с помощью подстановки значений (3.41) в дифференциальное уравнение орбиты (3.34):
\[
\frac{d^{2} u}{d \theta^{2}}+u=\frac{-m f(u)}{l^{2} u^{2}}=\frac{m k}{l^{2}} .
\]

Производя замену переменного посредством подстановки $y=$ $=u-\frac{m k}{l^{2}}$, получим дифференциальное уравнение
\[
\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}+y=0 .
\]

Решение этого уравнения имеет, как известно, вид
\[
y=b \cos \left(\theta-\theta^{\prime}\right),
\]

где $b$ и $\theta^{\prime}$ — постоянные интегрирования. Возвращаясь к переменной $r$, получаем это решение в виде
\[
\frac{1}{r}=\frac{m k}{l^{2}}\left[1+\varepsilon \cos \left(\theta-\theta^{\prime}\right)\right],
\]

где
\[
\varepsilon=b \frac{l^{2}}{m k} .
\]

Уравнение орбиты можно получить и с помошью формального интегрирования уравнения (3.39). Хотя эта процедура длиннее непосредственного интегрирования дифференциального уравнения (3.42), однако она имеет то преимущество, что важная постоянная интегрирования $\varepsilon$ автоматически получается при этом выраженной через энергию $E$ и кинетический момент системы $l$. Перепишем равенство (3.39) в виде
\[
\theta=\theta^{\prime}-\int \frac{d u}{\sqrt{\frac{2 m E}{l^{2}}+\frac{2 m k u}{l^{2}}-u^{2}}},
\]

где написанный интеграл является неопределенным, а $\theta^{\prime}$ представляет постоянную интегрирования, определяемую начальными условиями, которая не обязательно должна быть равна начальному углу $\theta_{0}$ при $t=0$. Рассматриваемый интеграл является интегралом стандартного типа *):
\[
\int \frac{d x}{\sqrt{a+b x+c x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{-c}} \arccos -\frac{b+2 c x}{\sqrt{q}},
\]

где
\[
q=b^{2}-4 a c \text {. }
\]

Применяя эту формулу к равенству (3.44), мы должны положить:
\[
a=\frac{2 m E}{l^{2}}, \quad b=\frac{2 m k}{l^{2}}, \quad c=-1,
\]

и, следовательно, дискриминант $q$ равен
\[
q=\left(\frac{2 m k}{l^{2}}\right)^{2}\left(1+\frac{2 E l^{2}}{m k^{2}}\right) .
\]

После этих подстановок уравнение (3.44) примет вид
\[
\theta=\theta^{\prime}-\arccos \frac{\frac{l^{2} u}{m k}-1}{\sqrt{1+\frac{2 E l^{2}}{m k^{2}}}} .
\]

Разрешив его относительно $u \equiv \frac{1}{r}$, мы получим уравнение орбиты в следующем окончательном виде:
\[
\frac{1}{r}=\frac{m k}{l^{2}}\left[1+\sqrt{1+\frac{2 E l^{2}}{m k^{2}}} \cos \left(\theta-\theta^{\prime}\right)\right],
\]

что согласуется с выражением (3.43), но $\varepsilon$ выражено здесь через $E$ и $l$. Согласно уравнению (3.46) постоянную интегрирования $\theta^{\prime}$ в этом уравнении можно рассматривать как один из полярных углов орбиты. Заметим, что в уравнение орбиты входят лишь три постоянных интегрирования из четырех, что является характерной особенностью уравнения орбиты. Это объясняется тем, что четвертая постоянная определяет начальное положение точки на орбите, и если нас интересует только само уравнение орбиты, то эта постоянная, очевидно, не должна фигурировать в решении. Конечно, если мы захотим закончить решение и найти $r$ и $\theta$ как функции времени, то эту недостающую постоянную нужно будет ввести. Желая, например, воспользоваться теоремой о сохранении кинетического момента и произвести интегрирование уравнения
\[
m r^{2} d \theta=l d t
\]
*) См., например, В. O. Pierce, A. Short Table of Integrals, № 161. Для того чтобы получить (3.45), нужно к результату, даваемому Пирсом, прибавить постоянную — $t / 2$, что, конечно, допустимо, так как рассматриваемый ннтеграл является неопределенным.

с помощью (3.46), мы должны будем определить начальный угол $\theta_{0}$.

Известно, что общее уравнение конического сечения, имеющего фокус в начале координат, имеет вид
\[
\frac{1}{r}=C\left[1+\varepsilon \cos \left(\theta-\theta^{\prime}\right)\right]
\]

где $\varepsilon$-эксцентриситет конического сечения. Сравнивая это уравнение с уравнением (3.46), мы видим, что рассматриваемая орбита является коническим сечением с эксцентриситетом
\[
\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2 E l^{2}}{m k^{2}}} .
\]

Тип орбиты зависит от значения $\varepsilon$ и определяется следующей таблицей:
\[
\begin{array}{lll}
\varepsilon>1, & E>0: & \text { гипербола, } \\
\varepsilon=1, & E=0: & \text { парабола, } \\
\varepsilon<1, & E<0: & \text { эллипс, } \\
\varepsilon=0, & E=-\frac{m k^{2}}{2 l^{2}}: & \text { окружность. }
\end{array}
\]

Эта классификация согласуется с тем качественным исследованием орбит, которое было основано на энергетической диаграмме эквивалентного одномерного потенциала $V^{\prime}$. Правда, условие для кругового движения выглядит здесь несколько иначе, однако эквивалентность его прежнему условию можно доказать, представляя полученное равенство в виде
\[
E=-\frac{k^{2}}{2 m r^{4} \dot{\theta}^{2}} .
\]

В случае круговой орбиты величины $T$ и $V$ не будут меняться со временем, и теорему о вириале можно записать в виде
\[
T=-\frac{1}{2} V
\]

откуда полная энергия равна
\[
E=\frac{1}{2} V=-\frac{k}{2 r} .
\]

Подставив теперь это значение $E$ в условие (3.49), получим:
\[
\frac{k}{r^{2}}=m r \dot{\theta}^{2}
\]

Это условие выражает тот факт, что сила притяжения уравновешивается центробежной силой, как и было установлено ранее в $\S 3.3$.

Можно показать, что если орбита является эллиптической, то большая полуось зависит только от ее энергии, что представляет теорему, имеющую существенное значение в теории атома Бора. Докажем это. Большая полуось равна полусумме апсидальных расстояний $r_{1}$ и $r_{2}$ (рис. 24) и согласно (3.47) равна
\[
a=\frac{r_{1}+r_{2}}{2}=\frac{1}{2 C(1+\varepsilon)}+\frac{1}{2 C(1-\varepsilon)}=\frac{1}{C} \frac{1}{1-\varepsilon^{2}} ;
\]

после подстановки постоянных орбиты из формулы (3.46) выражение для большой полуоси принимает вид
\[
a=-\frac{k}{2 E},
\]

что, как легко видеть, согласуется с формулой (3.50) для радиуса круговых орбит.

В качестве последнего вопроса, относящегося к силам, обратно пропорциональным квадрату расстояния, мы рассмотрим задачу о вычислении периода движения по эллиптической орбите. Мы знаем, что из постоянства кинетического момента следует постоянство секториальной скорости, равной
\[
\frac{d A}{d t}=\frac{1}{2} r^{2} \dot{\theta}=\frac{l}{2 m} .
\]

Отсюда можно найти площадь орбиты $A$, интегрируя (3.53) за полный период $\tau$ :
\[
\int_{0}^{\tau} \frac{d A}{d t} d t=A=\frac{l \tau}{2 m} .
\]

Но площадь эллипса равна
\[
A=\pi a b,
\]

причем большая полуось $a$ определяется равенством (3.52), а малая полуось $b$ выражается через $a$ (по известной формуле для эксцентриситета) следующим образом:
\[
b=a \sqrt{1-\varepsilon^{2}} .
\]

Из формулы (3.51) видно, что малая полуось равна
\[
b=\sqrt{\frac{a}{C}}=a^{1 / 2} \sqrt{\frac{l^{2}}{m k}},
\]

и период движения получается равным
\[
\tau=\frac{2 m}{l} \pi a^{3 / g} \sqrt{\frac{l^{2}}{m k}}=2 \pi a^{3 / n} \sqrt{\frac{m}{k}} .
\]

Равенство (3.54) показывает, что при заданных $k$ и $m$ квадрат периода пропорционален кубу большой оси. Это положение часто называют третьим законом Кеплера*). Следует, впрочем, заметить, что в действительности третий закон Кеплера формулируется несколько иначе, так как он относится к специальному случаю движения, который рассматривал Кеплер, — к движению планет в гравитационном поле Солнца. В более точной формулировке этот закон гласит: квадраты периодов обращения различных планет пропорциональны кубам больших осей их орбит. Нужно заметить, что в этой форме закон Кеплера верен лишь приближенно. Следует помнить, что задача о движении планет вокруг Солнца является задачей о движении двух тел, и поэтому величину $m$ в (3.54) нужно заменить на приведенную массу $\mu$, равную
\[
\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
\]

Массу $m_{1}$ в этой формуле можно считать относящейся к планете, а массу $m_{2}-$ к Солнцу. Кроме того, константу $k$ мы должны заменить на
\[
k=G m_{1} m_{2},
\]

что следует из закона всемирного тяготения
\[
f=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} .
\]

Тогда равенство (3.54) примет вид:
\[
\tau=\frac{2 \pi a^{3 / 2}}{\sqrt{G\left(m_{1}+m_{2}\right)}} \approx \frac{2 \pi a^{3 / 2}}{\sqrt{G m_{2}}} .
\]

Таким образом, если пренебречь массой планеты по сравнению с массой Солнца, то мы получим равенство (3.56), выражающее третий закон Кеплера. Действительно, согласно этому равенству $\tau$ пропорционально $a^{2} / 2$, причем коэффициент пропорциональности одинаков для всех планет. Но масса планеты не всегда является пренебрежимо малой величиной по сравнению с массой Солнца. Например, масса Югитера составляет приблизительно 5\% от массы Солнца. С другой стороны, третий закон Кеплера будет строго верен для орбит электронов в атоме Бора, так как $\mu$ и $k$ одинаковы при этом для всех орбит данного атома.
*) Три закона Қеплера были установлены им приблизительно в 1610 г. Они явились результатом исследований, проведенных им над движением планет, и послужили основой для последующих работ Ньютона. Второй закон Кеплера утверждает, что секториальная скорость планеты является постоянной. Қак отмечалось ранее, он справедлив для любой центральной силы. Однако первый закон Кеплера (о том, что каждая планета движется по эллилсу, в одном из фокусов которого находится Солнце) и его третий закон справедливы только для тех центральных сил, которые изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния.