Рассмотрим теперь несколько простых, но важных примеров канонических преобразований, осуществляемых различными производящими функциями.
Пусть производящая функция типа $F_{2}$ имеет вид
\[
F_{2}=\sum_{i} q_{i} P_{i} .
\]

В этом случае мы из уравнений (8.11) будем иметь:

и
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}=P_{i}, \\
Q_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{i}}=q_{i}
\end{array}
\]
\[
K=H \text {. }
\]

Следовательно, новые координаты будут в этом случае совпадать со старыми, т. е. рассматриваемое преобразование будет тождественным.

Более общим является преобразование, осуществляемое производящей функцией
\[
F_{2}=\sum_{i} f_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right) P_{i},
\]

где $f_{i}$ – произвольные функции указанных аргументов. В этом случае мы с помощью уравнений (8.11b) получим следующие выражения для новых координат $Q_{i}$ :
\[
Q_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{i}}=f_{i}(q, t) .
\]

Следовательно, при таком виде производящей функции новые координаты будут зависеть только от старых координат и от времени, но не от старых импульсов. Поэтому такое преобразование принадлежит к числу точечных преобразований, определяемых уравнениями (8.3). Но так как функции $f_{i}$ в равенстве (8.19) являются совершенно произвольными, то можно заключить, что все точечные преобразования являются каноническими. Уравнение (8.11c) выражает новый гамильтониан таких преобразований через старый и через производные $\frac{\partial f_{i}}{\partial t}$.

Ортогональные преобразования, подробно рассмотренные нами в главах 4 и 6 , являются частными случаями точечных преобразований. Функции $f_{i}$ выражаются в этом случае равенствами
\[
\hat{f}_{i}=Q_{i}=\sum_{k} a_{i k} q_{k},
\]

и поэтому производящая функция $F_{2}$ имеет вид
\[
F_{2}=\sum_{i, k} a_{i k} q_{k} P_{i} .
\]

Новые импульсы находятся в этом случае из уравнений (8.11a), которые будут иметь вид
\[
p_{k}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{k}}=\sum_{i} a_{i k} P_{i} .
\]

Для того чтобы разрешить эти уравнения относительно $P_{i}$, достаточно умножить их на $a_{j k}$ и просуммировать по $k$ :
\[
\sum_{k} a_{k} p_{k}=\sum_{i, k} a_{i k} a_{i k} P_{i}=\sum_{i} \delta_{i j} P_{i}
\]
(так как из условий ортогональности следует, что $\sum_{k} a_{l k} a_{i k}=\delta_{l l}$ ). Таким образом, окончательно будем иметь
\[
P_{i}=\sum_{k} a_{i k} p_{k} .
\]

Отсюда видно, что импульсы здесь подвергаются тому же ортогональному преобразованию, что и координаты (как и следовало ожидать заранее).

Интересное преобразование получается при производящей функции $F_{1}(q, Q, t)$, равной
\[
F_{1}=\sum_{k} q_{k} Q_{k}
\]

Согласно (8.9a) и (8.9b) уравнения преобразования будут тогда иметь вид:
\[
\begin{aligned}
p_{i} & =\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}=Q_{i}, \\
P_{i} & =-\frac{\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}=-q_{i},
\end{aligned}
\]

т. е. это преобразование меняет местами координаты и импульсы (новые координаты совпадают здесь со старыми импульсами, а новые импульсы не отличаются по существу от старых координат). Этот простой пример может служить иллюстрацией равноправного положения обобщенных координат и обобщенных импульсов, в равной степени описывающих движение системы в уравнениях Гамильтона. Различие между ними практически состоит лишь в названии, так как мы видим, что, поменяв эти названия, мы получили всего лишь изменение знака. Поэтому мы можем отбросить наши первоначальные представления о $q$ как о пространственной координате и о $p$ как о произведении массы на скорость. В данном случае из уравнений
\[
\dot{Q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial P_{i}}, \quad \dot{P}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial Q_{i}}
\]

непосредственно видно, что это преобразование является каноническим. Если подставить здесь $Q_{i}$ вместо $P_{i}$ и $-P_{i}$ вместо $Q_{i}$, то эти уравнения сохранят каноническую форму.

В качестве последнего примера рассмотрим производящую функцию
\[
F_{1}=\frac{m}{2} \omega q^{2} \operatorname{ctg} Q
\]

где $m$ и $\omega$-постоянные, смысл которых будет выяснен позже. При такой производящей функции уравнения (8.9a) принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
p=\frac{\partial F_{1}}{\partial q}=m \omega q \operatorname{ctg} Q, \\
P=-\frac{\partial F_{1}}{\partial Q}=\frac{m \omega q^{2}}{2 \sin ^{2} Q} .
\end{array}
\]

Эти уравнения можно было бы решить относительно $Q$ и $P$, выразив эти величины через $q$ и $p$, но для нащих целей более удобно поступить наоборот: выразить старые переменные через новые. Из уравнения (8.25) имеем
\[
q=\sqrt{\frac{2 P}{m \omega}} \sin Q .
\]

Подставив это выражение в равенство (8.24), получим
\[
p=\sqrt{2 m \omega P} \cos Q .
\]

Так как производящая функция (8.23) не содержит явным образом $t$, то новый гамильтониан $K$ равен старому гамильтониану $H$, и поэтому нам остается только выразить $H$ через $Q$ и $P$. Пусть константы $m$ и $\omega$ обозначают массу и собственную частоту линейного гармонического осциллятора. Потенциальная энергия его, как известно, равна
\[
V=\frac{k q^{2}}{2},
\]

где $k$-коэффициент восстанавливающей силы. Поэтому гамильтониан этого осциллятора имеет вид
\[
H=\frac{m \dot{q}^{2}}{2}+\frac{k q^{2}}{2}=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{k q^{2}}{2},
\]

или, заменяя $k / m$ на $\omega^{2}$, получаем
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2}}{2} q^{2} .
\]

Подставив сюда правые части уравнений (8.26) и (8.27), мы получим следующее выражение гамильтониана $H$ через новые переменные:
\[
H=\omega P \cos ^{2} Q+\omega P \sin ^{2} Q=\omega P .
\]

Таким образом, этот гамильтониан является циклическим относительно $Q$, и поэтому импульс $P$ должен быть величиной постоянной. Из равенства (8.29) видно, что он равен полной (постоянной) энергии, деленной на $\omega$ :
\[
P=\frac{E}{\omega} .
\]

Уравнение, определяющее $Q$, принимает теперь следующий простой вид:
\[
\dot{Q}=\frac{\partial H}{\partial P}=\omega \text {. }
\]

Решая его, находим
\[
Q=\omega t+\alpha,
\]

где $\alpha$ – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями. Из равенства (8.26) получаем следующую зависимость $q$ от $t$ :
\[
q=\sqrt{\frac{2 E}{m \omega^{2}}} \sin (\omega t+\alpha) .
\]

Эта формула дает хорошо известное решение задачи о гармони: ческом осцилляторе.

Может показаться, что применение канонического преобразования к задаче о гармоническом осцилляторе подобно «стрельбе из пушки по воробьям». Однако мы имеем здесь простой пример того, как посредством канонических преобразований можно сделать все координаты циклическими. Рассмотрение общих схем решения механических задач् с помощью этого метода мы отложим до следующей главы, а сейчас перейдем к изложению общих свойств канонических преобразований.