Физическое содержание механики материальной точки составляет второй закон Ньютона, который можно рассматривать или как основной постулат, или как определение силы и массы. Этот закон можно записать в виде
\[
\boldsymbol{F}=\frac{d p}{d t},
\]

где $\boldsymbol{F}$ — суммарная сила, действующая на материальную точку, а $\boldsymbol{p}$-количество движения этой точки, под которым понимается следующее. Пусть $s$ обозначает длину пути, проходимого точкой в своем движении, а $r$-радиус-вектор, проведенный в эту точку из начала координат. Вектор скорости можно тогда
формально определить посредством равенства
\[
v=\frac{d r}{d t}
\]

где
\[
\frac{d r}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{r_{2}-r_{1}}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{d s}{d t}
\]
(рис. 1). Из этого равенства видно, что вектор $v$ направлен по касательной к траектории точки. Тогда количество движения $\boldsymbol{p}$ определяется посредством равенства
\[
\boldsymbol{p}=m v .
\]

Таким образом, уравнение (1.1) можно переписать в виде
\[
\boldsymbol{F}=\frac{d}{d t}(m v) .
\]

В большей части случаев масса материальной точки является постоянной, и поэтому уравнение (1.1) приРис. 1. Траектория точки и нимает вид производная радиуса-вектора.
\[
\boldsymbol{F}=m \frac{d v}{d t}=m a,
\]

где $\boldsymbol{a}$ — ускорение точки, равное по определению
\[
a=\frac{d^{2} r}{d t^{2}} .
\]

Много важных положений механики можно высказать в форме теорем о сохранении тех или иных величин. Эти теоремы указывают, при каких условиях некоторые переменные механические величины остаются неизменными во времени. Из уравнения (1.1) непосредственно вытекает первая из этих теорем.

Теорема о сохранении количества движения материальной точки. Если сила $\boldsymbol{F}$ равна нулю, то $\dot{\boldsymbol{p}}=0$, т. е. количество движения материальной точки $\boldsymbol{p}$ сохраняется неизменным.

Под моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной точки относительно центра $O$ мы будем понимать вектор
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p},
\]

где $r$-радиус-вектор, направленный к материальной точке из центра $O$. Заметим, что в этом произведении существен порядок сомножителей.

Моментом силы $\boldsymbol{F}$ относительно точки $O$ (или вращающим моментом этой силы) мы будем называть вектор
\[
\boldsymbol{N}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} .
\]

Для $\boldsymbol{N}$ можно получить уравнение, аналогичное уравнению (1.1). Умножив уравнение (1.5) векторно на $r$, получим
\[
\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}=\boldsymbol{N}=\boldsymbol{r} \times \frac{d}{d t}(m v) .
\]

Уравнение (1.9) можно представить в другой форме, если воспользоваться векторным тождеством
\[
\frac{d}{d t}(r \times m v)=v \times m v+r \times \frac{d}{d t}(m v),
\]

в котором член $v \times m v$, очевидно, равен нулю. $\mathrm{C}$ помощью этого тождества уравнение (1.9) можно представить в виде
\[
\boldsymbol{N}=\frac{d}{d t}(\boldsymbol{r} \times m \boldsymbol{v})=\frac{d \boldsymbol{L}}{d t} .
\]

Заметим, что как $N$, так и $L$ зависят от выбора центра $O$, относительно которого берутся моменты.

Как и в случае уравнения (1.1), из уравнения (1.10) непосредственно вытекает теорема о сохранении.

Теорема о сохранении кинетического момента материальной точки. Если результирующий вращающий момент $\boldsymbol{N}$ равен нулю, то $\dot{\boldsymbol{L}}=0$ и, следовательно, кинетический момент сохраняется неизменным.

Рассмотрим теперь работу, совершаемую силой $\boldsymbol{F}$, действующей на материальную точку. Согласно определению работа силы при перемещении точки из положения 1 в положение 2 равна
\[
W_{12}=\int_{1}^{2} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{s} .
\]

Для точки постоянной массы (во всех случаях, кроме особо оговоренных, мы будем считать массу постоянной) получаем
\[
\int \boldsymbol{F} \cdot d s=m \int \frac{d v}{d t} \cdot v d t=\frac{m}{2} \int \frac{d}{d t}\left(v^{2}\right) d t,
\]

и, следовательно,
\[
W_{12}=\frac{m}{2}\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) .
\]

Скалярная величина $m v^{2} / 2$ называется кинетической энергией материальной точки и обозначается через $T$. Таким образом, работа $W_{12}$ равна изменению кинетической энергии:
\[
W_{12}=T_{2}-T_{1} .
\]

Если силовое поле таково, что работа, совершаемая силой на любом замкнутом контуре, равна нулю, то будем иметь
\[
\oint \boldsymbol{F} \cdot d s=0 .
\]

Такая сила (система) называется консервативной. С физической точки зрения ясно, что при наличии трения или других диссипативных сил система не может быть консервативной, так как соответствующий этой силе член $\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{s}$ будет все время отрицательным, и поэтому интеграл (1.14) не может обратиться в нуль. Согласно теореме Стокса условие консервативности сил [условие (1.14)] можно записать в виде
\[

abla \times \boldsymbol{F}=0,
\]

и так как ротация градиента всегда равна нулю, то вектор $\boldsymbol{F}$ должен быть градиентом некоторого скаляра, т. е. должно иметь место равенство
\[
\boldsymbol{F}=-
abla V .
\]

Величина $V$ называется потенциалом или потенциальной энергией. Существование функции $V(x, y, z)$ может быть доказано без привлечения теорем векторного анализа. В самом деле, если равенство (1.14) выполняется, то работа $W_{12}$ не зависит от пути, по которому совершается интегрирование между точками 1 и 2. Но отсюда следует, что $W_{12}$ можно представить в виде разности $f\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ — $f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$, где $f$ — некоторая величина, зависящая только от положения точки. Эту величину можно обозначить через $-V$, и тогда для любого элемента длины $d s$ будем иметь
\[
\boldsymbol{F} \cdot d s=-V,
\]

или
\[
F_{s}=-\frac{\partial V}{\partial s},
\]

что эквивалентно равенству (1.15).
Заметим, что в равенстве (1.15) мы можем прибавить к $V$ любую постоянную (в пространстве) величину, не нарушая при этом справедливости рассматриваемого равенства. Следовательно, нулевой уровень для функции $V$ может быть выбран произвольно.
Для консервативной системы работа $W_{12}$ равна
\[
W_{12}=V_{1}-V_{2} \text {. }
\]

Подставляя теперь равенство (1.16) в (1.13), получаем соотношение
\[
T_{1}+V_{1}=T_{2}+V_{2},
\]

выражающее следующую теорему.

Теорема о сохранении энергии материальной точки. Если силы, действующие на материальную точку, являются консервативными, то ее полная энергия $T+V$ остается неизменной.