Если в равенствах (8.51) и (8.52) положить $F$ равным гамильтониану $H$, то они примут вид:
\[
\left[q_{i}, H\right]=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\dot{q}_{i}
\]

и
\[
\left[p_{i}, H\right]=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=\dot{p}_{i} .
\]

Эти равенства представляют канонические уравнения движения, написанные с помощью скобок Пуассона. Они являются частным случаем равенств, выражающих полную производную некоторой функции $u(q, p, t)$ по времени. Действительно, какова бы ни была эта функция, мы будем иметь
\[
\frac{d u}{d t}=\sum_{i}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial u}{\partial p_{i}} \dot{p}_{i}\right)+\frac{\partial u}{\partial t} .
\]
*) Заметим, что в квантовой механике скобкам Пуассона соответствует произведение $\frac{2 \pi i}{h}$ на коммутатор двух величин:
\[
[u, v] \rightarrow \frac{2 \pi i}{h}(u v-v u)
\]
( $h$ – постоянная Планка). Легко проверить, что соотношения (8.53)-(8.56) справедливы также̨ и для коммутаторов.

Но с помощью уравнений гамильтона производные $\dot{q}_{i}$ и $\dot{p}_{i}$ можно выразить через гамильтониан; тогда получим
\[
\frac{d u}{d t}=\sum_{i}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial u}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial u}{\partial t},
\]

или
\[
\frac{d u}{d t}=[u, H]+\frac{\partial u}{\partial t} .
\]

Равенства (8.57), очевидно, получаются из этого соотношения при $u=q_{i}$ и $u=p_{i}$. Кроме того, если положить здесь $u=H$, то будем иметь
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t},
\]

что совпадает с равенством (7.19), полученным ранее.
Если $и$ не содержит явно $t$ (а мы ограничимся рассмотрением только таких случаев), то
\[
\frac{d u}{d t}=[u, H] \text {. }
\]

Поэтому, если $[u, H]=0$, то и $u(q, p)$ будет величиной постоянной. Верно и обратное: если функция $u(q, p)$ сохрачяет свое значение, то $[u, H]=0$. Таким образом, мы получаем критерий для того, чтобы судить о том, является ли $u(q, p)$ константой движения.

Если $u(q, p)=$ const и $v(q, p)=$ const суть два первых интеграла движения, то можно с помощью так называемого тождества Якоби образовать еще один такой интеграл. Согласно этому тождеству, если $u, v$ и $w$-три любые функции $q$ и $p$, то
\[
[u,[v, w]]+[v,[w, u]]+[w,[u, v]]=0 .
\]

Дтя доказательства этого тождества рассмотрим два первых слагаемых суммы (8.59), которые можно записать в виде
\[
[u,[v, w]]-[v,[u, w]] \text {. }
\]

Покажем, что написанное выражение не содержит вторых производных от $w$. Скобку Пуассона $[v, w]$ можно рассматривать как линейный дифференциальный оператор $D_{v}$, действующий на функцию w. Этот оператор можно записать в виде
\[
D_{v}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial v}{\partial q_{k}} \frac{\partial}{\partial p_{k}}-\frac{\partial v}{\partial p_{k}} \frac{\partial}{\partial q_{k}}\right),
\]

или короче
\[
D_{v}=\sum_{i=1}^{2 n} \alpha_{i} \frac{\partial}{\partial \xi_{i}} .
\]

С помощью таких операторов выражение (8.60) можно записать в виде
\[
D_{u} D_{v} w-D_{v} D_{u} w=\sum_{i, k} \beta_{i} \frac{\partial}{\partial \eta_{i}}\left(\alpha_{k} \frac{\partial w}{\partial \xi_{k}}\right)-\alpha_{k} \frac{\partial}{\partial \xi_{k}}\left(\beta_{i} \frac{\partial w}{\partial \eta_{i}}\right) .
\]

Отсюда видно, что единственными членами этого выражения, содержащими вторые производные от
\[
\sum_{i, k}\left(\beta_{i} \alpha_{k} \frac{\partial^{2} w}{\partial \eta_{i} \partial \xi_{k}}-\alpha_{k} \beta_{i} \frac{\partial^{2} w}{\partial \xi_{k} \partial \eta_{i}}\right) .
\]

Но эта сумма тождественно равна нулю, и, следовательно, разность (8.60) содержит только первые производные от w. Поэтому можно написать
\[
[u,[v, w]]-[v,[u, w]]=\sum_{k}\left(A_{k} \frac{\partial w}{\partial p_{k}}+B_{k} \frac{\partial w}{\partial q_{k}}\right),
\]

где $A_{k}$ и $B_{k}$ – выражения, содержащие $u$ и $v$, но не содержащие $w$. Если положить $w=p_{i}$ (что не повлияет на $A$ и $B$ ), то равенство (8.61) примет вид
\[
\left[u,\left[v, p_{i}\right]\right]-\left[v,\left[u, p_{i}\right]\right]=A_{i}
\]

или согласно (8.52)
\[
\left[u, \frac{\partial v}{\partial q_{i}}\right]+\left[\frac{\partial u}{\partial q_{i}}, v\right]=A_{i} .
\]

Поэтому окончательно будем иметь
\[
A_{i}=\frac{\partial}{\partial q_{i}}[u, v] .
\]

Положив затем $w=q_{i}$, точно так же найдем
\[
B_{i}=-\frac{\partial[u, v]}{\partial p_{i}}
\]

и поэтому равенство (8.61) можно записать в виде
\[
[u,[v, w]]+[v,[w, u]]=\sum_{k}\left(\frac{\partial[u, v]}{\partial q_{k}} \frac{\partial w}{\partial p_{k}}-\frac{\partial[u, v]}{\partial p_{k}} \frac{\partial w}{\partial q_{k}}\right)=[[u, v] w],
\]

что эквивалентно тождеству Якоби в форме (8.59). Пусть теперь равенства $u(q, p)=$ const и $v(q, p)=$ const будут первыми интегралами движения. Положив в (8.59) $w=H$, мы увидим, что два первых члена этого тождества обратятся в нуль, и оно примет вид
\[
[H,[u, v]]=0 .
\]

Следовательно, если $u=$ const и $v=$ const – два первых интеграла движения, то $[u, v]=$ const также будет первым интегралом движения*). Таким путем иногда удается получить целую серию первых интегралов. Однако часто они оказываются тривиальными функциями от уже полученных функций и поэтому не имеют значения.