Теперь, когда нами получено релятивистское обобщение уравнения Ньютона, мы юожем перейти к вопросу о релятивистских уравнениях Лагранжа. В некотором отношении это сделать легко, так как нетрудно образовать лагранжиан, приводящий к правильным релятивистским уравнениям движения. Правда, на этот раз трудно получить уравнения Лагранжа, исходя только из принципа Даламбера, как это было сделано в главе 1. Дело в том, что хотя равенство
\[
\sum_{i}\left(F_{i}^{(a)}-\dot{p}_{i}\right) \cdot \delta r_{i}=0
\]

справедливо не только в классической механике, но и в релятивистской, однако все преобразования, проделанные в главе 1, будут теперь неверны, так как $\boldsymbol{p}_{i}$ не равно $m v_{i}$.

Можно также исходить из принципа Гамильтона ( $\S 2.1$ ), т.е. из равенства
\[
\delta I=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=0 .
\]

Тогда задачу получения лагранжиана можно будет рассматривать как задачу об отыскании такой функции $L$, для которой уравнения Эйлера – Лагранжа совпадают с известными релятивистскими уравнениями движения.

Функцию, удовлетворяющую этим требованиям, обычно найти нетрудно. Пусть, например, имеется одна материальная точка, находящаяся в поле консервативной силы, не зависящей от скорости. В этом случае в качестве релятивистского лагранжиана $L$ можно взять функцию
\[
L=-m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}-V,
\]

где $V$ – потенциал, зависящий только от положения точки. В этом можно убедиться, составляя для $L$, написанного в форме (6.49), уравнение Лагранжа
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial v_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Вычислив для этой цели $\frac{\partial L}{\partial v_{i}}$, получим
\[
\frac{\partial L}{\partial v_{t}}=\frac{m v_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}},
\]

и, следовательно, соответствующие данному лагранжиану уравнения движения будут иметь вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{m v_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}=F_{i},
\]

что совпадает с (6.46). Заметим, что лагранжиан (6.49) не равен $T-V$, хотя его производная по скорости и равна количеству движения. Именно это обстоятельство и делает соответствующие уравнения Лагранжа правильными, позволяя принять для $L$ выражение (6.49). Поэтому мы могли бы строить наши рассуждения в обратном порядке, т. е., исходя из равенства (6.50), искать зависимость лагранжиана от скорости.

Лагранжиан (6.49) легко распространить на систему, состоящую из многих материальных точек. Кроме того, при этом можно перейти от декартовых координат $x_{i}$ к обобщенным координатам $q_{j}$. Обобщенные импульсы будут тогда по-прежнему определяться равенством
\[
p_{j}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}},
\]

и поэтому импульсы, соответствующие циклическим координатам, будут оставаться постоянными (так же, как и в нерелятивистской механике). Что касается теоремы о сохранении энергии, то она здесь также будет иметь место, но вывод ее придется несколько изменить. Вспомним, что в $\$ 2.6$ было показано, что если $L$ не зависит явно от времени, то имеет место равенство
\[
\Sigma \dot{q}_{j} p_{j}-L=H,
\]

где $H$ – некоторая постоянная. Этот вывод будет, конечно, справедлив и сейчас, так как, доказывая написанное равенство, мы исходили лишь из общего вида уравнения Лагранжа и из соотношения $p_{j}=\frac{\partial L^{-}}{\partial \dot{q}_{j}}$. Однако дальнейшее наше заключение, что $H$ есть полная энергия, теперь нельзя будет получить так же, как раньше, ибо $L$ более уже не будет равно $T-V$, а $\sum \dot{q}_{j} p_{j}$ не будет равно $2 T$. Заключение это, тем не менее, остается в силе, в чем можно убедиться, рассматривая пример с одной материальной точкой, где $H$ равно
\[
H=\sum_{i} \frac{m v_{i}^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}+V,
\]

что после небольшого преобразования можно записать в виде
\[
H=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}+V=T+V=E .
\]

Таким образом, мы видим, что $H$ по-прежнему равно полной энергии $E$, являющейся здесь постоянной движения.

Введение потенциалов, зависящих от скорости, также не представляет здесь особых трудностей и может быть сделано в точности так же, как это было сделано в $§ 1.5$. Так, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, будет теперь равен
\[
L=-m c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}-q \varphi+\frac{q}{c} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v},
\]

а соответствующий обобщенный импульс будет равен
\[
p_{i}=m u_{i}+\frac{q}{c} A_{i} .
\]

Как мы видим, он не равен $m u_{i}$, а отличается от него слагаемым, возникающим от той части потенциала, которая зависит от скорости. Этот результат не является, конечно, следствием релятивистских уравнений, так как тот же дополнительный член был нами получен и раньше [см. равенство (2.44)].

Таким образом, почти все специальные методы, созданные нами для решения задач классической механики, можно перенести на релятивистскую механику. С помощью этих методов мы могли бы решить ряд задач, подобных тем, что мы рассматривали раньше. Например, можно было бы получить релятивистское решение задачи о движении под действием центральной силы. Орбиты, которые при этом получаются, имеют в общих чертах тот же характер, что и ранее (см. гл. 3), однако в некоторых деталях они получаются, конечно, иными, так как теперь у нас иной лагранжиан.