Отождествление кинетического момента с производящей функцией вращения приводит к ряду интересных и важных соотношений, содержащих скобки Пуассона. Согласно равенству (8.66) изменение векторной функции $\boldsymbol{F}(q, p)$ при бесконечно малом повороте системы равно
\[
\delta \boldsymbol{F}=d \theta[\boldsymbol{F}, \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n}] .
\]

Следует не забывать о том смысле, который мы здесь вкладываем в слова «изменение функции». Векторное равенство (8.73) можно, конечно, записать в виде трех скалярных равенств. Пусть, например, $A(q, p)$ будет $x$-компонентой $\boldsymbol{F}$. Тогда из равенства (8.73) получим
\[
\delta A=A(Q, P)-A(q, p)=d \theta[A, \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n}],
\]

и, аналогично, для составляющих $\boldsymbol{F}$ по осям $y$ и $z$, которые мы будем обозначать через $B(q, p)$ и $C(q, p)$. В предыдущем параграфе мы видели, что преобразование скалярной функции $u(q, p)$ при переходе к другой системе переменных носит совершенно иной характер, так как значение функции остается при этом тем же самым, но функциональная зависимость $u$ от аргументов, вообще говоря, меняется. Рассмотрим теперь не скалярную функцию, а векторную и посмотрим, как она ведет себя при преобразовании, соответствующем вращению. Здесь дело будет обстоять сложнее, так как функциональная зависимость каждой составляющей этой функции будет изменяться по двум причинам: вследствие преобразования аргументов и вследствие изменения самих составляющих в связи с поворотом вектора.

Рассмотрим, например, бесконечно малый поворот вокруг оси $z$. В этом случае старые и новые составляющие вектора $\boldsymbol{F}$ будут связаны друг с другом соотношениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
A(q, p)=A^{\prime}(Q, P)+B^{\prime}(Q, P) d \theta, \\
B(q, p)=B^{\prime}(Q, P)-A^{\prime}(Q, P) d \theta, \\
C(q, p)=C^{\prime}(Q, P),
\end{array}\right\}
\]

где $A^{\prime}(Q, P), B^{\prime}(Q, P), C^{\prime}(Q, P)$ – новые функции новых аргументов.

Теперь нетрудно будет установить, какова связь между обычным преобразованием вектора при его повороте и «изменением», выражаемым равенством (8.74). Предположим, что векторная функция $\boldsymbol{F}$ такова, что функциональная зависимость ее старых и новых составляющих от соответствующих аргументов оказывается одинаковой, т. е. функция $A^{\prime}(Q, P)$ такова же, как функция $A(Q, P)$, и аналогично для других составляющих. Примером такой функции $\boldsymbol{F}$ может служить вектор кинетического момента системы, так как в этом случае
\[
L_{x}=\sum_{i}\left(y_{i} p_{i z}-z_{i} p_{i y}\right)
\]

а после поворота
\[
L_{X}=\sum_{i}\left(Y_{i} P_{i Z}-Z P_{i Y}\right) .
\]

Следовательно, $L_{X}$ таким же образом зависит от $Q$ и $P$, как $L_{x}$ от $q$ и $p$. Для векторных функций, обладающих этим свойством, и только для них, уравнения (8.75) принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
A(q, p)=A(Q, P)+B(Q, P) d \theta, \\
B(q, p)=B(Q, P)-A(Q, P) d \theta, \\
C(q, p)=C(Q, P) .
\end{array}
\]

Но с точностью до величин первого порядка малости член $B(Q, P) d \theta$ можно заменить членом $B(q, p) d \theta$. Поэтому изменения [в смысле (8.74)] составляющих вектора $\boldsymbol{F}$ при повороте вокруг оси $z$ на угол $d \theta$ будут равны:
\[
\begin{array}{l}
A(Q, P)-A(q, p)=\delta A=-B d \theta, \\
B(Q, P)-B(q, p)=\delta B=A d \theta
\end{array}
\]

и
\[
C(Q, P)-C(q, p)=\delta C=0 .
\]

Эти равенства совпадают с теми, которые определяют изменения составляющих неподвижного вектора при повороте координатных осей на угол – $d \theta$. вокруг оси $z$ [уравнение (4.94)].

В данном случае будем иметь
\[
d \boldsymbol{F}=\boldsymbol{k} d \theta \times \boldsymbol{F}=\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{F} .
\]

Поэтому изменение $\boldsymbol{F}$ при бесконечно малом повороте вокруг произвольной оси будет равно
\[
\delta \boldsymbol{F}=\boldsymbol{n} d \theta \times \boldsymbol{F} .
\]

Отсюда согласно (8.73) получаем
\[
[\boldsymbol{F}, \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n}]=\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{F} .
\]

Следует заметить, что хотя равенство (8.77) справедливо лишь для ограниченного класса векторных функций, однако большинство векторных величин, встречающихся в задачах механики, принадлежит к этому классу. К их числу принадлежит, например, любая функция $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{p})$, которая не содержит фиксированного вектора, не связанного с системой. В обозначениях диадного исчисления равенство (8.77) может быть представлено в виде
\[
[\boldsymbol{F}, \boldsymbol{L}]=1 \times \boldsymbol{F},
\]

где 1 – единичная диада $\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k} \boldsymbol{k}$. [Равенство (8.77) легко получается из равенства (8.78) посредством скалярного умножения обеих частей его на $n$.] Хорошо известный частный случай рассматриваемого соотношения получается при $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{L}$. В этом случае будем иметь

или
\[
[\boldsymbol{L}, \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n}]=\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{L},
\]
\[
[\boldsymbol{L}, \boldsymbol{L}]=1 \times \boldsymbol{L} .
\]

Из равенства (8.79), в частности, следует, что
\[
\left[L_{x}, L_{y}\right]=(j \times L)_{x}=L_{z} .
\]

Поэтому для скалярных составляющих правой части (8.79) будем иметь
\[
\left[L_{i}, L_{j}\right]=L_{k} \quad(i, j, k-\text { в циклическом порядке }) .
\]

Из равенства (8.79) и (8.80) можно получить ряд интересных выводов. Пусть, например, $L_{x}(q, p)$ и $L_{y}(q, p)$ будут первыми интегралами уравнений движения. Тогда скобки $\left[L_{x}, H\right]$ и $\left[L_{y}, H\right]$ будут равны нулю, и согласно теореме Пуассона $\left[L_{x}, L_{y}\right]=L_{z}$ будет величиной постоянной. Следовательно, если две составляющие кинетического момента остаются во время движения неизменными (при любых начальных условиях), то полный вектор кинетического момента также будет неизменным.
Более важное значение имеет соотношение
\[
\left[L^{2}, \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n}\right]=0,
\]

которое легко доказать, если учесть, что левая часть его может быть записана в виде
\[
[\boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{L}, \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n}]=2 \boldsymbol{L} \cdot[\boldsymbol{L}, \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n}] .
\]

Согласно (8.79) выражение (8.81) примет вид
\[
2 \boldsymbol{L} \cdot(\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{L})=0 .
\]

Применяя то же доказательство к любому вектору, удовлетворяющему равенству (8.77), мы получаем для него аналогичное соотношение
\[
\left[F^{2}, \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n}\right]=0 .
\]

Вспомним теперь, что если $p_{i}$ и $p_{j}$-два любых канонических импульса, то согласно (8.41b) скобка $\left[p_{i}, p_{j}\right]$ должна быть тождественно равна нулю. Но согласно (8.80) скобки Пуассона $\left[L_{i}, L_{j}\right]$ при $j
eq i$ будут отличны от нуля. Следовательно, если одна из составляющих кинетического момента вдоль неподвижных осей выбрана в качестве канонического импульса, то другая составляющая не может одновременно с ней быть каноническим импульсом. В противоположность этому из (8.81) видно, что величина вектора $\boldsymbol{L}$ и любая ее компонента могут одновременно быть каноническими импульсами*).