Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возможность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая – только вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует. Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение гела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это – три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твердого тела (они описывают поступательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части: одну
часть, соответствующую движению центра масс, и другую, соответствующую вращению вокруг центра масс. Первая из них будет содержать только декартовы координаты центра масс, а вторая – только угловые координаты. Согласно уравнению (1.29) аналогичное разложение можно выполнить и для кинетической энергии, которую можно записать в виде
\[
T=\frac{1}{2} M v^{2}+T^{\prime}(\varphi, \theta, \psi)
\]
т. е. как сумму кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сконцентрирована вся масса тела, и кинетической энергии движения вокруг центра масс.

Потенциальную энергию тоже часто удается разделить на две подобные части, из которых одна содержит только координаты, соответствующие поступательному движению, а другая только угловые координаты. Так, например, гравитационная потенциальная энергия зависит только от вертикальной декартовой координаты центра тяжести*). Аналогично, если сила вызывается однородным полем $\boldsymbol{B}$, действующим на диполь с магнитным моментом $\boldsymbol{M}$, то потенциал пропорционален произведению $\boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{B}$, зависящему только от ориентации тела. Вообще почти все практически встречающиеся задачи допускают такое разложение. В этом случае рассматриваемая задача распадается на две, так как лагранжиан $L=T-V$ разбивается при этом на две части, одна из которых содержит только поступательные координаты, а другая – только угловые. Эти две группы координат будут тогда полностью разделены, и задачи о поступательном и о вращательном движении можно решать независимо друг от друга. Поэтому важно получить выражения для кинетического момента и кинетической энергии тела, имеющего неподвижную точку.

Кинетический момент тела относительно неподвижной точки равен
\[
\boldsymbol{L}=\sum_{i} m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{v}_{i}\right)
\]

где $\boldsymbol{r}_{i}$ и $\boldsymbol{v}_{i}$ – радиус-вектор и скорость $i$-й частицы относительно этой точки. Так как в системе координат, связанной с телом, составляющие вектора $\boldsymbol{r}_{i}$ постоянны, то скорость $\boldsymbol{r}_{i}$ есть абсолютная скорость, возникающая только вследствие вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Поэтому из уравнения (4.100) будем иметь
\[
v_{i}=\omega \times r_{i},
\]
*) В однородном гравитационном поле центр тяжести, конечно, совпа̨дает с центром масс.

и, следовательно, уравнение (5.1) запишется в виде
\[
\boldsymbol{L}=\sum_{i} m_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i} \times\left(\omega \times \boldsymbol{r}_{i}\right)\right),
\]

или, раскрывая двойное векторное произведение:
\[
\boldsymbol{L}=\sum_{i} m_{i}\left(\boldsymbol{\omega} r_{i}^{2}-r_{i}\left(\boldsymbol{r}_{i} \cdot \boldsymbol{\omega}\right)\right)
\]

Отсюда для составляющей кинетического момента по оси $x$ получим
\[
L_{x}=\omega_{x} \sum_{i} m_{i}\left(r_{i}^{2}-x_{i}^{2}\right)-\omega_{y} \sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i}-\omega_{z} \sum_{i} m_{i} x_{i} z_{i} .
\]

Составляющие вектора $\boldsymbol{L}$ по двум другим осям будут иметь аналогичный вид. Таким образом, каждая из составляющих кинетического момента является линейной функцией составляющих угловой скорости. Следовательно, вектор кинетического момента получается из угловой скорости посредством линейного преобразования. Чтобы подчеркнуть аналогию между равенством (5.4) и уравнениями линейного преобразования (4.12), мы запишем $L_{x}$ в виде
\[
L_{x}=I_{x x} \omega_{x}+I_{x y} \omega_{y}+I_{x z} \omega_{z},
\]

и аналогично для $L_{y}$ и $L_{z}$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
L_{y}=I_{y x} \omega_{x}+I_{y y} \omega_{y}+I_{y z} \omega_{z}, \\
L_{z}=I_{z x} \omega_{x}+I_{z y} \omega_{y}+I_{z z} \omega_{z} .
\end{array}\right\}
\]

Девять коэффиициентов $I_{x x}, I_{x y}$ и т. д. являются элементами матрицы преобразования. Диагональные элементы ее известны под названием осевых моментов инерции; они имеют вид
\[
I_{x x}=\sum_{i} m_{i}\left(r_{i}^{2}-x_{i}^{2}\right) .
\]

Остальные элементы этой матрицы называются центробежными моментами инерции; они выражаются равенствами вида
\[
I_{x y}=-\sum_{i} m_{i} x_{i} y_{i}
\]

В формулах (5.6) и (5.7) элементы матрицы записаны так, будто твердое тело является совокупностью дискретных частиц. Для непрерывных тел это суммирование заменяется объемным интегрированием, и вместо массы частицы нужно писать плотность. Так, например, диагональный элемент $I_{x x}$ примет тогда вид
\[
I_{x x}=\int_{V} \rho(\boldsymbol{r})\left(r^{2}-x^{2}\right) d V
\]

До сих пор мы не указывали, какая координатная система применялась нами при вычислении составляющих вектора $\boldsymbol{L}$. Теперь в качестве такой системы нам будет удобно взять систему, связанную с телом*). Расстояния $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ не будут тогда изменяться со временем, и поэтому элементы матрицы будут постоянными величинами, характеризующими данное тело и зависящими от положения осей $x, y, z$ в теле.

Уравнения (5.5), связывающие составляющие $\boldsymbol{L}$ с составляющими $\boldsymbol{\omega}$, можно заменить одним операторным уравнением, имеющим вид
\[
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{I} \omega,
\]

где через $I$ обозначен оператор, матрица которого имеет в качестве своих элементов моменты инерции (5.5). Из двух интерпретаций, которые мы давали ранее оператору линейного преобразования (см. § 4.2), здесь под I следует, очевидно, понимать оператор, действующий на вектор $\boldsymbol{\omega}$, а не на координатную систему, так как векторы $\boldsymbol{L}$ и $\boldsymbol{\alpha}$ суть два вектора различной физической природы и разной размерности, а не один и тот же вектор, выраженный в двух различных системах координат. В отличие от оператора вращения оператор I является размерным: его размерность равна [масса $X$ (длина) ${ }^{2}$ ]. Кроме того, он не связан условиями ортогональности. Таким образом, уравнение (5.8) выражает тот факт, что оператор $\boldsymbol{I}$, действуя на вектор $\boldsymbol{\omega}$, дает в результате физически новый вектор $\boldsymbol{L}$. Хотя мы в полной мере используем аппарат матричной алгебры, развитый нами при изучении операторов вращения, однако основное внимание мы здесь будем уделять природе и физическому характеру рассматриваемых операторов.