Рассмотрим консервативную систему, состоящую из двух точек с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Единственными силами, дей-

Рис. 19. Координаты системы в задаче двух тел. ствующими на эти точки, мы будем считать силы, обусловленные потенциалом взаимодействия $V$, относительно которого мы будем предполагать, что он является функцией вектора $\boldsymbol{r}_{\mathbf{1}}-\boldsymbol{r}_{2}$, относительной скорости $\dot{r}_{1}-\dot{r}_{2}$ и производных более высокого порядка от $\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}$. Рассматриваемая система имеет шесть степеней свободы и, следовательно, характеризуется шестью независимыми обобщенными координатами. В качестве таких координат мы выберем три составляющих радиуса-вектора $\boldsymbol{R}$, идущего в центр масс системы, и три составляющих вектора $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{1}$. Тогда лагранжиан этой системы будет иметь вид
\[
L=T(\dot{\boldsymbol{R}}, \dot{\boldsymbol{r}})-V(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, \ldots) .
\]

Кинетическая энергия этих точек может быть представлена в виде суммы кинетической энергии движения центра масс и кинетической энергии движения системы относительно центра масс. Таким образом, будем иметь
\[
T=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) \dot{R}^{2}+T^{\prime},
\]

где
\[
T^{\prime}=\frac{1}{2} m_{1} \dot{\boldsymbol{r}}_{1}^{\prime 2}+\frac{1}{2} m_{2}{\dot{r^{\prime}}}_{2}{ }^{2}
\]

а $\boldsymbol{r}_{1}^{\prime}$ и $\boldsymbol{r}_{2}^{\prime}$ – векторы, идущие к точкам 1 и 2 из их центра масс. Они определяются соотношениями:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\boldsymbol{r}_{1}^{\prime} & =-\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \boldsymbol{r} \\
\boldsymbol{r}_{2}^{\prime} & =\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \boldsymbol{r} .
\end{array}\right\}
\]

Подставляя правые части формул (3.2) в выражение для $T^{\prime}$, получаем
\[
T^{\prime}=\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \dot{\boldsymbol{r}}^{2}
\]

Лагранжиан (3.1) тогда принимает вид
\[
L=\frac{m_{1}+m_{2}}{2} \dot{\boldsymbol{R}}^{2}+\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \dot{\boldsymbol{r}}^{2}-V(\boldsymbol{r}, \dot{\boldsymbol{r}}, \ldots) .
\]

Теперь можно видеть, что три координаты $\boldsymbol{R}$ являются циклическими, и следовательно, центр масс этих точек либо будет находиться в покое, либо двигаться равномерно. Что касается уравнений движения, определяющих вектор $r$, то ни одно из них не будет содержать составляющих вектора $\boldsymbol{R}$ или $\dot{\boldsymbol{R}}$. Поэтому процесс интегрирования будет здесь особенно простым, и во всех проводимых ниже рассуждениях можно будет опустить первый член лагранжиана. Оставшаяся часть будет тогда такой, как будто мы имеем дело с неподвижным центром силы и с одной движущейся точкой, радиус-вектор которой относительно этого центра равен $\boldsymbol{r}$, а масса равна
\[
\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}
\]
( $\mu$ называют приведенной массой). Следовательно, задачу о движении точек 1 и 2 относительно их центра масс всегда можно свести к эквивалентной задаче для одной точки.
Соотношение (3.4) часто записывают в виде
\[
\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} \text {. }
\]