До сих пор мы занимались главным образом получением уравнений движения и очень мало говорили о методах их решения в тех или иных конкретных случаях (для которых эти уравнения уже получены). Вообще говоря, этот вопрос является математическим. Мы видели, что система с $n$ степенями свободы будет описываться $n$ дифференциальными уравнениями второго порядка относительно времени. Решение каждого такого уравнения потребует двукратного интегрирования, что приведет к появлению (для $n$ уравнений) $2 n$ посгоянных. В каждом конкретном случае эти постоянные будут определяться начальными условиями, т. е. начальными значениями $n$ координат $q_{j}$ и $n$ скоростей $\dot{q}_{j}$. В некоторых случаях эти уравнения можно проинтегрировать в элементарных функциях, однако это удается сделать далеко не всегда; в большей части случаев эти уравнения оказываются неинтегрируемыми: Но даже в этих случаях часто удается получить достаточное количество сведений относительно физической картины изучаемого движения. Эти сведения могут в ряде случаев иметь для физиков больший интерес, нежели точное знание функций $q_{j}(t)$. Поэтому важно знать, как много сведений можно получить относительно движения данной системы, не интегрируя полностью ее уравнений.

Во многих задачах можно сразу получить первые интегралы уравнений движения. Мы имеем в виду соотношения вида
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, t\right)=\text { const, }
\]

представляющие дифференциальные уравнения первого порядка. Эти первые интегралы представляют известный интерес, так как они дают некоторые физические данные о движении системы. В дальнейшем мы увидим, что они включают в себя и законы о сохранении, полученные в главе 1.

Рассмотрим теперь систему, находящуюся под действием консервагивных сил (потенциал которых зависит только от положения системы). В этом случае будем иметь
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}} \equiv \frac{\partial T}{\partial x_{i}}-\frac{\partial V}{\partial \dot{x}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{i}}=\frac{\partial}{\partial \dot{x}_{i}} \sum \frac{1}{2} m_{i}\left(\dot{x}_{i}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}\right)=m_{i} \dot{x}_{i}=p_{i x},
\]

где $p_{i x}-x$-компонента импульса, необходимого для создания количества движения $m_{i} v_{i}$. Основываясь на этом соотношении, можно обобщить понятие импульса. Под обобщенным импульсол или обобщенным количеством движения понимают величину
\[
p_{j}=\frac{\partial L_{1}}{\partial \dot{q}_{j}} .
\]

Таким образом, каждой координате $q_{j}$ соответствует обобщенный импульс $p_{j}$. Величину $p_{j}$ часто называют также каноническим импульсом или импульсом, соответствующим координате $q_{j}$. Заметим, что если $q_{j}$ не есть декартова координата, то $p_{j}$ может и не иметь размерности импульса. Кроме того, если потенциал системы зависит от скорости, то даже тогда, когда $q_{j}$ является декартовой координатой, соответствующий обобщенный импульс не будет совпадать с обычным импульсом в механическом смысле этого слова. Так, например, в случае частиц, находящихся в электромагнитном поле, лагранжиан имеет вид
\[
L=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \dot{r}_{i}^{2}-\sum_{i} q_{i} \varphi\left(x_{i}\right)+\sum_{i} \frac{q_{i}}{c} \boldsymbol{A}\left(x_{i}\right) \cdot \dot{\boldsymbol{r}}_{i}
\]
[см. (1.61)]. Поэтому обобщенный импульс, соответствующий координате $x_{i}$, будет равен
\[
p_{i x}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{i}}=m_{i} \dot{x}_{i}+\frac{q_{t} A_{x}}{c},
\]
т. е. механическому импульсу плюс некоторый добавочный член. Если лагранжиан системы не содержит некоторой координаты $q_{j}$. (при этом он может содєржать соответствующую
скорость $\dot{q}_{j}$ ), то эту координату называют циклической или иенорируемой. (Термин «циклическая координата» не является общепринятым*), но он довольно распространен, и мы будем им пользоваться). Уравнение Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0
\]

будет для такой координаты иметь вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{l}}=0,
\]

или
\[
\frac{d p_{j}}{d t}=0
\]

откуда
\[
p_{j}=\text { const. }
\]

Таким образом, мы можем сформулировать следующую общую теорему о сохранении:

Если координата $q_{j}$ является циклической, то соответствующий обобщенный импульс остается постоянным.

Равенство (2.43) представляет собой первый интеграл типа (2.40) и оно может быть использовано для формального исключения циклической координаты. После такого исключения мы получим систему уравнений, содержащих только оставшиеся нециклические координаты, и задача сведется к решению этой системы. В связи с этим Раусом был предложен метод, состоящий в такой модификации лагранжиана, при которой исчезают функции циклических скоростей $\dot{q}_{j}$, а вместо них появляются соогветствующие импульсы $p_{j}$. Преимущество такого приема состоит в том, что он позволяет рассматривать эти импульсы $p_{j}$ как постоянные интегрирования, и тогда последующее интегрирование будет относиться только к нециклическим координатам. Подробное рассмотрение метода Рауса мы отложим до тех пор, пока не познакомимся с так называемым гамильтонианом, с которым этот метод тесно связан.
*) Понятия «циклическая координата» и «игнорируемая координата» обычно считаются тождественными и имеющими указанный выше смысл. Однако некоторые авторы делают различне между этими понятиями, определяя циклическую координату как координату, не входящую в кинетическую энергию $T$, а игнорируемую координату – как координату, не входящую в лагранжиан [см. Webster, The Dynamics of Particles (имеется русский геревод: Вебстер А., Механика материальных точек твердых, упругих и жидких тел, М.-Л., ГТТИ, 1933) и В у erly, Generalized Coordinates]. Эймс и Мэрнаган (Ames и Murnagh a n, Theoretical Mechanics) пользовались обоими этими терминами, считая их эквивалентными, но, по-вндимому, понимали под этим такие координаты, которые не входят в $T$.

Заметим, что условия, при которых сираведлива теорема о сохранении обобщенного импульса, являются более общими, чем ге, при которых верны теоремы о сохранении количества движения и кинетического момента, полученные ранее. Так, например, полученная сейчас теорема о сохранении справедлива и тогда, когда нарушается закон равенства действия и противодействия, что имеет место при наличии электромагнитных сил. Пусть, например, мы имеем свободную частицу, находящуюся в электромагнитном поле, причем функции $\varphi$ и $\boldsymbol{A}$ не зависят от $x$. Тогда $x$ не войдет и в $L$ и, следовательно, эта координата будет циклической. Поэтому соответствующий обобщенный импульс $p_{x}$ должен оставаться постоянным. Согласно (1.61) этот импульс равен
\[
p_{x}=m \dot{x}+\frac{q A_{x}}{c}=\mathrm{const}
\]

и, как показывает эта формула, он не является обычным механическим количеством движения $m \dot{x}$, а отличается от него на величину $\left.\frac{q A_{x}}{c} *\right)$.

Покажем теперь, что теоремы о сохранении, доказанные нами в главе $1, \S 2$, могут быть получены из равенства (2.43) для циклических координат. Выберем для этого обобщенную ковен перемещению рассматриваемой системы как одного целого в заданном направлении. Примером такой ксординаты может служить одна из декартовых координат центра масс системы. Тогда ясно, что $q_{j}$ не будет входить в выражение для $T$, так как смещение системы в целом не влияет на скорости ее точек. Поэтому $\frac{\partial T}{\partial q_{j}}$ будет равно нулю. Кроме того, потенциал системы $V$ мы будем считать не зависящим от скоростей (чтобы исключить такие аномальные силы, как электромагнитные). Тогда уравнение Лагранжа для рассматриваемой координаты $q_{j}$ будет иметь вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}} \equiv \dot{p}_{j}=-\frac{\partial V}{\partial q_{j}} \equiv Q_{j} .
\]

Покажем теперь, что это уравнение выражает теорему о количестве движения, т. е. что $Q_{j}$ представляет сумму составляющих всех сил в направлении $q_{j}$, а $p_{j}$ – составляющую количества
*) Основываясь на классической электродинамике, можно показать, что если $\boldsymbol{A}$ и $\varphi$ не зависят от $x$, то величина $\frac{q A_{x}}{c}$ будет равна $x$-компоненте электромагнитного импульса поля, связанного с зарядом $q$.

движения системы в этом же направлении. Мы знаем, что обобщенная сила $Q_{j}$ определяется равенством
\[
Q_{j}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} .
\]

Но так как в данном случае $d q_{j}$ есть перемещение системы вдоль некоторой оси, то векторы $\boldsymbol{r}_{i}\left(q_{j}\right)$ и $\boldsymbol{r}_{i}\left(q_{j}+d q_{j}\right)$ будут выглядеть так, как это показано на рис. 16. Поэтому, дифференцируя $\boldsymbol{r}_{i}$ по $q_{j}$, получаем
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}=\lim _{d q_{j} \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol{r}_{i}\left(q_{j}+d q_{j}\right)-\boldsymbol{r}_{i}\left(q_{j}\right)}{d q_{j}}= \\
=\frac{d q_{j} \boldsymbol{n}}{d q_{j}}=\boldsymbol{n},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{n}$ – единичный вектор в направлении перемещения $d q_{j}$. Следовательно,

Рис. 16. Изменение ралиусавектора точки при поступательном перемещении системы.
\[
Q_{j}=\Sigma \boldsymbol{F}_{i} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{F} .
\]

Таким образом, $Q_{j}$, как это утверждалось выше, есть составляющая полной силы $\boldsymbol{F}$ в направлении $\boldsymbol{n}$. Чтобы доказать вторую половину нашего утверждения, заметим, что если кинетическая энергия $T$ имеет вид
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} \dot{r}_{i}^{2}
\]

то обобщенный импульс, соответствующий координате $q_{j}$, можно на основании (1.48) записать в виде
\[
p_{j}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}=\sum_{i} m_{i} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=\sum_{i} m_{i} \boldsymbol{v}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} .
\]

Тогда из (2.46) получим:
\[
p_{j}=\boldsymbol{n} \cdot \sum_{\boldsymbol{i}} m_{i} \boldsymbol{v}_{i} .
\]

Таким образом, мы доказали вторую часть сделанного утверждения, что $p_{i}$ есть составляющая полного количества двнжения системы в направлении $\boldsymbol{n}$.

Предположим теперь, что рассматриваемая нами координата $q_{j}$ является циклической. Тогда $q_{j}$ не войдет в $V$, и, следовательно, будем иметь
\[
-\frac{\partial V}{\partial q} \equiv Q=0 .
\]

В этом случае мы получаем обычную теорему о сохранении количества движения, утверждающую, что если одна из составляющих полной силы $\boldsymbol{F}$ будет равна нулю, то соответствующая составляющая количества движения будет постоянной.

Аналогично можно показать, что если циклическая координата $q_{j}$ такова, что $d q_{j}$ соответствует вращению системы вокруг некоторой оси, то равенство $p_{j}=$ const выражает теорему о сохранении кинетического момента системы. Докажем это.

Рассуждая так же, как и раньше, мы приходим к выводу, что координата $q_{j}$ не может входить в выражение для $T$, так как поворот системы не может влиять на величину скоростей ее точек. Следовательно, $\frac{\partial T}{\partial q_{j}}$ должно равняться нулю, а так как $V$ не зависит от $\dot{q}_{j}$, то мы опять получаем уравнение (2.45). Но так как $q_{j}$ является теперь угловой координатой, то нам нужно показать, что обобщенная сила $Q_{j}$ будет суммарным моментом всех сил относительно оси вращения, а $p_{j}-$ полным кинетическим моментом системы относительно той же оси. Обобщенная сила $Q$, как и ранее, равна
\[
Q_{i}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}},
\]

но производная $\frac{\partial \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}}}{\partial q_{j}}$ имеет теперь другой геометрический смысл. Изменение координаты $q_{j}$ означает теперь бес-
Рис. 17. Изменение радиусавектора точки при повороте системы.

конечно малый поворот вектора $\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}}$ при сохранении его длины, и поэтому будем иметь:
\[
\left|d r_{i}\right|=r_{i} \sin \theta d q_{l}
\]
(рис. 17). Следовательно,
\[
\left|\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}\right|=r_{i} \sin \theta
\]

причем направление этого вектора будет перпендикулярно к $\boldsymbol{r}_{i}$ и $\boldsymbol{n}$. Учитывая это, мы можем написать
\[
\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}=n \times \boldsymbol{r}_{i}
\]

и тогда получим
\[
Q_{j}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{r}_{i}=\sum_{i} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r}_{i} \times \boldsymbol{F}_{i},
\]

или
\[
Q_{i}=n \cdot \Sigma_{i} N_{i}=n \cdot N,
\]

что доказывает первую часть нашего утверждения. Совершая затем аналогичные преобразования над величиной $p_{j}$, получаем
\[
p_{j}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}=\sum_{i} m_{i} v_{i} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}=\sum_{i} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}} \times m_{i} v_{i}=\boldsymbol{n} \cdot \sum_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{L}_{i}=\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{L} .
\]

Таким образом, доказана вторая часть сделанного нами утверждения. Итак, если угловая координата $q_{j}$ будет циклической, то обобщенная сила $Q_{j}$, являющаяся моментом всех действующих сил относительно оси $\boldsymbol{n}$, будет равна нулю; кинетический момент системы относительно оси $\boldsymbol{n}$ будет при этом постоянным. Таким образом, мы вновь доказали теорему о сохранении кинетического момента, получив ее из общей теоремы о сохранении для циклических координат.

Циклические координаты, описывающие перемещения или вращения, играют. важную роль при исследовании свойств системы. Поэтому они заслуживают того, чтобы на них остановиться несколько подробнее. Если координата, описывающая перемещение системы, является циклической, то это означает, что перемещение системы как твердого тела не отражается на ее динамических характеристиках. Вследствие этого, если система инвариантна относительно перемещения вдоль данного направления, то соответствующее количество движения сохраняется постоянным. Аналогично, если циклической координатой будет координата, описывающая поворот (и поэтому будет оставаться постоянным кинетический момент системы), то система будет инвариантна относительно вращения вокруг данной оси. Таким образом, теоремы о сохранении количества движения и кинетического момента тесно связаны со свойствами симметрии системы. Если, например, система обладает сферической симметрией, то мы можем сразу утверждать, что все составляющие ее кинетического момента будут оставаться постоянными. Если же сисгема симметрична только относительно оси $z$, то неизменным будет оставаться только кинетический момент $L_{z}$, и аналогично для других осей. С зависимостью между постоянными, характеризующими движение, и свойствами симметрии мы еще несколько раз встретимся.

Другой теоремой о сохранении, которую мы также получим сейчас с помощью лагранжиана, является теорема о сохранении полной энергии консервативной системы. Рассмотрим консервативную систему, для которой $F=-
abla V$, где $V-$ функция, не зависящая от скорости. Кроме того, введем дополнительное ограничение, потребовав, чтобы связи не зависели от времени. Тогда $L$ не будет явно зависеть от $t$, и производная $\frac{d L}{d t}$ будет равна
\[
\frac{d L}{d t}=\sum_{j} \frac{\partial L}{\partial q_{j}} \frac{d q_{j}}{d t}+\sum_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \frac{d \dot{q}_{j}}{d t} .
\]

Но согласно уравнениям Лагранжа
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}},
\]

и поэтому можно написать
\[
\frac{d L}{d t}=\sum_{j} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}+\sum_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \frac{d \dot{q}_{j}}{d t},
\]

или
\[
\frac{d L}{d t}=\sum_{j} \frac{d}{d t}\left(\dot{q}_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) .
\]

Отсюда
\[
\frac{d}{d t}\left(L-\sum_{j} \dot{q}_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)=0
\]

и, следовательно,
\[
L-\sum_{j} \dot{q}_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=-H,
\]

где $H$ есть некоторая постоянная. Это уравнение можно тақже записать в виде
\[
H=\sum_{j} \dot{q}_{j} p_{j}-L .
\]

Таким образом, мы получили первый интеграл уравнений движения. Покажем теперь, что правая часть равенства (2.50) представляет собой полную энергию рассматриваемой системы.

Для консервативных систем ( $V$ не зависит от скоростей $\dot{q}_{j}$ ) имеем:
\[
p_{j}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}},
\]

и поэтому первый член правой части (2.50) равен
\[
\sum_{j} \dot{q}_{J} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}} .
\]
Но в $§ 1.6$ было показано, что если связи не зависят от времени [или, точнее, если формулы (1.36) не содержат явно $t$ ], то кинетическая энергия $T$ есть однородная квадратичная функция $\dot{q}_{j}$. Далее следует вспомнить теорему Эйлера, согласно которой дла всякой однородной функции $f\left(q_{j}\right)$ справедливо тождество
\[
\sum_{i} q_{i} \frac{\partial f}{\partial q_{i}}=n f
\]

где $n$-порядок однородной функции. В данном случае $n$ равно двум и, следовательно,
\[
\sum_{j} \dot{q}_{j} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}=2 T
\]

Отсюда
\[
H=2 T-(T-V)=T+V .
\]

Это равенство выражает теорему о сохранении полной энергии системы.

Эта теорема получена сейчас более строгим путем, чем в главе 1 , и мы видим, что, кроме консервативности сил, здесь нужно потребовать еще, чтобы связи не зависели от времени. В сущности эти теоремы говорят не совсем об одной и той же энергии. В теореме, сформулированной нами ранее, изменение энергии системы определяется работой всех сил, включая реакции связей. Здесь же в новой формулировке энергия $V$ определяется работой лишь активных сил и не включает в себя работу реакций. При связях, не зависящих от времени, между этими теоремами нет существенной разницы, так как мы знаем, Рис. 18. что реакции связей, не зависящих от времени, не совершают работы при виртуальных перемещениях и поэтому их потенциал является величиной постоянной. Однако если имеется движущаяся связь, то ее реакция может не быть перпендикулярной к действительному перемещению, и поэтому работа, совершаемая такими реакциями, может быть отличной от нуля. Так, например, если движение точки ограничено перемещением по некоторой движущейся кривой, то в каждый момент времени $t$ реакция связи будет нормальна к этой кривой, однако перемещение точки за время $d t$ уже не будет направлено по касательной к ней (рис. 18). Потенциал подобных реакций связи будет изменяться со временем, и поэтому весьма существенно, входит ли в «полную энергию» этой системы доля, обусловленная реакциями связей*).

ЗАДАЧИ

1. Доказать, что кратчайшим расстоянием между двумя точками пространства является длина отрезка прямой, соединяющей эти точки.
2. Показать, что геодезическими линиями сферы являются окружности, центры которых совпадают с центром сферы (большие круги).
3. Закончить решение задачи о брахистохроне, начатое в $\S 2.2$, и показать, что искомая кривая является циклоидой, точка заострения которой находится в начальной точке движения. Показать, кроме того, что если движение начинается с кинетической энергией $\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$, то брахистохрона также будет циклоидой, но точка заострения ее будет находиться на высоте $z=\frac{v_{0}^{2}}{2 g}$ над начальной точкой движения.
4. Решая в $\S 2.2$ задачу об экстремуме интеграла $\int f d x$, мы считали, что $f=f(x, y, \dot{y})$, где $\dot{y}=\frac{d y}{d x}$. Показать, что если функция $f$ содержит еще $\ddot{y}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, то уравнение Эйлера – Лагранжа будет иметь вид:
\[
\frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial \ddot{y}^{2}}-\frac{d}{d x} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}}+\frac{\partial f}{\partial y}=0 .
\]
5. Из опыта установлено, что, падая без начальной скорости, материальная точка проходит путь $y_{0}$ за время $t_{0}=\sqrt{\frac{2 y_{0}}{g}}$. Предположим, далее, что для $y
eq y_{0}$ время падения ее неизвестно и что о зависимости $y$ от $t$ известно только то, что она имеет вид $y=a t+b t^{2}$. Показать, что если постоянные $a$ и $b$ выбрать так, чтобы время падения с высоты $y_{0}$ было равно указанному значению $t_{0}$, то интеграл
\[
\int_{0}^{t_{0}} L d t
\]

будет иметь экстремум только при $a=0$ и $b=\frac{g}{2}$, т. е. при истинных значениях этих коэффициентов.
*) Следует заметить, что формулы перехода к обобщенным координатам могут содержать время явным образом и по причинам, отличным от движения связей, например в случае вращающихся координатных осей. Тем не менее, может случиться, что лагранжиан не будет при этом содержать времени явным образом. Величина $H$ будет тогда постоянной, но так как $T$ не будет при этом однородной функцией скоростей, то $H$ более уже не будет равно $T+V$. Ясно, что энергия системы также будет в этих случаях постоянной. Использование, например, вращающейся системы координат оказывается удобным в математическом отношении и не изменяет, конечно, физического существа явления (см. гл. 8).

6. В случае, когда силы действуют в течение весьма короткого промежутка времени (например, при ударе двух тел), их называют импульсив ными. Под импульсом силы $F$ понимается интеграл
\[
\int_{\Delta t} F d t
\]

где $\Delta t$-бесконечно малый промежуток времени, в течение которого действует эта сила. Показать, что при наличии импульсивных сил уравнения Лагранжа можно записать в виде
\[
\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)_{f}-\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)_{i}=S_{j},
\]

где индексы $i$ и $f$ относятся к состоянию системы до и после приложения импульсивных сил, $S_{j}$ обозначает импульс обобщенной силы, соответствующей координате $q_{j}$, а $L$-лагранжиан системы с учетом всех неимпульсивных сил, не зависящих от скоростей.
7. Тяжелая материальная точка скатывается с вершины круглого вертикального обруча. Вычислить реакцию обруча с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Найти высоту, на которой материальная точка покидает обруч.
8. Тяжелая материальная точка движется по внутренней поверхности гараболоида, ось которого вертикальна, а вершина находится на поверхности Земли. Составить лагранжиан и найти реакции связи с помощью метода множителей Лагранжа. Показать, что давление точки на поверхность параболоида пропорционально радиусу кривизны параболы в этой точке.
9. Пусть потенциал, фигурирующий в лагранжиане, содержит члены, зависящие от скорости, и пусть $\theta$ будет координатой, характеризующей поворот системы в целом. Показать, что соответствующий обобщенный импульс $p_{\theta}$ будет не обычным кинетическим моментом $L_{\theta}$, а будет определяться равенством
\[
p_{\theta}=L_{\theta}-\sum_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{n} \cdot\left(\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{i}} \times
abla_{v i} U\right),
\]

где $
abla_{v}$ – градиент, полученный посредством дифференцирования по составляющим скорости, а $\boldsymbol{n}$-единичный вектор вдоль оси вращения. Если силы имеют электромагнитную природу, то обобщенный импульс будет равен
\[
p_{\theta}=L_{\theta}+\sum_{i} \boldsymbol{n} \cdot\left(\boldsymbol{r}_{i} \times \frac{q_{i}}{c} \boldsymbol{A}_{i}\right) .
\]
10. Пусть система такова, что
\[
T=\sum_{i} f_{i}\left(q_{i}\right) \dot{q}_{i}^{2}, \quad V=\sum_{i} V_{i}\left(q_{i}\right) .
\]

Показать, что уравнения Лагранжа распадаютея в этом случае на ряд независимых уравнений, решение которых всегда можно свести к квадратурам.
Рекомендуемая литература
H. Margenau, G. M. Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry.

По вариационному исчислению имеется много книг, однако в большинстве случаев они в математическом отношении далеко выходят за пределы того, что нужно для изложения принципа Гамильтона. Краткое изложение