Прежде чем перейти к рассмотрению движения твердого тела, установим, сколько нужно независимых координат для задания его положения. Если это тело состоит из $N$ частиц, то оно не может иметь более $3 N$ степеней свободы, однако в действительности число этих степеней значительно меньше, так как здесь имеются связи, которые можно представить уравнениями вида
\[
r_{i j}=c_{i j},
\]

где $r_{i j}$-расстояние между $i$-й и $j$-й точками, а $c_{i j}$ – постоянные. Действительное число степеней свободы нельзя получить простым вычитанием числа уравнений связи из числа $3 N$, так как здесь имеется $\frac{1}{2} N(N-1)$ уравнений (4.1), что при большом значении $N$ превышает $3 N$. Это связано с тем, что не все уравнения (4.1) являются независимыми, так как для каждой конкретной точки твердого тела не обязательно определять ее расстояния до всех других точек; достаточно задать ее расстояния до трех любых точек, не лежащих на одной прямой

(рис. 37). Поэтому, если заданы положения трех точек твердого тела, то положения всех остальных его точек определяются из условий связи. Следовательно, число стспеней свободы твердого тела не может превышать девяти. Однако три основные точки тела также не являются независимыми. Действительно, здесь

Рис. 37. Определение положення точки в твердом теле посредством задания еe расстояний от трех других его точек. имеются три следующих уравнения жесткой связи, наложенной на эти точки:
\[
r_{12}=c_{12}, \quad r_{23}=c_{23}, \quad r_{13}=c_{13} .
\]

Эти уравнения уменьшают число степеней свободы до шести.

Тот факт, что для задания положения твердого тела нужно только шесть координат, можно было предвидеть, исходя из следующих соображений. Для того чтобы определить положение одной из точек тела, нужно задать три координаты. Но если положение какой-либо точки 1 будет фиксировано, то положение точки 2 можно будет определить только двумя координатами, так как ее движение ограничено поверхностью сферы с центром в точке 1. После того как положения точек 1 и 2 определены, точка 3 получает лишь одну степень свободы, так как она может только вращаться вокруг оси, соединяющей точки 1 и 2. Следовательно, в общей сложности нам достаточно иметь лишь шесть координат.

Таким образом, для задания положения твердого тела в пространстве требуется шесть независимых обобщенных координат. Число это не зависит от количества частиц, составляющих данное тело, и остается тем же даже в предельном случае непрерывного сплошного тела. Конечно, помимо связей, обеспечивающих жесткость тела, могут иметься и дополнительные связи. Например, движение тела может быть ограничено некоторой поверхностью или тело может иметь одну неподвижную точку. В этих случаях добавочные связи будут уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых координат.

Возникает вопрос о том, как следует выбрать эти координаты. Мы уже отмечали, что положение твердого тела полностью определяется положением жестко связанной с ним системы координат (система $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ на рис. 38). Эта система определяет положение твердого тела относительно координатных осей $x y z$, связанных с окружающим пространством. Ясно, что для того, чтобы задать положение начала подвижной системы (связанной с телом), нужно указать три его координаты. Тогда остальные три координаты должны будут определять ориентацию осей $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ относительно системы, начало которой находится в точке $O^{\prime}$, а оси параллельны осям $x y z$.

Существует много способов задания ориентации одной декартовой системы относительно другой, имеющей с ней общее начало. Наиболее удачный из них состоит в задании направляющих косинусов осей $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ относительно осей $x y z$. Ось $x^{\prime}$,
Рис. 38. Неподвижная система координат и система координат, связанная с твердым телом.
Рис. 39. Углы, определяющие положение подвижной системы координат относительно неподвижной

например, можно определить тремя ее направляющими косинусами $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$. Если единичные векторы осей $x, y, z$ обозначить, как обычно, через $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$, а единичные векторы осей $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ через $\boldsymbol{i}^{\prime}, \boldsymbol{j}^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}$, то эти направляющие косинусы можно записать в виде (рис. 39 ):
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\cos \left(\boldsymbol{i}^{\prime}, \boldsymbol{i}\right)=\boldsymbol{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{i}, \\
\alpha_{2}=\cos \left(\boldsymbol{i}^{\prime}, \boldsymbol{j}\right)=\boldsymbol{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{j}, \\
\alpha_{3}=\cos \left(\boldsymbol{i}^{\prime}, \boldsymbol{k}\right)=\boldsymbol{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{k} .
\end{array}\right\}
\]

Вектор $\boldsymbol{i}^{\prime}$ можно выразить через векторы $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ с помощью соотношений
\[
i^{\prime}=\left(i^{\prime} \cdot i\right) i+\left(i^{\prime} \cdot j\right) j+\left(i^{\prime} \cdot k\right) k,
\]

или
\[
\boldsymbol{i}^{\prime}=\alpha_{1} i+\alpha_{2} j+\alpha_{3} k .
\]

Аналогичные выражения можно получить и для направляющих косинусов оси $y^{\prime}$ относительно осей $x, y$, $z$. Они будут компонентами вектора $j$ в неподвижной системе координат, и, обозначив их через $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$, получим:
\[
\boldsymbol{j}^{\prime}=\beta_{1} \boldsymbol{i}+\beta_{2} \boldsymbol{j}+\beta_{3} \boldsymbol{k}
\]

Наконец, обозначив направляющие косинусы оси $z^{\prime}$ через $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}, \gamma_{3}$, мы получим еще одно аналогичное уравнение, относящееся к вектору $\boldsymbol{k}^{\prime}$. Система из девяти направляющих косинусов будет полностью определять ориентацию системы $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ относительно системы хуz. С равным основанием мы можем обратить этот процесс и использовать направляющие косинусы для выражения единичных векторов $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ через их составляющие по осям $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. В этом случае будем иметь

или
\[
\boldsymbol{i}=\left(\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}^{\prime}\right) \boldsymbol{i}^{\prime}+\left(\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}^{\prime}\right) \boldsymbol{j}^{\prime}+\left(\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{k}^{\prime}\right) \boldsymbol{k}^{\prime},
\]
\[
i=\alpha_{1} i^{\prime}+\beta_{1} j^{\prime}+\gamma_{1} k^{\prime}
\]

и аналогично для векторов $\boldsymbol{j}$ и $\boldsymbol{k}$.
Направляющие косинусы позволяют также выразить координаты некоторой точки в системе $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ через ее координаты в системе $x y z$. Так как координаты точки относительно некоторой системы являются проекциями ее радиуса-вектора $\boldsymbol{r}$ на оси этой системы, то

или
\[
\boldsymbol{x}^{\prime}=r \cdot \boldsymbol{i}^{\prime}, \quad y^{\prime}=r \cdot j^{\prime}, \quad z^{\prime}=r \cdot \boldsymbol{k}^{\prime},
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{\prime}=\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z, \\
y^{\prime}=\beta_{1} x+\beta_{2} y+\beta_{3} z, \\
z^{\prime}=\gamma_{1} x+\gamma_{2} y+\gamma_{3} z .
\end{array}\right\}
\]

Написанные соотношения справедливы не только для радиусавектора $r$, но и для любого другого вектора. Так, например, если $\boldsymbol{G}$ есть некоторый вектор, то между его проекцией на ось $x^{\prime}$ и проекциями на оси $x, y, z$ будет иметь место соотношение
\[
G_{x^{\prime}}=\left(\boldsymbol{G} \cdot \boldsymbol{i}^{\prime}\right)=\alpha_{1} G_{x}+\alpha_{2} G_{y}+\alpha_{3} G_{z} .
\]

Аналогичные соотношения можно написать и для $G_{y^{\prime}}$, и $G_{z^{\prime}}$ Таким образом, девять направляющих косинусов полностью определяют переход от одной координатной системы к другой.

Если подвижные оси $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ жестко связаны с телом, то девять направляющих косинусов будут функциями времени (так как в процессе движения тело изменяет свою ориентацию) В этом смысле величины $\alpha, \beta, \gamma$ можно рассматривать как координаты, описывающие мгновенную ориентацию тела. Однакс ясно, что они не являются независимыми, так как их девять, а мы знаем, что для определения ориентации тела достаточно задать только три координаты.

Соотношения между направляющими косинусами определяются тем обстоятельством, что орты осей каждой системы ортогональны друг другу и, кроме того, имеют единичную величину. Это можно записать в виде равенств:

и
\[
\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k}=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{i}=0
\]
\[
\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}=\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}=1
\]

и аналогично для $\boldsymbol{i}^{\prime}, \boldsymbol{j}^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}$. Подставив сюда вместо $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ их выражения через $\boldsymbol{i}^{\prime}, \boldsymbol{j}^{\prime}, \boldsymbol{k}^{\prime}$ [согласпо (4.5)], мы получим условия, которым должны удовлетворять девять коэффициентов $\alpha, \beta, \gamma$ :
\[
\begin{aligned}
\alpha_{l} \alpha_{m}+\beta_{l} \beta_{m}+\gamma_{l} \gamma_{m}=0 & (l, m=1,2,3 ; l
eq m), \\
\alpha_{l}^{2}+\beta_{l}^{2}+\gamma_{l}^{2}=1 & (l=1,2,3) .
\end{aligned}
\]

Эти две системы уравнений вполне достаточны для того, чтобы уменьшить число независимых коэффициентов с девяти до трех. Формально эти шесть уравнений можно объединить в одно с помощью символа Кронекера $\delta_{l m}$, определяемого следующим образом:
\[
\begin{array}{ll}
\delta_{l m}=1 & (l=m), \\
\delta_{l m}=0 & (l
eq m) .
\end{array}
\]

Если воспользоваться этим символом, то уравнения (4.8) можно записать в виде
\[
\alpha_{l} \alpha_{m}+\beta_{l} \beta_{m}+\gamma_{l} \gamma_{m}=\delta_{l m} .
\]

Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения.