Из формулы (11.9) видно, что в случае упругого стержня $\mathfrak{R}$ содержит не только $\dot{\eta} \equiv \frac{\partial \eta}{\partial t}$, но и пространственную производную $\frac{\partial \eta}{\partial x}$. Таким образом, $x$ и $t$ являются здесь равноправными параметрами удельного лагранжиана. В общем случае $\mathfrak{R}$ будет, конечно, функцией не только этих производных, но и самого $\eta$, $t$ и $x$. Если же рассматриваемая непрерывная система является трехмерной, то ее удельный лагранжиан будет иметь вид
\[
\mathfrak{L}=\mathfrak{L}\left(\eta, \frac{\partial \eta}{\partial x}, \frac{\partial \eta}{\partial y}, \frac{\partial \eta}{\partial z}, \frac{\partial \eta}{\partial t}, x, y, z, t\right) .
\]

В механике дискретных систем лагранжиан был важен в том отношении, что позволял получить уравнения движения. Мы увидим сейчас, что в случае непрерывных систем эти уравнения получаются непосредственно из удельного лагранжиана $\mathfrak{2}$. Будем исходить из принципа Гамильтона, который теперь принимает вид
\[
\delta I=\delta \int_{1}^{2} \iiint \mathfrak{R} d x d y d z d t=0 .
\]

Характер фигурирующей здесь вариации почти такой же, как y рассмотренных нами ранее. Параметры $x, y, z$ в процессе этого варьирования не участвуют, и все вариации берутся при постоянных $x, y, z$ и $t$. Пределы интегрирования по $t, x, y$, и $z$ при этом не меняются. Что касается вариаций $\delta \eta$, то они должны обращаться в нуль не только в точках $t=t_{1}$ и $t=t_{2}$, но и в любой точке на границе объема интегрирования.

Переход к задаче на обычный экстремум можно здесь провести так же, как и в случае дискретной системы, т. е. вводя семейство возможных траекторий и характеризуя их значениями некоторого параметра $\alpha$. Однако так как по $\delta$-вариациям у нас накоплен достаточный опыт, то мы можем и не вводить этого параметра, а пользоваться самим символом $\delta$, помня при этом, что
\[
\delta \rightarrow d \alpha \frac{\partial}{\partial \eta} .
\]

Так как $\mathfrak{L}$ есть функция не только $\eta$ и $\dot{\eta}$, но также и производных $\eta$ по $x, y, z$, то вариация $\mathfrak{R}$ равна
\[
\delta \mathcal{R}=\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \eta} \delta \eta+\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{\eta}} \delta \dot{\eta}+\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)} \delta\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right),
\]

где $x, y, z$ заменены для удобства на $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Поэтому принцип Гамильтона можно записать в виде
\[
\int_{1}^{2} \iiint\left[\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \eta} \delta \eta+\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial \dot{\eta}} \delta \dot{\eta}+\sum_{k=1}^{3} \frac{\partial \mathcal{I}}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)} \delta\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)\right] d x_{1} d x_{2} d x_{3} d t=0
\]

Применяя интегрирование по частям (как это делалось при вы: воде обычных уравнений Лагранжа), получаем:
\[
\int_{1}^{2} \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{\eta}} \delta \dot{\eta} d t=-\int_{1}^{2} \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{\eta}}\right) \delta \eta d t .
\]

Аналогичным образом можно поступить и с интегралами, содержащими вариации $\delta\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)$. Переставляя местами символы $\delta$ и $\frac{\partial}{\partial x_{k}}$, будем иметь
\[
\int \frac{\partial 尺}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)} \delta\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right) d x_{k}=\int \frac{\partial \mathbb{R}}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)} \frac{\partial \delta \eta}{\partial x_{k}} d x_{k}
\]

и, выполняя интегрирование по частям, получаем *):
\[
\frac{\partial \mathfrak{R}}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)} \delta \eta-\int \frac{d}{d x_{k}}\left[\frac{\partial \mathfrak{R}}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)}\right] \delta \eta d x_{k} .
\]

Первый член этой разности обращается в нуль (так же, как Р. интеграле по времени), ибо в крайних точках интервала интегрирования $\delta \eta$ равно нулю. Здесь, впрочем, может возникнуть некоторая трудность, так как размеры рассматриваемой системы могут быть бесконечно большими. Однако при стремлении $\boldsymbol{r}$ к бесконечности $\eta$ большей частью быстро стремится к нулю, и поэтому первый член разности (11.15) можно считать равным нулю и в этих глучаях. Кроме того, мы можем поступить формально и вести интегрирование по конечной области, ஏ после опускания первого слагаемого (11.15) можем считать допустимыми и бесконечные размеры области интегрирования.
Таким образом, принцип Гамильтона принимает вид
\[
\int_{1}^{2} \iiint \delta \eta\left\{\frac{\partial \supseteq}{\partial \eta}-\frac{d}{d t} \frac{\partial \supseteq}{\partial \dot{\eta}}-\sum_{k=1}^{3} \frac{d}{d x_{k}}\left[\frac{\partial \Omega}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)}\right]\right\} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d t=0
\]

Обращаться в нуль при произвольном $\delta \eta\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right)$ этот интеграл может только тогда, когда
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial \dot{\eta}}+\sum_{k=1}^{3} \frac{d}{d x_{k}}\left[\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}\right)}\right]-\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \eta}=0 .
\]
*) Переход от частной производной по $x_{\text {\& в }}$ в (11.14) к полной производной в (11.15) может вызвать некоторые недоразумения. В первом случае частная производная указывает на то, что $\eta$ есть функция не только $\boldsymbol{x}_{k}$, но и $t$, а также других координат. Что касается второго случая, то в выражении (11.15) мы не можем употреблять символ частной производной, так как это означало бы, что рассматривается лишь явная зависимость $\mathfrak{Q}$ от $x_{k}$. Поэтому мы пользуемся здесь символом полной производной, желая подчеркнуть, что эта производная учитывает и неявную зависимость от $x_{k}$, вносимую переменной $\eta$. Так или иначе, но смысл операций, которые здесь должны быть выполнены, совершенно ясен.

Мы знаем, что в случае системы с $n$ степенями свободы имеется $n$ уравнений Лагранжа. Поэтому может показаться странным, что для системы с бесконечным числом степеней свободы получено только одно уравнение (11.17). Следует, однако, помнить, что в обычные уравнения Лагранжа входит только одна независимая переменная – время, а в уравнение (11.17) входят четыре переменные: $x_{1}, x_{2}, x_{3}, t$. Поэтому уравнение (11.17) является уравнением в частных производных. Можно смотреть на него как на сумму обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при фиксированных значениях $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Тогда число этих уравнений будет бесконечно велико, что согласуется с бесконечно большим числом степеней свободы.

При выводе уравнения (11.17) мы предполагали, что каждая точка системы может совершать лишь один вид перемещения, описываемого величиной $\eta$. Однако в более общей задаче, такой, например, как задача о колебаниях упругого тела, будут иметь место перемещения по всем трем направлениям. В этом случае будет иметься не одна обобщенная координата, а три, которые мы будем обозначать индексом $j: \eta_{j}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right)$, где $j=1,2,3$. В более общем случае может быть и не три обобщенные координаты, а больше, и тогда $\mathfrak{2}$ будет функцией всех обобщенных координат и их производных по $x_{1}, x_{2}, x_{3}, t$. Каждой обобщенной координате $\eta_{j}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, t\right)$ будет соответствовать одно уравнение движения, имеющее вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{\eta}_{f}}+\sum_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\left[\frac{\partial R}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{j}}{\partial x_{k}}\right)}\right]-\frac{\partial R}{\partial \eta_{j}}=0 \quad(j=1,2, \ldots) .(11.18)
\]

Обозначения, которыми мы пользуемся, станут намного проще, если ввести так называемую функциональную производную ${ }^{*}$ ) или вариационную производную лагранжиана $L$ по $\eta_{j}$, равную
\[
\frac{\delta L}{\delta \eta_{f}}=\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \eta_{f}}-\sum_{k=1}^{3} \frac{d}{d x_{k}} \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{f}}{\partial x_{k}}\right)} .
\]

Аналогичным образом определяется и функциональная производная $L$ по $\dot{\eta}_{j}$, но так как $\mathfrak{R}$ не зависит от градиента производной $\dot{\eta}_{j}$, то
\[
\frac{\delta L}{\delta \dot{\eta}_{j}}=\frac{\partial \Omega}{\partial \dot{\eta}_{f}} .
\]
*) Функциональная производная $L$ по $\eta$ характеризует изменение $L$ при изменении функции $\eta(x)$ в окрестности данной точки простравства при условии, что зависимость $\eta$ от $t$ остается неизменной,

Преимущество функциональной производной состоит в том, что при пользовании ею мы не имеем дела с зависимостью $\mathfrak{R}$ от производных $\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}$. Так, например, согласно (11.8), (11.12) и (11.15)
\[
\delta L=\int \sum_{j}\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \eta_{j}} \delta \eta_{j}-\sum_{k} \frac{d}{d x_{k}} \frac{\partial \Omega}{\partial\left(\frac{\partial \eta_{j}}{\partial x_{k}}\right)} \delta \eta_{j}+\frac{\partial \Omega}{\partial \dot{\eta}_{j}} \delta \dot{\eta}_{j}\right) d V,
\]

где $d V$ – элемент объема. Если же пользоваться функциональной производной, то этот результат принимает вид
\[
\delta L=\int \sum_{i}\left(\frac{\delta L}{\delta \eta_{j}} \delta \eta_{i}+\frac{\delta L}{\delta \dot{\eta}_{j}} \delta \dot{\eta}_{i}\right) d V
\]

что, конечно, проще, чем (11.21), так как здесь не фигурируют производные $\frac{\partial \eta}{\partial x_{k}}$. Что же касается уравнений (11.18), то через функциональные производные их можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t} \frac{\delta L}{\delta \dot{\eta}_{f}}-\frac{\delta L}{\delta \eta_{f}}=0,
\]

напоминающем обычные уравнения Лагранжа.
Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнекиями в частных производных по $x_{k}$ и по $t$. Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали $x_{k}$ и $t$ равноправными параметрами ․ Это равноправие переменных $x_{k}$ и $t$ немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение $d x_{1} d x_{2} d x_{3} d t$ является здесь, в сущности, элементом объема в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца; если \& есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) также будет инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид

и если $\mathfrak{R}$ и $\eta$ будут скалярами пространства Минковского, то оно будет релятивистски инвариантным. То же самое относится и к уравнениям (11.18), инвариантность которых будет обеспечена, если $\Omega$ будет скаляром пространства Минковского, а $\eta_{i}$ будут обладать некоторыми характерными особенностями, например, будут составляющими 4-вектора.

В качестве простого примера применения полученных уравнений рассмотрим снова продольные колебания длинного упругого стержня. В этом случае $\mathfrak{R}$ будет определяться формулой (11.9), и поэтому будем иметь:
\[
\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial \eta}=0, \quad \frac{\partial \mathbb{Z}}{\partial \dot{\eta}}=\mu \dot{\eta}, \quad \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial\left(\frac{\partial \eta}{\partial x}\right)}=-Y \frac{\partial \eta}{\partial x} .
\]

Следовательно, уравнение (11.17) в этом случае имеет вид
\[
\mu \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}-Y \frac{d^{2} \eta}{d x^{2}}=0
\]

что совпадает с уравнением (11.7), полученным ранее. Это уравнение описывает распространение волны в одномерном пространстве и для скорости этой волны дает выражение
\[
v=\sqrt{\frac{Y}{\mu}},
\]

совпадающее с известным выражением для скорости продольных упругих волн.