Для определения ориентации твердого тела применяются и различные другие переменные, удобные в некоторых специальных исследованиях. Такими переменными, в частности, являются так называемые параметры Кэйли – Клейна, на которых следует остановиться более подробно, так как они представляют известный интерес.

Число этих параметров равно четырем, и, следовательно, они не являются независимыми, вследствие чего не могут служить в качестве обобщенных координат. Они были введены в классическую механику Ф. Қлейном главным образом для облегчения интегрирования уравнений при решении сложных гироскопических задач. В настоящее время эти координаты интересны главным образом тем, что они тесно связаны с вопросом о пространственном вращении в квантовой механике.

В предыдущих параграфах мы рассматривали ортогональные преобразования в действительном двумерном пространстве с осями $x_{1}$ и $x_{2}$. Теперь мы рассмотрим другое двумерное пространство, являющееся комплексным. Оси его мы обозначим через $и$ и $v$. Общее линейное преобразование в таком пространстве имеет вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
u^{\prime}=\alpha u+\beta v, \\
v^{\prime}=\gamma u+\delta v,
\end{array}\right\}
\]

и матрицей этого преобразования будет
\[
Q=\left\|\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right\| .
\]

В дальнейшем мы ограничимся лишь такими преобразованиями

$\mathrm{Q}$, которые являются унитарными и детерминант которых равен +1 . Следует подчеркнуть, что эти требования являются независимыми, так как свойство унитарности [формула (4.39)] имеет вид:
\[
\mathrm{a}^{+} \mathrm{a}=1 .
\]

Отсюда следует, что
\[
|\mathrm{Q}|^{*}|\mathrm{Q}|=1 \text {. }
\]

Из этого равенства видно, что детерминант $|\mathbf{Q}|$ имеет модуліь, равный единице, но аргумент его может быть при этом произвольным. Поэтому условие $|\mathrm{Q}|=1$, или, более подробно,
\[
\alpha \delta-\beta \gamma=+1,
\]

является дополнительным требованием и не содержится в унитарности этого преобразования.

Матрица общего линейного преобразования в двумерном комплексном пространстве имеет восемь величин, так как каждый из четырех ее элементов является комплексным. Однако наложенные нами требования уменьшают число независимых величин этой матрицы. Если условие унитарности [уравнение (4.50)] раскрыть, то оно запишется в виде следующих уравнений:
\[
\left.\begin{array}{l}
\alpha^{*} \alpha+\beta^{*} \beta=1, \\
\gamma^{*} \gamma+\delta^{*} \delta=1, \\
\alpha^{*} \gamma+\beta^{*} \delta=0 .
\end{array}\right\}
\]

Здесь два первых уравнения вещественные, а третье комплексное, и поэтому в них содержатся четыре условия. Пятым условием здесь будет условие (4.51), накладываемое на детерминант этого преобразования. Поэтому матрица Q содержит только три независимых величины, т.е. как раз такое число, какое нужно для определения ориентации твердого тела в трехмерном пространстве.

Некоторые из преобразований, приводящих к независимым параметрам этой матрицы, можно выполнить без особых трудностей. Так, например, из последнего уравнения (4.52) получаем
\[
\frac{\delta}{\gamma}=-\frac{\alpha^{*}}{\beta^{*}},
\]

что после подстановки в условие (4.51) дает
\[
-\left(\alpha \alpha^{*}+\beta \beta^{*}\right) \frac{\gamma}{\beta^{*}}=1 .
\]

Но согласно первому из уравнений (4.52) величина, стоящая в скобках, равна единице. Следовательно,
\[
\gamma=-\beta^{*} \text {. }
\]

Отсюда на основании (4.53) получаем
\[
\delta=\alpha^{*} .
\]

На основании четырех полученных условий [равенств (4.54) и ( $\because 55$ )] матрицу $\mathrm{Q}$ можно записать в виде
\[
Q=\left\|\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
-\beta^{*} & \alpha^{*}
\end{array}\right\|
\]

с одншм остающимся условием
\[
\alpha \alpha^{*}+\beta \beta^{*}=1 \text {. }
\]

Однако мы часто будем предпочитать прежнюю форму записи, т. е. форму (4.49).

Рассмотрим в этом пространстве матричный оператор $\mathbf{P}$, имеющий следующую специальную структуру:
\[
\mathbf{P}=\left\|\begin{array}{cc}
z & x-i y \\
x+i y & -z
\end{array}\right\| .
\]

Три вещественных числа $x, y, z$ мы будем интерпретировать как координаты некоторой точки в трехмерном пространстве. Пусть посредсгвом матрицы $Q$ рассматриваемая матрица $P$ преобразуется следующим образом:
\[
\mathrm{P}^{\prime}=\mathrm{QPQ}^{\dagger} .
\]

Это соотношение вытекает из свойства унитарности матрицы $\mathrm{Q}$, для которой эрмитовски сопряженная матрица такова же, как обратная матрица $\mathrm{Q}^{-1}$. Поэтому уравнение (4.59) просто описывает подобное преобразование матрицы $\mathbf{P}$ в случае, когда пространство $u v$ подвергается унитарному преобразованию $\mathbf{Q}$. Следует отметить, что матрица, эрмитовски сопряженная с $\mathbf{P}$, совпадает в данном случае с самой матрицей $P$. Такая матрица называется самосопряженной или эрмитовской. Кроме того, сумма диагональных элементов матрицы $P$, известная под названием шпур или след, будет здесь равна нулю. Но можно показать, что оба эти свойства матрицы (то, что она является эрмитовской, и то, что ее шпур равен нулю) сохраняются при подобном преобразовании (см. задачи в конце этой главы). Следовательно, матрица $\mathbf{P}^{\prime}$ также должна быть эрмитовской и должна иметь шпур, обращающийся в нуль, что возможно только тогда, когда она имеет вид
\[
P^{\prime}=\left\|\begin{array}{cc}
z^{\prime} & x^{\prime}-i y^{\prime} \\
x^{\prime}+i y^{\prime} & -z^{\prime}
\end{array}\right\| .
\]

где $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ – вещественные числа. Далее, детерминант матрицы $\mathrm{P}$ также инвариантен в отношении подобного преобразования (4.59), и поэтому мы можем написать:
\[
|\mathrm{P}|=-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=-\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)=\left|\mathbf{P}^{\prime}\right| .
\]

Это соотношение является условием ортогональности; оно требует, чтобы длина вектора $\boldsymbol{r}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ оставалась неизменной при переходе от $x y z$ к $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. Таким образом, мы видим, что каждой унитарной матрице $Q$ в двумерном комплексном пространстве соответствует некоторое связанное с ней ортогональное преобразование в обычном действительном пространстве трех измерений. Рассмотрим это соответствие более подробно. Пусть В будет вещественной ортогональной матрицей, преобразующей $\mathbf{x}$ в $\mathbf{x}^{\prime}$, и пусть $Q_{1}$ будет соответствующей унитарной матрицей. Тогда будем иметь:
\[
\mathbf{x}^{\prime}=\mathrm{Bx}
\]

и
\[
P^{\prime}=Q_{1} P Q_{1}^{+} .
\]

Пусть теперь совершается второе ортогональное преобразование, преобразующее $x^{\prime}$ в $x^{\prime \prime}$ с помощью матрицы $A$ :
\[
\mathrm{x}^{\prime \prime}=\mathrm{Ax}^{\prime} \text {. }
\]

Тогда для соответствующей матрицы $Q_{2}$ будем иметь:
\[
P^{\prime \prime}=Q_{2} P^{\prime} Q_{2}^{+} .
\]

Рассмотрим теперь непосредственное преобразование $\mathbf{x}$ в $\mathbf{x}^{\prime \prime}$. Оно производится матрицей $\mathrm{C}$, равной
\[
C=A B \text {, }
\]

а соответствующее преобразование $\mathbf{P}$ в $\mathbf{P}^{\prime \prime}$ осуществляется посредством подобного преобразования с некоторой матрицей $\mathrm{Q}_{3}$, которая должна соответствовать матрице С. Однако преобразование P в P\” описывается равенством
\[
\mathrm{P}^{\prime \prime}=\mathrm{Q}_{2} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{PQ}_{1}^{+} \mathrm{Q}^{2+},
\]

причем легко показать, что
\[
\mathrm{Q}_{1}^{+} \mathrm{Q}_{2}^{+}=\left(\mathrm{Q}_{2} \mathrm{Q}_{1}\right)^{\dagger} .
\]

Тогда на основании того, что произведение двух унитарных матриц есть опять унитарная матрица, можно сделать вывод, что
\[
\mathrm{a}_{3}=\mathrm{a}_{2} \mathrm{a}_{1} .
\]

Таким образом, соответствие между комплексными унитарными матрицами второго порядка и вещественными матрицами третьего порядка таково, что каждое соотношение между матрицами одной системы будет справедливым и для соответствующих матриц другой системы. Две такие системы матриц называются изоморфными.

Элементы ортогональной матрицы А можно выразить через элементы изоморфной матрицы $\mathrm{Q}$. Из (4.54) и (4.55) следует, что матрица, эрмитовски сопряженная с $\boldsymbol{Q}$, равна
\[
Q^{+}=\left\|\begin{array}{c}
\alpha^{*} \gamma^{*} \\
\beta^{*} \delta^{*}
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{rr}
\delta & -\beta \\
-\gamma & \alpha
\end{array}\right\| .
\]

Поэтому, введя для упрощения выкладок обозначения
\[
\begin{array}{l}
x_{+}=x+i y, \\
x_{-}=x-i y,
\end{array}
\]

мы сможем записать матрицу $\mathbf{P}^{\prime}$ в виде
\[
\mathrm{P}^{\prime}=\left\|\begin{array}{cc}
z^{\prime} & x_{-}^{\prime} \\
x_{+}^{\prime} & -z^{\prime}
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right\|\left\|\begin{array}{cc}
z & x_{-} \\
x_{+} & -z
\end{array}\right\|\left\|\begin{array}{rr}
\delta & -\beta \\
-\gamma & \alpha
\end{array}\right\|,
\]

или, после выполнения умножения:
\[
P^{\prime}=\left\|\begin{array}{cc}
(\alpha \delta+\beta \gamma) z-\alpha \gamma x_{-}+\beta \delta x_{+} & -2 \alpha \beta z+\alpha^{2} x_{-}-\beta^{2} x_{+} \\
2 \gamma \delta z-\gamma^{2} x_{-}+\delta^{2} x_{+} & -(\alpha \delta+\beta \gamma) z+\alpha x_{-}-\beta \delta x_{+}
\end{array}\right\| .
\]

Приравнивая теперь соответствующие элементы написанных матриц, мы получаем уравнения перехода от неподвижной координатной системы к подвижной:
\[
\left.\begin{array}{ll}
x_{+}^{\prime}=2 \gamma \delta z & -\gamma^{2} x_{-}+\delta^{2} x_{+}, \\
x_{-}^{\prime}=-2 \alpha \beta z & +\alpha^{2} x_{-}-\beta^{2} x_{+}, \\
z^{\prime}=(\alpha \delta+\beta \gamma) z-\alpha \gamma x_{-}+\beta \delta x_{+}
\end{array}\right\}
\]

Наконец, желая выразить матричные элементы $a_{i j}$ через $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$, мы можем сравнить уравнения (4.62) с общими уравнениями преобразования (4.14). Так, например, последнее из уравнений (4.62) можно написать в виде
\[
z^{\prime}=(\beta \delta-\alpha \gamma) x+i(\alpha \gamma+\beta \delta) y+(\alpha \delta+\beta \gamma) z .
\]

Отсюда непосредственно следует, что
\[
a_{31}=(\beta \delta-\alpha \gamma), \quad a_{32}=i(\alpha \gamma+\beta \delta), \quad a_{33}=\alpha \delta+\beta \gamma .
\]

Таким путем легко найти матрицу полного преобразования, которая будет иметь вид
\[
\mathrm{A}=\left\|\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\gamma^{2}+\delta^{2}-\beta^{2}\right) & \frac{i}{2}\left(\gamma^{2}-\alpha^{2}+\delta^{2}-\beta^{2}\right) & \gamma \delta-\alpha \beta \\
\frac{i}{2}\left(\alpha^{2}+\gamma^{2}-\beta^{2}-\delta^{2}\right) & \frac{1}{2}\left(\alpha^{2}+\gamma^{2}+\beta^{2}+\delta^{2}\right) & -i(\alpha \beta+\gamma \delta) \\
\beta \delta-\alpha \gamma & i(\alpha \gamma+\beta \delta) & \alpha \delta+\beta \gamma
\end{array}\right\| \text {. }
\]

Эта матрица определяет ориентацию твердого тела, причем она выражена только через величины $\alpha, \beta, \gamma, \delta$. Следовательно, подобно углам Эйлера, эти четыре величины могут служить в качестве параметров, определяющих ориентацию твердого тела; они известны как параметры Кэйли-Клейна*). Вещественность элементов матрицы (4.63) следует из того, что матрица $P$ является эрмитовской, но она может быть доказана и непосредственно, путем вычисления элементов этой матрицы с помощью соотношений (4.54), (4.55).

Парамѐтры Кэйли – Клейна можно выразить через углы Эйлера с помощью непосредственного сравнения элементов (4.63) с элементами, выраженными через $\varphi, \theta$ и $\psi$. Однако проще и более поучительно образовать сначала матрицы $\mathrm{Q}_{\varphi}, \mathrm{Q}_{\theta}$ и $\mathrm{Q}_{\psi}$, соответствующие последовательным вращениям, определяющим углы Эйлера, после чего их можно будет объединить в одну полную матрицу. Так, например, при повороте на угол $\varphi$ вокруг оси $z$ мы для величин $x_{+}, x_{-}$и $z$ будем иметь следующие формулы преобразования:
\[
\begin{aligned}
x_{+}^{\prime} & =e^{-i \varphi} x_{+}, \\
x_{-}^{\prime} & =e^{-i \varphi} x_{-}, \\
z^{\prime} & =z .
\end{aligned}
\]

Сравнивая эти формулы с формулами (4.62), мы видим, что этот поворот характеризуется следующими элементами матрицы $\mathrm{Q}$ :
\[
\gamma=\beta=0, \quad \alpha^{2}=e^{i \varphi}, \quad \delta^{2}=e^{-i \varphi},
\]

откуда
\[
\mathrm{Q}_{\varphi}=\left\|\begin{array}{cc}
e^{i \varphi / 2} & 0 \\
0 & e^{-i \varphi / 2}
\end{array}\right\| .
\]

Заметим, что элементы этой матрицы автоматически удовлетворяют условиям (4.54), (4.55), (4.57).

Следующий поворот совершается вокруг новой оси $x$ на угол $\theta$ против хода часовой стрелки. Определение соответствующих элементов матрицы производится здесь аналогичным образом, но выкладки становятся при этом более утомительными. По-
*) Матрица (4.63) не совпадает с соответствующей матрицей, указанной, например, в книге Уиттекера, стр. 12. В сущности это произошло вследствие различного выбора начальной матрицы Р. Ясно, что имеется много способов образования матрицы, детерминант которой равен – $r^{2}$, и поэтому специальный выбор такой матрицы является делом удобства. Матрица (4.58), которой мы здесь пользуемся, соответствует той форме, которую обычно применяют в квантовой механике.

этому мы просто выпишем эту матрицу, которая получается равной
\[
\mathrm{Q}_{\theta}=\left\|\begin{array}{cc}
\cos \frac{\theta}{2} & i \sin \frac{\theta}{2} \\
i \sin \frac{\theta}{2} & \cos \frac{\theta}{2}
\end{array}\right\| \text {. }
\]

Для проверки этого достаточно убедиться в справедливости равенства
\[
\begin{array}{c}
\left\|\begin{array}{cc}
\cos \frac{\theta}{2} & i \sin \frac{\theta}{2} \\
i \sin \frac{\theta}{2} & \cos \frac{\theta}{2}
\end{array}\right\|\left\|\begin{array}{cc}
z & x- \\
x+ & -z
\end{array}\right\| \begin{array}{cc}
\cos \frac{\theta}{2} & -i \sin \frac{\theta}{2} \\
-i \sin \frac{\theta}{2} & \cos \frac{\theta}{2}
\end{array} \|= \\
=\left\|\begin{array}{cc}
z \cos \theta-y \sin \theta & x-i(y \cos \theta+z \sin \theta) \\
x+i(y \cos \theta+z \sin \theta) & -z \cos \theta+y \sin \theta
\end{array}\right\|,
\end{array}
\]

правая часть которого описывает искомое преобразование
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=x, \\
y^{\prime}=y \cos \theta+z \sin \theta, \\
z^{\prime}=-y \sin \theta+z \cos \theta .
\end{array}
\]

Последний из поворотов, определяющий угол $\psi$, совершается опять вокруг оси $z$, и поэтому
\[
Q_{\psi}=\left\|\begin{array}{cc}
e^{i \psi / 2} & 0 \\
0 & e^{-i \psi / 2}
\end{array}\right\| .
\]

В § 4.4 мы получили ортогональную матрицу полного преобразования в виде произведения матриц, соответствующих каждому из трех этих поворотов. Но мы знаем, что вещественные ортогональные матрицы третьего порядка изоморфны с матрицами $\mathrm{Q}$. Следовательно, матрица $\mathrm{Q}$ рассматриваемого полного преобразования будет равна произведению $\mathrm{Q}_{\psi} \mathrm{Q}_{\theta} \mathrm{Q}_{\varphi}$. Таким образом,
\[
\mathrm{Q}=\mathrm{Q}_{\psi} \mathrm{Q}_{\theta} \mathrm{Q}_{\varphi}=\left\|\begin{array}{cc}
e^{i \Psi / 2} & 0 \\
0 & e^{-i \Phi / 2}
\end{array}\right\|\left\|\begin{array}{cc}
\cos \frac{\theta}{2} & i \sin \frac{\theta}{2} \\
i \sin \frac{\theta}{2} & \cos \frac{\theta}{2}
\end{array}\right\|\left\|\begin{array}{cc}
e^{i \varphi / 2} & 0 \\
0 & e^{-i \Phi / 2}
\end{array}\right\|,
\]

или
\[
\mathrm{Q}=\left\|\begin{array}{cc}
e^{i(\Psi+\varphi) / 2} \cos \frac{\theta}{2} & t e^{l(\Psi-\varphi) / 2} \sin \frac{\theta}{2} \\
i e^{-i(\Psi-\varphi) / 2} \sin \frac{\theta}{2} & e^{-i(\Psi+\varphi) / 2} \cos \frac{\theta}{2}
\end{array}\right\|
\]

Следовательно, параметры Кэйли – Клейна выражаются через углы Эйлера следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{ll}
\alpha=e^{i(\psi+\varphi) / 2} \cos \frac{\theta}{2}, & \beta=i e^{l(\psi-\varphi) / 2} \sin \frac{\theta}{2}, \\
\gamma=i e^{-i(\psi-\varphi) / 2} \sin \frac{\theta}{2}, & \delta=e^{-i(\psi+\varphi) / 2} \cos \frac{\theta}{2} .
\end{array}\right\}
\]

Заметим, что матрицу $\mathbf{P}$ можно представить в виде суммы
\[
\mathrm{P}=x \sigma_{x}+\bar{y} \bar{\sigma}_{y}+z \sigma_{z},
\]

где $\boldsymbol{\sigma}_{x}, \boldsymbol{\sigma}_{y}, \boldsymbol{\sigma}_{z}$ – так называемые спиновые матрицы Паули:
\[
\boldsymbol{\sigma}_{x}=\left\|\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right\|, \quad \boldsymbol{\sigma}_{y}=\left\|\begin{array}{cc}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right\|, \quad \boldsymbol{\sigma}_{z}=\left\|\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right\| .
\]

Эти матрицы вместе с единичной матрицей
\[
1=\left\|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right\|
\]

образуют систему четырех независимых матриц. Поэтому любая квадратная матрица второго порядка, содержащая четыре произвольные величины, может быть представлена в виде их линейной комбинации. Матрицы $\mathrm{Q}$, соответствующие вращениям вокруг координатных осей, выражаются через эти матрицы особенно просто. Например, матрицу $\boldsymbol{Q}_{\theta}$, соответствующую повороту вокруг оси $x$ [формула (4.65)], можно записать в виде
\[
\mathrm{Q}_{\theta}=1 \cos \frac{\theta}{2}+i \boldsymbol{\sigma}_{x} \sin \frac{\theta}{2} .
\]

Аналогично, для матрицы $\mathbf{Q}_{\varphi}$, описывающей вращение ,вокруг оси $z$, будем иметь
\[
\mathrm{O}_{\varphi}=\left\|\begin{array}{cc}
\cos \frac{\varphi}{2}+i \sin \frac{\varphi}{2} & 0 \\
0 & \cos \frac{\varphi}{2}-i \sin \frac{\varphi}{2}
\end{array}\right\|=1 \cos \frac{\varphi}{2}+i \sigma_{z} \sin \frac{\varphi}{2} .
\]

Легко видеть, что для вращения вокруг оси $y$ получается матрица такого же вида, как (4.72), но вместо $\boldsymbol{\sigma}_{z}$ здесь будет стоять $\sigma_{y}$. Таким образом, все матрицы элементарных вращений имеют аналогичные выражения, в которые входят только единичная матрица 1 и соответствующие матрицы $\boldsymbol{\sigma}$. Поэтому каждая спиновая матрица Паули связана с вращением вокруг некоторой оси и может рассматриваться как оператор единичного поворота вокруг этой оси.

Характерной чертой параметров Кэйли – Клейна и содержащих их матриц является постоянное присутствие в них половинных углов, и с этим связаны некоторые специфические свойства пространства $u v$. Например, в обычном пространстве поворот вокруг оси $z$ на угол $2 \pi$ просто воспроизодит первоначальную координатную систему. Если, например, в матрице D предыдущего параграфа положить $\varphi=2 \pi$, то будем иметь: $\cos \varphi=1$, $\sin \varphi=0$, и $\mathrm{D}$ перейдет в единичную матрицу 1 , соответствующую тождественному преобразованию. С другой стороны, если ту же подстановку сделать в матрице $\mathrm{Q}_{p}$ [формула (4.64)], то получим:
\[
\mathrm{a}_{2 \pi}=\left\|\begin{array}{cc}
e^{i \pi} & 0 \\
0 & e^{-i \pi}
\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right\|,
\]

что равно -1 , а не 1 . Однако единичная матрица второго порядка (матрица 1) тоже должна соответствовать трехмерному тождественному преобразованию. Следовательно, имеются две матрицы: 1 и – 1, соответствующие единичной квадратной матрице третьего порядка. Вообще, если матрица $\mathrm{Q}$ соответствует некоторой вещественной ортогональной матрице, то матрица – Q также будет ей соответствовать. Таким образом, мы здесь имеем тот случай изоморфизма между двумя системами матриц, при котором существует взаимно однозначное соответствие между одной матрицей третьего порядка и парой матриц ( $\mathrm{Q}$, – Q), а не одной матрицей $\mathrm{Q}$. В этом смысле можно сказать, что матрица $\mathrm{Q}$ есть двузначная функция соответствующей трехмерной ортогональной матрицы.

Эта странность не нарушает наших общих построений. Как видно из изложенного, пространство иv является чисто математической конструкцией, созданной только для того, чтобы установить соответствие между определенными классами квадратных матриц третьего и второго порядка. Нельзя поэтому требовать или ожидать, чтобы такое пространство имело свойства, подобные свойствам физического трехмерного пространства. Нужно заметить, что изучению свойств пространства иv математики уделяли значительное внимание; двумерный комплексный вектор, построенный в этом пространстве, называют спинором. Оказывается, что в квантовой механике спинорное пространство несколько больше соответствует физической действительности; поэтому, чтобы учесть влияние «спина» электрона, нужно его волновую функцию или часть ее представить в виде спинора. Действительно, половинные углы и свойство двузначности внутренне связаны с тем фактом, что спин полуцелый*). Впрочем, дальнейшее изложение этого вопроса увело бы нас слишком далеко от классической механики.
*) Хотя волновая функция при вращении может быть двузначной, однако все физические величины остаются, конечно, однозначными.