Рассмотрим системы, потенциал которых является функцией только координат их точек. Уравнения, связывающие обобщенные координаты $q_{1}, \ldots, q_{n}$ с декартовыми, будем считать не содержащими времени, т. е. исключим из рассмотрения связи, зависящие от времени. Мы будем говорить, что система находится в равновесии, если действующие на нее обобщенные силы равны нулю, т. е. если
\[
Q_{i}=\left(\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right)_{0}=0 .
\]

Следовательно, при равновесии потенциальная энергия системы имеет экстремум. Если начальная конфигурация системы является равновесной и ее начальные скорости равны нулю, то она и дальше будет оставаться в равновесии. Примером механической системы, находящейся в равновесии, может служить висящий маятник, лежащее на столе яйцо, или баллистический гальванометр в нулевом положении. Можно было бы привести и много других примеров.

Равновесие называют устойчивым, если движение, получающееся в результате небольшого возмущения, не выходит из небольшой окрестности первоначальной конфигурации системы. Если же при бесконечно малом возмущении система начинает неограниченно удаляться от первоначальной конфигурации, то равновесие называют неустойчивым. Покоящийся маятник может служить примером системы, находящейся в устойчивом равновесии, а яйцо, поставленное на один из своих концов, – примером системы, находящейся в неустойчивом равновесии. Легко видеть, что если экстремум функции $V$ будет минимумом, то равновесие будет устойчивым. Для доказательства предположим, что система отклоняется от положения равновесия и энергия ее увеличивается при этом на $d E$. Но так как в положении равновесия $V$ имеет минимум, то любое отклонение от этого положения вызывает увеличение $V$. Поэтому на основании заксна о сохранении энергии можно сделать вывод, что если бы эта система продолжала отклоняться от равновесия, то скорости ее уменьшались бы и в конце концов обратились бы в нуль. Это указывает на ограниченность движения такой системы.
Рис. 67. Қривые потенциальной энергии вблизи положения равновесия
Если же некоторые отклонения от равновесия приводят к уменьшению $V$, то они будут вызывать увеличение кинетической энергии системы и, следовательно, скоростей ее точек. Этот случай соответствует неустойчивому движению. О характере равновесия системы можно судить на основании графика кривой потенциальной энергии (рис. 67).

Более строгое математическое доказательство минимальности $V$ в случае устойчивого равновесия будет дано в ходе последующих рассуждений.

Нас будет интересовать движение системы непосредственно вблизи положения устойчивого равновесия. Поэтому отклонения от этого положения мы будем считать малыми и, раскладывая различные функции в ряд Тейлора около этого положения, будем оставлять лишь члены низшего порядка. Положим
\[
q_{i}=q_{0 i}+\eta_{i},
\]

где $q_{0 i}$ – значения координат $q_{i}$ в положении равновесия. Прини: мая $\eta_{i}$ за новые обобщенные координаты и раскладывая $V$ в ряд около $q_{0 i}$, получаем
\[
\begin{aligned}
V\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=V\left(q_{01}, \ldots, q_{0 n}\right) & +\sum_{i}\left(\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\right)_{0} \eta_{i}+ \\
& +\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{j}}\right)_{0} \eta_{i} \eta_{j}+\ldots,
\end{aligned}
\]

где согласно (10.1) члены, пропорциональные $\eta_{i}$, обращаются в нуль. Что касается члена $V\left(q_{01}, \ldots, q_{0 n}\right)$, то, отсчитывая потенциальную энергию системы от ее положения равновесия, его тоже можно сделать равным нулю. Тогда в качестве первого приближения для $V$ получим
\[
V=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{j}}\right)_{0} \eta_{i} \eta_{j}=\frac{1}{2} \sum_{i, j} V_{i j} \eta_{i} \eta_{j},
\]

где через $V_{i j}$ обозначены производные $\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{j}}$, зависящие только от равновесных значений $q_{i}$. Отсюда следует, что $V_{i j}=V_{j i}$.

Аналогичным образом можно разложить в ряд и кинетическую энергию. Так как связь между обобщенными и декартовыми координатами не содержит в данном случае $t$, то кинетическая энергия системы будет однородной квадратичной функцией скоростей $\dot{q}_{i}$ [см. уравнение (1.62)]:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i, j} m_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}=\frac{1}{2} \sum_{i, j} m_{i j} \dot{\eta}_{i} \dot{\eta}_{j},
\]

где коэффициенты $m_{i j}$ – некоторые функции координат $q_{i}$. Раскладывая каждую из них в ряд Тейлора около положения равновесия, получаем
\[
m_{i j}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)=m_{i j}\left(q_{01}, \ldots, q_{0 n}\right)+\sum_{k}\left(\frac{\partial m_{i j}}{\partial q_{k}}\right)_{0} \eta_{k}+\ldots
\]

Так как равенство (10.5) является квадратичным относительно $\dot{\eta}_{i}$, то для того чтобы получить первое (отличное от нуля) приближение для $T$, нужно в этих рядах опустить все члены, кроме первых. Таким образом, обозначая постоянные $m_{i j}\left(q_{01}, \ldots, q_{0 n}\right)$ через $T_{i j}$, будем иметь
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i, j} T_{i j} \dot{\eta}_{i} \dot{\eta}_{j}
\]

Постоянные $T_{i j}$, очевидно, также являются симметричными. Согласно выражениям (10.4) и (10.6) лагранжиан рассматриваемой системы имеет вид
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(T_{i j} \dot{\eta}_{i} \dot{\eta}_{j}-V_{i j} \eta_{i} \eta_{j}\right)
\]

Поэтому, считая $\eta_{i}$ обобщенными координатами, мы получаем следующие $n$ уравнений движения:
\[
\sum_{i} T_{i j} \ddot{\eta}_{i}+\sum_{j} V_{i j} \eta_{j}=0
\]
(мы учли симметричность коэффициентов $V_{i j}$ и $T_{i j}$ ). Каждое из уравнений (10.8) содержит, вообще говоря, все координаты $\eta_{i}$. Таким образом, мы будем иметь систему совместных дифференциальных уравнений, определяющих движение системы около положения равновесия.