Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики, мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда гамильтониан системы остается постоянным. В этом случае существует такое преобразование, при котором новые канонические координаты являются циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического преобразования, которое осуществляет переход от координат $q(t)$ и импульсов $p(t)$ к начальным координатам $q\left(t_{0}\right)$ и начальным импульсам $p\left(t_{0}\right)$. Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические переменные, будут при этом иметь вид:
\[
\begin{array}{l}
q=q\left(q_{0}, p_{0}, t\right), \\
p=p\left(q_{0}, p_{0}, t\right),
\end{array}
\]
т. е. будут давать полное решение задачи, так как координаты и импульсы даются ими как функции их начальных значений и времени. Этот метод является более общим, так как он применим (по крайней мере принципиально) и тогда, когда гамильтониан содержит время $t$. Поэтому мы начнем с рассмотрения вопроса о том, как получить такое преобразование.