Для того чтобы иметь уверенность в том, что новые переменные являются величинами постоянными, достаточно потребовать, чтобы преобразованный гамильтониан $K$ был тождественно равен нулю, так как тогда новые уравнения движения будут иметь вид:
$$\begin{array}{r}\frac{\partial K}{\partial P_i}={\dot{Q}}_i=0,\\ -\frac{\partial K}{\partial Q_i}={\dot{P}}_i=0.\end{array}\}$$

Но так как $K$ и $H$ связаны соотношением
$$K=H+\frac{\partial F}{\partial t},$$

то для выполнения равенства $K=0$ производящая функция $F$ должна удовлетворять уравнению
$$H(q,p,t)+\frac{\partial F}{\partial t}=0,$$

где $H(q,p,t)$ — старый гамильтониан. Функцию $F$ удобно считать зависящей от старых координат $q_i$, от новых (постоянных) импульсов $P_i$ и от времени $t$. Пользуясь обозначениями предыдущей главы, мы будем записывать ее в виде $F_2(q,P,t)$. Чтобы выразить фигурирующий в (9.2) гамильтониан через те же переменные, можно воспользоваться уравнениями (8.11a), согласно которым
$$p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i}.$$

Поэтому уравнение (9.2) можно записать в виде
$$H(q_1,\dots ,q_n,\frac{\partial F_2}{\partial q_1},\dots ,\frac{\partial F_2}{\partial q_n},t)+\frac{\partial F_2}{\partial t}=0.$$

Полученное уравнение носит название уравнения ГамильтонаЯкоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от $q_1,\dots ,q_n,t$. Решение уравнения (9.3) обычно обозначают через $S$ и называют главной функцией Гамильтона.

Конечно, решая уравнение (9.3), мы находим зависимость $S$ только от старых координат и времени и ничего не можем сказать о характере зависимости $S$ от новых импульсов, о которых знаем пока только то, что они должны быть постоянными. Мы увидим, однако, что характер получающегося решения показывает, как получить новые импульсы $P_i$.

Уравнение (9.3) является дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. Так как оно содержит $n+1$ независимых переменных, то полный интеграл его должен содержать $n+1$ независимых постоянных ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,{\alpha }_{n+1}^{\ast }$ ). Следует, однако, заметить, что сама функция $S$ в это уравнение не входит, а входят лишь ее производные по $q$ или по $t$. Поэтому, если $S$ есть некоторое решение уравнения (9.3), то решением этого уравнения будет и $S+\alpha$, где $\alpha$-любая постоянная
*) Полным интегралом уравнения
$$F(x_1,\dots ,x_n,z,\frac{\partial z}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial z}{\partial x_n})=0$$

называют функцию
$$z=z(x_1,\dots ,x_n,a_1,\dots ,a_n),$$

удовлетворяющую этому уравнению и содержащую столько независимых постоянных $a_i$, сколько в этом уравнении независимых переменных $x_i$ (см., например, Н. Н. Бухгольц, Основной курс теоретической механики, ч. II, ОНТИ НКТП, 1937). (Прим. перев.)

(так как аддитивная постоянная не изменяет значений частных производных). Следовательно, одна из $n+1$ постоянных ${\alpha }_i$ должна быть аддитивной постоянной, добавляемой к $S$. Но легко видеть, что эта постоянная не имеет для нас значения, так как в уравнения преобразования входит не $S$, а только ее частные производные. Следовательно, полный интеграл уравнения (9.3) можно записать в виде
$$S=S(q_1,\dots ,q_n,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,t),$$

где ни одна из $n$ постоянных ${\alpha }_i$ не является аддитивной. Мы видим, что форма выражения (9.4) вполне соответствует форме искомой производящей функции, так как в правой части (9.4) стоит функция $n$ координат $q_i,n$ независимых постоянных ${\alpha }_i$ и времени $t$. Поэтому $n$ постоянных ${\alpha }_i$ можно принять за новые (постоянные) импульсы, положив
$$P_i={\alpha }_i\text{. }$$

Такой выбор не противоречит тому положению, что новые импульсы связаны со значениями величин $q$ и $p$ в момент $t_0$. Уравнения (8.11a) могут быть записаны теперь в виде
$$p_i=\frac{\partial S(q_i,{\alpha }_i,t)}{\partial q_i},$$

что при $t=t_0$ дает нам $n$ уравнений, связывающих $n$ величин ${\alpha }_i$ с начальными значениями $q_i$ и $p_i$, позволяя определить постоянные ${\alpha }_i$ по заданным начальным условиям. Другая половина уравнений (8.11) определит тогда новые постоянные координаты. Эти уравнения будут иметь вид
$$Q_i={\beta }_i=\frac{\partial S(q_i,{\alpha }_i,t)}{\partial {\alpha }_i},$$

что позволяет, зная ${\left(q_i\right)}_{t=t_0}$, найти постоянные ${\beta }_i$ с помощью непосредственного вычисления правых частей равенств (9.7) при $t=t_0$. Разрешая после этого уравнения (9.7) относительно $q$, получаем
$$q=q({\alpha }_i,{\beta }_i,t),$$

что полностью решает задачу, так как таким путем мы получаем координаты как функции времени и начальных данных *).
*) Может возникнуть вопрос о разрешимости уравнений (9.6) относительно ${\alpha }_i$ и уравнений (9.7) относительно $q_i$. Вопрос этот сводится к исследованию систем (9.6) и (9.7) на независимость содержащихся в них уравнений, так как в противном случае этих уравнений будет недостаточно для определения $n$ независимых величин ${\alpha }_i$ или $q_i$. Тот факт, что производные $\frac{\partial S}{\partial {\alpha }_i}$

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам $\beta$ и постоянным импульсам $\alpha$. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между $2n$ каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона — Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона; известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона.

Выбор величин ${\alpha }_i$ в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным, так как вместо них можно было бы выбрать любые $n$ независимых функций от ${\alpha }_i$. Тогда вместо постоянных ${\alpha }_i$ мы имели бы постоянные
$${\gamma }_i={\gamma }_i({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$$

и главную функцию Гамильтона можно было бы записать как функцию $q_i,{\gamma }_i$ и $t$, не изменяя ничего в остальных рассуждениях. Выбор в качестве новых импульсов той или иной системы ${\gamma }_i$ часто оказывается более удобным, чем выбор постоянных, появляющихся при интегрировании уравнения Гамильтона Якоби.

в уравнениях (9.7) являются независимыми функциями $q$, следует непосредственно из того, что постоянные ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ являются независимыми, ибо отсюда вытекает, что якобиан
$$\frac{\partial (\frac{\partial S}{\partial {\alpha }_1},\dots ,\frac{\partial S}{\partial {\alpha }_n})}{\partial (q_1,\dots ,q_n)}=\left|\frac{{\partial }^{2}S}{\partial {\alpha }_i\partial q_j}\right|$$

отличен от нуля. Но так как порядок дифференцирования $S$ по $\alpha$ и по $q$ не существен, то якобиан
$$\frac{\partial (\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots ,\frac{\partial S}{\partial q_n})}{\partial ({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)}=\left|\frac{{\partial }^{2}S}{\partial q_j\partial {\alpha }_i}\right|$$

также должен быть отличен от нуля, что доказывает независнмость уравнеңий (9.6).

Физический смысл функции $S$ обнаруживается при вычислении ее полной производной по времени, которая равна
$$\frac{dS}{dt}=\sum _i\frac{\partial S}{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial S}{\partial t}$$
(так как импульсы $P_i$ не изменяются с изменением $t$ ). Но согласно равенствам (9.6) и (9.3) эту производную можно записать в виде
$$\frac{dS}{dt}=\sum _i{p}_i{\dot{q}}_i-H=L$$

откуда
$$S=\int Ldt+\text{ const. }$$

Принцип Гамильтона представляет собой известное утверждение относительно определенного интеграла ${\int }_{t_1}^{t_2}Ldt$, позволяющее получить решение задачи с помощью уравнений Лагранжа. Здесь же мы имеем аналогичный интеграл $\int Ldt$, но неопределенный. Следует, однако, заметить, что в практических расчетах интеграл (9.11) не может оказаться полезным, так как интеграл $\int Ldt$ может быть взят только тогда, когда $q_i$ и $p_i$ известны как функции времени, т. е. когда получено решение рассматриваемой задачи *).