Для того чтобы иметь уверенность в том, что новые переменные являются величинами постоянными, достаточно потребовать, чтобы преобразованный гамильтониан $K$ был тождественно равен нулю, так как тогда новые уравнения движения будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{\partial K}{\partial P_{i}}=\dot{Q}_{i}=0, \\
-\frac{\partial K}{\partial Q_{i}}=\dot{P}_{i}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Но так как $K$ и $H$ связаны соотношением
\[
K=H+\frac{\partial F}{\partial t},
\]

то для выполнения равенства $K=0$ производящая функция $F$ должна удовлетворять уравнению
\[
H(q, p, t)+\frac{\partial F}{\partial t}=0,
\]

где $H(q, p, t)$ – старый гамильтониан. Функцию $F$ удобно считать зависящей от старых координат $q_{i}$, от новых (постоянных) импульсов $P_{i}$ и от времени $t$. Пользуясь обозначениями предыдущей главы, мы будем записывать ее в виде $F_{2}(q, P, t)$. Чтобы выразить фигурирующий в (9.2) гамильтониан через те же переменные, можно воспользоваться уравнениями (8.11a), согласно которым
\[
p_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}} .
\]

Поэтому уравнение (9.2) можно записать в виде
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \frac{\partial F_{2}}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial F_{2}}{\partial q_{n}}, t\right)+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=0 .
\]

Полученное уравнение носит название уравнения ГамильтонаЯкоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от $q_{1}, \ldots, q_{n}, t$. Решение уравнения (9.3) обычно обозначают через $S$ и называют главной функцией Гамильтона.

Конечно, решая уравнение (9.3), мы находим зависимость $S$ только от старых координат и времени и ничего не можем сказать о характере зависимости $S$ от новых импульсов, о которых знаем пока только то, что они должны быть постоянными. Мы увидим, однако, что характер получающегося решения показывает, как получить новые импульсы $P_{i}$.

Уравнение (9.3) является дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. Так как оно содержит $n+1$ независимых переменных, то полный интеграл его должен содержать $n+1$ независимых постоянных $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \alpha_{n+1}^{*}$ ). Следует, однако, заметить, что сама функция $S$ в это уравнение не входит, а входят лишь ее производные по $q$ или по $t$. Поэтому, если $S$ есть некоторое решение уравнения (9.3), то решением этого уравнения будет и $S+\alpha$, где $\alpha$-любая постоянная
*) Полным интегралом уравнения
\[
F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, z, \frac{\partial z}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial z}{\partial x_{n}}\right)=0
\]

называют функцию
\[
z=z\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right),
\]

удовлетворяющую этому уравнению и содержащую столько независимых постоянных $a_{i}$, сколько в этом уравнении независимых переменных $x_{i}$ (см., например, Н. Н. Бухгольц, Основной курс теоретической механики, ч. II, ОНТИ НКТП, 1937). (Прим. перев.)

(так как аддитивная постоянная не изменяет значений частных производных). Следовательно, одна из $n+1$ постоянных $\alpha_{i}$ должна быть аддитивной постоянной, добавляемой к $S$. Но легко видеть, что эта постоянная не имеет для нас значения, так как в уравнения преобразования входит не $S$, а только ее частные производные. Следовательно, полный интеграл уравнения (9.3) можно записать в виде
\[
S=S\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, t\right),
\]

где ни одна из $n$ постоянных $\alpha_{i}$ не является аддитивной. Мы видим, что форма выражения (9.4) вполне соответствует форме искомой производящей функции, так как в правой части (9.4) стоит функция $n$ координат $q_{i}, n$ независимых постоянных $\alpha_{i}$ и времени $t$. Поэтому $n$ постоянных $\alpha_{i}$ можно принять за новые (постоянные) импульсы, положив
\[
P_{i}=\alpha_{i} \text {. }
\]

Такой выбор не противоречит тому положению, что новые импульсы связаны со значениями величин $q$ и $p$ в момент $t_{0}$. Уравнения (8.11a) могут быть записаны теперь в виде
\[
p_{i}=\frac{\partial S\left(q_{i}, \alpha_{i}, t\right)}{\partial q_{i}},
\]

что при $t=t_{0}$ дает нам $n$ уравнений, связывающих $n$ величин $\alpha_{i}$ с начальными значениями $q_{i}$ и $p_{i}$, позволяя определить постоянные $\alpha_{i}$ по заданным начальным условиям. Другая половина уравнений (8.11) определит тогда новые постоянные координаты. Эти уравнения будут иметь вид
\[
Q_{i}=\beta_{i}=\frac{\partial S\left(q_{i}, \alpha_{i}, t\right)}{\partial \alpha_{i}},
\]

что позволяет, зная $\left(q_{i}\right)_{t=t_{0}}$, найти постоянные $\beta_{i}$ с помощью непосредственного вычисления правых частей равенств (9.7) при $t=t_{0}$. Разрешая после этого уравнения (9.7) относительно $q$, получаем
\[
q=q\left(\alpha_{i}, \beta_{i}, t\right),
\]

что полностью решает задачу, так как таким путем мы получаем координаты как функции времени и начальных данных *).
*) Может возникнуть вопрос о разрешимости уравнений (9.6) относительно $\alpha_{i}$ и уравнений (9.7) относительно $q_{i}$. Вопрос этот сводится к исследованию систем (9.6) и (9.7) на независимость содержащихся в них уравнений, так как в противном случае этих уравнений будет недостаточно для определения $n$ независимых величин $\alpha_{i}$ или $q_{i}$. Тот факт, что производные $\frac{\partial S}{\partial \alpha_{i}}$

Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам $\beta$ и постоянным импульсам $\alpha$. Решая уравнение Гамильтона – Якоби, мы в то же время получаем решение рассматриваемой механической задачи. Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между $2 n$ каноническими уравнениями движения, которые являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона – Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона; известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определенная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа – модифицированного принципа Гамильтона.

Выбор величин $\alpha_{i}$ в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным, так как вместо них можно было бы выбрать любые $n$ независимых функций от $\alpha_{i}$. Тогда вместо постоянных $\alpha_{i}$ мы имели бы постоянные
\[
\gamma_{i}=\gamma_{i}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)
\]

и главную функцию Гамильтона можно было бы записать как функцию $q_{i}, \gamma_{i}$ и $t$, не изменяя ничего в остальных рассуждениях. Выбор в качестве новых импульсов той или иной системы $\gamma_{i}$ часто оказывается более удобным, чем выбор постоянных, появляющихся при интегрировании уравнения Гамильтона Якоби.

в уравнениях (9.7) являются независимыми функциями $q$, следует непосредственно из того, что постоянные $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ являются независимыми, ибо отсюда вытекает, что якобиан
\[
\frac{\partial\left(\frac{\partial S}{\partial \alpha_{1}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial \alpha_{n}}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)}=\left|\frac{\partial^{2} S}{\partial \alpha_{i} \partial q_{j}}\right|
\]

отличен от нуля. Но так как порядок дифференцирования $S$ по $\alpha$ и по $q$ не существен, то якобиан
\[
\frac{\partial\left(\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{n}}\right)}{\partial\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)}=\left|\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{j} \partial \alpha_{i}}\right|
\]

также должен быть отличен от нуля, что доказывает независнмость уравнеңий (9.6).

Физический смысл функции $S$ обнаруживается при вычислении ее полной производной по времени, которая равна
\[
\frac{d S}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial S}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial S}{\partial t}
\]
(так как импульсы $P_{i}$ не изменяются с изменением $t$ ). Но согласно равенствам (9.6) и (9.3) эту производную можно записать в виде
\[
\frac{d S}{d t}=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H=L
\]

откуда
\[
S=\int L d t+\text { const. }
\]

Принцип Гамильтона представляет собой известное утверждение относительно определенного интеграла $\int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t$, позволяющее получить решение задачи с помощью уравнений Лагранжа. Здесь же мы имеем аналогичный интеграл $\int L d t$, но неопределенный. Следует, однако, заметить, что в практических расчетах интеграл (9.11) не может оказаться полезным, так как интеграл $\int L d t$ может быть взят только тогда, когда $q_{i}$ и $p_{i}$ известны как функции времени, т. е. когда получено решение рассматриваемой задачи *).