Мы сейчас установим еще одно свойство движения под действием центральной силы. Его можно получить как частный случай весьма общей теоремы, справедливой для широкого круга различных систем – так называемой теоремы о вириале. От ранее рассмотренных теорем она отличается тем, что имеет статистический характер, т. е. рассматривает различные механические величины, осредненные по времени.

Рассмотрим произвольную систему материальных точек, определяемых векторами $\boldsymbol{r}_{i}$ и находящихся под действием сил $\boldsymbol{F}_{i}$ (включая реакции связей). Уравнения движения этой системы имеют вид
\[
\dot{\boldsymbol{p}}_{i}=\boldsymbol{F}_{i}
\]

Рассмотрим величину
\[
G=\sum_{i} p_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i}
\]

где суммирование производится по всем точкам системы. Ее полная производная по времени равна
\[
\frac{d G}{d t}=\sum_{i} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \boldsymbol{p}_{i}+\sum_{i} \dot{\boldsymbol{p}}_{\boldsymbol{i}} \cdot \boldsymbol{r}_{i}
\]

причем первый член этой суммы можно записать в виде
\[
\sum_{i} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \boldsymbol{p}_{i}=\sum_{i} m_{i} \dot{\boldsymbol{r}}_{i} \cdot \dot{\boldsymbol{r}}_{i}=\sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}=2 T
\]

а второй – в виде
\[
\sum_{i} \dot{p}_{i} \cdot r_{i}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i}
\]
[на основании (1.1)]. Тогда равенство (3.23) примет вид
\[
\frac{d}{d t} \sum_{i} \boldsymbol{p}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i}=2 T+\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i} .
\]

Для того чтобы перейти к средним значениям фигурирующих здесь величин, нужно проинтегрировать это равенство по времени от нуля до некоторого $\tau$ и затем разделить этот интеграл на $\tau$ :
\[
\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{d G}{d t} d t \equiv \overline{\frac{d G}{d t}}=2 \bar{T}+\overline{\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i}},
\]

или
\[
\overline{2 T}+\overline{\sum_{i} F_{i} \cdot r_{i}}=\frac{1}{\tau}[G(\tau)-G(0)] .
\]

Если движение этой системы является периодическим, т. е. значения координат всех ее точек повторяются через определенный промежуток времени, то, выбрав $\tau$ равным периоду этого движения, мы сделаем правую часть равенства (3.25) равной нулю. Аналогичный вывод можно сделать и в случае непериодического движения, если только координаты и скорости всех точек системы остаются ограниченными. В этом случае величина $|G|$ имеет верхнюю границу, и, выбрав $\tau$ достаточно большим, можно сделать правую часть равенства (3.25) сколь угодно малой. В каждом из этих случаев мы будем иметь
\[
\bar{T}=-\frac{1}{2} \overline{\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i}} .
\]

Правая часть этого равенства называется вириалом Клаузиуса, а само равенство (3.26) выражает так называемую теорему о вириале.

В указанном виде эта теорема очень полезна в кинетической теории газов. Так, например, из нее можно очень просто вывести закон Бойля для идеальных газов (см. Lindsay, Physical Statistics, стр. 70). Практически нам часто бывает нужно уравнение состояния для неидеальных газов. В этом случае силы $\boldsymbol{F}_{i}$ будут состоять не только из реакций связей, заставляющих газ оставаться внутри сосуда, но также из сил взаимодействия между молекулами.

Можно показать, что если силы $\boldsymbol{F}_{i}$ будут складываться из движущих сил $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime}$ и сил трения $\boldsymbol{f}_{i}$, пропорциональных скоростям точек, то вириал системы будет зависеть только от сил $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime}$. Силы $f_{i}$ в этом случае не оказывают на него никакого влияния. При этом, конечно, предполагается, что движение системы не прекращается вследствие трения, т. е. что постоянно поступает энергия, поддерживающая движение системы. В противном случае все средние значения будут при неограниченном росте $\tau$ стремиться к нулю.

Если силы, действующие на систему, имеют потенциал, то теорема о вириале принимает вид
\[
\bar{T}=\frac{1}{2} \overline{\underline{2}} \overline{\sum_{i}
abla V \cdot r_{i}} .
\]

Для отдельной материальной точки, движущейся под действием центральной силы, равенство (3.27) дает
\[
\bar{T}=\frac{1}{2} \frac{\overline{\partial V}}{\partial r} r .
\]

Если, например, $V$ есть степенная функция $r$
\[
V=a r^{n+1},
\]

где показатель степени выбран так, чтобы сила $F$ была пропорциональна $r^{n}$, то
\[
\frac{\partial V}{\partial r} r=(n+1) V \text {. }
\]

Равенство (3.28) примет вид
\[
\bar{T}=\frac{n+1}{2} \bar{V} .
\]

В частном случае, когда сила $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния, показатель $n$ будет равен -2 , и теорема о вириале принимает хорошо известную форму
\[
\bar{T}=-\frac{1}{2} \bar{V}
\]