Система с $n$ степенями свободы описывается посредством следующих $n$ уравнений Лагранжа:

\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 .
\]

Так как они являются уравнениями второго порядка, то для однозначного определения движения системы необходимо задать начальные значения всех $n$ координат $q_{i}$ и всех $n$ пронзводных $\dot{q}_{i}$. В этом смысле координаты $q_{i}$ и скорости $\dot{q}_{i}$ образуют нолную систему $2 n$ независимых переменных, необходимых для описания движения системы. Поэтому метод Лагранжа (в нерелятивистской механике) может рассматриваться как метод описания системы посредством обобщенных координат и скоростей. В методе, к которому мы сейчас переходим, независимыми переменными будут обобщенные координаты $q_{i}$ и обобщенные импульсы $p_{i}$, определяемые равенствами
\[
p_{i}=\frac{\partial L\left(q_{j}, \dot{q}_{j}, t\right)}{\partial \dot{q}_{i}}
\]
[см. равенства (2.41)]. Наилуниий способ перехода от переменных $(q, \dot{q}, t)$ к переменным $(q, p, t)$ состоит в применении математической процедуры, известной под названием преобразования Лежандра (которое применяется как раз для таких случаев изменения переменных).

Рассмотрим какую-либо функцию $f(x, y)$. Дифференциал ее имеет вид

где
\[
d f=u d x+v d y
\]
\[
u=\frac{\partial f}{\partial x}, \quad v=\frac{\partial f}{\partial y} .
\]

Перейдем теперь от независимых переменных $x, y$ к независимым переменным $u, y$ и, следовательно, от дифференциалов $d x$, $d y$ к дифференциалам $d u, d y$. Пусть функция $g$ от $u$ и $y$ определяется равенством
\[
g=f-u x \text {. }
\]

Тогда дифференциал ее будет равен
или согласно (7.3)
\[
\begin{array}{c}
d g=d f-u d x-x d u \\
d g=v d y-x d u,
\end{array}
\]

где величины $x$ и $v$ являются теперь функциями переменных $u$ и $y$. Они определяются равенствами
\[
x=-\frac{\partial g}{\partial u}, \quad v=\frac{\partial g}{\partial y},
\]

которые подобны по форме равенствам (7.4).
Преобразование Лежандра, построенное указанным способом, часто применяется в термодинамике. Например, энтальпия $X$ есть функция энтропии $S$ и давления $P$, причем
\[
\frac{\partial X}{\partial S}=T, \quad \frac{\partial X}{\partial P}=V,
\]

и поэтому
\[
d X=T d S+V d P
\]

где $T$-температура, а $V$-объем. Понятие энтальпии оказывается удобным при рассмотрении изэнтропических и изобарических процессов. В этом случае целесообразно пользоваться термодинамической функцией независимых переменных $T$ и $P$. Если с этой целью воспользоваться преобразованием Лежандра, то такая функция будет иметь вид
\[
G=X-T S,
\]

а дифференциал ее будет равен
\[
d G=-S d T+V d P .
\]

Функция $G$ известна под названием функции Гиббса.
Переход от переменных ( $q, \dot{q}, t)$ к переменным $(q, p, t)$ отличается от преобразования (7.3)-(7.5) лищь тем, что на этот раз преобразуется не одна переменная, а несколько. Вместо лагранжиана $L$ мы теперь будем иметь дело с функцией
\[
H(p, q, t)=\sum_{i} \dot{q}_{i} p_{i}-L(q, \dot{q}, t),
\]

построенной по аналогии с функцией (7.5), умноженной на – 1 . Функцию $H$ называют гамильтонианом. Это-та же самая функция $H$, которая фигурировала в правой части равенства (2.50). Считая ее функцией переменных $p, q$ и $t$, будем иметь
\[
d H=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i}+\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}+\frac{\partial H}{\partial t} d t .
\]

Но согласно (7.8) можно написать
\[
d H=\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}+\sum_{i} p_{i} d \dot{q}_{i}-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d \dot{q}_{i}-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial q_{i}} d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t, \text { (7.10) }
\]

причем члены этого равенства, содержащие $d \dot{q}_{i}$, взаимно сократятся, так как согласно определению обобщенных импульсов имеем
\[
\sum_{i} p_{i} d \dot{q}_{i}-\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} d \dot{q}_{i}=0 .
\]

Кроме того, согласно уравнениям Лагранжа
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\dot{p}_{i}
\]

и поэтому уравнение (7.10) принимает вид
\[
d H=\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}-\sum_{i} \dot{p}_{i} d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\]

Сравнивая теперь (7.9) с (7.11), мы получаем следующие $2 n+1$ равенств, аналогичных равенствам (7.6):
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{q}_{i} & =\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \\
-\dot{p}_{i} & =\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \\
-\frac{\partial L}{\partial t} & =\frac{\partial H}{\partial t} .
\end{array}\right\}
\]

Уравнения (7.12) называются каноническими уравнениями Гамильтона; они представляют систему $2 n$ уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа. Для того чтобы составить эти уравнения для заданной механичессой системы, нужно образовать лагранжиан $L=L(q, \dot{q}, t)$ и, вычислив с помощью (7.2) обобщенные импульсы, составить гамильтониан (7.8) как функцию $p_{i}, q_{i}, t$. Подставив загем найденное $H$ в (7.12), мы получим уравнения движения данной системы.