Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Мы уже говорили, что так как элементы $a_{i j}$ не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являю́тся углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования. Перехоп от одной декартовой системы координат к другой может быть выполнен посредством трех последовательных поворотов, совершаемых в определенном порядке. Тогда углы Эйлера определятся как три последовательных угла соответствующих поворотов. Прежде всего начнем с поворота начальной системы $x y z$ вокруг оси $z$. Повернув ее на некоторый угол $\varphi$ против хода часовой стрелки, мы перейдем к коррдинатной системе $\xi \eta$. Полученную промежуточную систему $\xi \eta \zeta$ мы повернем затем вокруг оси $\xi$, совершив этот поворот против хода часовой стрелки на некоторый угол $\theta$. Тогда у нас образуется новая промежуточная система – система $\xi^{\prime} \eta^{\prime} \zeta^{\prime}$. Ось $\xi$ будет при этом идти по линии пересечения плоскостей $x y$ и $\xi^{\prime} \eta^{\prime}$. Эта линия называется линией узлов. Повернув, наконец, оси $\xi^{\prime} \eta^{\prime} \zeta^{\prime}$ вокруг оси $\zeta^{\prime}$ против хода часовой стрелки на угол $\psi$, мы получим требуемую систему $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. На рис. 42 эти повороты показаны в различных стадиях. Таким образом, углы Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ полностью определяют ориентацию системы $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ относительно системы хyz. Поэтому они могут быть выбраны в качестве обобщенных координат*). Элементы полного преобразования А можно теперь получить, перемножая матрицы трех описанных вращений, каждая из которых имеет сравнительно простой вид: Первый поворот, который совершается вокруг оси $\boldsymbol{z}$, описывается некоторой матрицей D и поэтому можно написать: Рис. 42, Углы Эиллера. где $\boldsymbol{\xi}$ и $\mathbf{x}$ – матрицы, состоящие из одного столбца. Аналогично, переход от системы $\xi \eta \zeta$ к системе $\xi^{\prime} \eta^{\prime} \zeta^{\prime}$ описывается уравнением где $\mathrm{C}$ – матрица этого преобразования. Наконец, последний поворот, осуществляющий переход к системе $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, описывается матрицей $\mathrm{B}$, и поэтому Следовательно, суммарное преобразование осуществляется матрицей $\mathbf{A}$, равной Первое из рассмотренных преобразований представляет вращение вокруг оси $z$, и, следовательно, матрица его имеет вид Наконец, последнее преобразование есть вращение вокруг оси $\zeta^{\prime}$, и поэтому матрица B имеет такой же вид, как D: Вычисляя теперь полную матрицу $\mathrm{A}=\mathrm{BCD}$, будем иметь: лы (Уиттекер, Ньюболт, Эйме и Марнафан) и связано с тем, что второй пои $\psi$ были бы тогда равны соответственно $\varphi+\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}-\psi$. Иностранные авторы обычно пользуются теми же углами, какими пользуемся и мы, но углы $\varphi$ и $\psi$ у них часто меняются местами. Этим, однако, еще не исчерпывается возможная путаница; так, например, многие авторы трудов по квантовой механике отсчитывают углы поворота не против хода часовой стрелки, как делаем это мы, а по ходу. Преобразование, обратное A, осуществляющее переход от системы, связанной с телом, к неподвижной системе $x y z$, описывается уравнением и матрица этого преобразования $A^{-1}$ есть просто транспонированная матрица $\tilde{\mathbf{A}}$ : Проверку проделанных нами умножений матриц, а также проверку ортогональности матрицы А мы предоставляем читателям произвести самостоятельно в качестве упражнения.
|
1 |
Оглавление
|