Мы уже говорили, что так как элементы $a_{i j}$ не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являю́тся углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования.
*) Если бы этот детерминант был равен нулю, то не существовало бы обратного оператора В-1 (это следует из правила Крамера) и равенство (4.41) не имело бы смысла.

Перехоп от одной декартовой системы координат к другой может быть выполнен посредством трех последовательных поворотов, совершаемых в определенном порядке. Тогда углы Эйлера определятся как три последовательных угла соответствующих поворотов. Прежде всего начнем с поворота начальной системы $x y z$ вокруг оси $z$. Повернув ее на некоторый угол $\varphi$ против хода часовой стрелки, мы перейдем к коррдинатной системе $\xi \eta$. Полученную промежуточную систему $\xi \eta \zeta$ мы повернем затем вокруг оси $\xi$, совершив этот поворот против хода часовой стрелки на некоторый угол $\theta$. Тогда у нас образуется новая промежуточная система — система $\xi^{\prime} \eta^{\prime} \zeta^{\prime}$. Ось $\xi$ будет при этом идти по линии пересечения плоскостей $x y$ и $\xi^{\prime} \eta^{\prime}$. Эта линия называется линией узлов. Повернув, наконец, оси $\xi^{\prime} \eta^{\prime} \zeta^{\prime}$ вокруг оси $\zeta^{\prime}$ против хода часовой стрелки на угол $\psi$, мы получим требуемую систему $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. На рис. 42 эти повороты показаны в различных стадиях. Таким образом, углы Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ полностью определяют ориентацию системы $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ относительно системы хyz. Поэтому они могут быть выбраны в качестве обобщенных координат*).

Элементы полного преобразования А можно теперь получить, перемножая матрицы трех описанных вращений, каждая из которых имеет сравнительно простой вид: Первый поворот, который совершается вокруг оси $\boldsymbol{z}$, описывается некоторой матрицей D и поэтому можно написать:
\[
\xi=\mathrm{Dx},
\]

Рис. 42, Углы Эиллера.
*) K сожалению, разные авторы по-разному определяют углы Эйлера. Различия здесь не очень велики, однако они часто затрудняют сравнение получаемых результатов, например элементов матрицы. Нанбольшая путаница, по-видимому, возникает из-за применения некоторыми авторами левой системы координат (например, Осгуд, а также Маргенау и Мэрфи). Более часто, однако, встречается другое отличие, состоящее в отсчете угла линии узлов не от оси $x$, а от осн $y$. Это особенно характерно для Британсекй шко-

где $\boldsymbol{\xi}$ и $\mathbf{x}$ — матрицы, состоящие из одного столбца. Аналогично, переход от системы $\xi \eta \zeta$ к системе $\xi^{\prime} \eta^{\prime} \zeta^{\prime}$ описывается уравнением
\[
\xi^{\prime}=\mathrm{C} \xi \text {, }
\]

где $\mathrm{C}$ — матрица этого преобразования. Наконец, последний поворот, осуществляющий переход к системе $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, описывается матрицей $\mathrm{B}$, и поэтому
\[
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{B} \xi^{\prime} \text {. }
\]

Следовательно, суммарное преобразование
\[
\mathbf{x}^{\prime}=\mathrm{Ax}
\]

осуществляется матрицей $\mathbf{A}$, равной
\[
A=B C D .
\]

Первое из рассмотренных преобразований представляет вращение вокруг оси $z$, и, следовательно, матрица его имеет вид
\[
\mathbf{D}=\left\|\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\
-\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right\|
\]
[см. уравнение (4.17)]. Преобразование $\mathrm{C}$ представляет собой вращение вокруг оси $\xi$, и поэтому
\[
C=\left\|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & \sin \theta \\
0 & -\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right\| .
\]

Наконец, последнее преобразование есть вращение вокруг оси $\zeta^{\prime}$, и поэтому матрица B имеет такой же вид, как D:
\[
B=\left\|\begin{array}{ccc}
\cos \psi & \sin \psi & 0 \\
-\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right\| .
\]

Вычисляя теперь полную матрицу $\mathrm{A}=\mathrm{BCD}$, будем иметь:
\[
A=\left\|\begin{array}{ccc}
\cos \psi \cos \varphi-\cos \theta \sin \varphi \sin \psi & \cos \psi \sin \varphi+\cos \theta \cos \varphi \sin \psi & \sin \psi \sin \theta \\
-\sin \psi \cos \varphi-\cos \theta \sin \varphi \cos \psi & -\sin \psi \sin \varphi+\cos \theta \cos \varphi \cos \psi & \cos \psi \sin \theta \\
\sin \theta \sin \varphi & -\sin \theta \cos \varphi & \cos \theta
\end{array}\right\| \text {. }
\]

лы (Уиттекер, Ньюболт, Эйме и Марнафан) и связано с тем, что второй пои $\psi$ были бы тогда равны соответственно $\varphi+\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}-\psi$. Иностранные авторы обычно пользуются теми же углами, какими пользуемся и мы, но углы $\varphi$ и $\psi$ у них часто меняются местами. Этим, однако, еще не исчерпывается возможная путаница; так, например, многие авторы трудов по квантовой механике отсчитывают углы поворота не против хода часовой стрелки, как делаем это мы, а по ходу.

Преобразование, обратное A, осуществляющее переход от системы, связанной с телом, к неподвижной системе $x y z$, описывается уравнением
\[
x=A^{-1} \mathbf{x}^{\prime},
\]

и матрица этого преобразования $A^{-1}$ есть просто транспонированная матрица $\tilde{\mathbf{A}}$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{A}^{-1}=\tilde{\mathrm{A}}= \\
=\left\|\begin{array}{ccc}
\cos \psi \cos \varphi-\cos \theta \sin \varphi \sin \psi & -\sin \psi \cos \varphi-\cos \theta \sin \varphi \cos \psi & \sin \theta \sin \varphi \\
\cos \psi \sin \varphi+\cos \theta \cos \varphi \sin \psi & -\sin \psi \sin \varphi+\cos \theta \cos \varphi \cos \psi & -\sin \theta \cos \varphi \\
\sin \theta \sin \psi & \sin \theta \cos \psi & \cos \theta
\end{array}\right\| .
\end{array}
\]

Проверку проделанных нами умножений матриц, а также проверку ортогональности матрицы А мы предоставляем читателям произвести самостоятельно в качестве упражнения.