Исторически интерес к центральным силам возник из астрономических задач о движении планет. Однако нет оснований считать, что интерес к этим силам ограничивается лишь задачами такого рода. Мы уже указывали на другой пример применения теории центральных сил – задачу о движении электрона в атоме Бора. Мы сейчас рассмотрим еще одну задачу о центральных силах, допускающую решение с позиций классической механики. Этозадача о рассеянии частиц в поле центральной силы. Конечно, если эти частицы имеют масштабы атома, то следует ожидать, что некоторые результаты классического исследования будут часто физически неправильными, так как квантовые эффекты в этих случаях обычно значительны. Тем не менее, имеется много классических положений, которые остаются верными и здесь и поэтому могут служить в качєстве достаточно хорошего приближения.

Проблема рассеяния касается отклонения частиц под действием центральной силы. Мы рассмотрим однородный пучок частиц, например, электронов или $\alpha$-частиц, обладающих одинаковой массой и одинаковым законом изменения энергии $V$ в зависимости от расстояния $r$ до центра силы. Силу эту мы будем предполагать стремящейся к нулю при $r \rightarrow \infty$. Поток частиц мы будем характеризовать его интенсивностью I (эту величину называют также плотностью потока), которая равна числу частиц, проходящих через единичное поперечное сечение потока в единицу времени. По мере приближения частицы к центру силы она будет притягиваться им либо отталкиваться, и траектория ее будет откітоняться от начальной прямой линии. Затем частица станет удаляться от этого центра, и действующая на нее сила в конце концов уменьшится настолько, что траекторию можно будет опять считать прямолинейной. В общем случае конечное направление ее движения не будет совпадать с начальным, т. е. будет иметь место некоторое отклонение. Поперечным сечением рассеяния в данном направлении мы будем называть величину $\sigma(\Omega)$, определяемую равенством
( $\Omega) d \Omega=$
$=\frac{\text { число частиц, проходящих через телесный угол } d \Omega \text { за единицу времени }}{\text { плотность потока }}$,
где $d \Omega$ – элементарный телесный угол в направлении $\Omega$. Вели ным сечением рассеяния. В случае поля центральной силы должна быть полная симметрия относительно оси потока, и поэтому элементарный угол $d \Omega$ может быть записан в виде
\[
d \Omega=2 \pi \sin \Theta d \Theta,
\]

где $\Theta$ – угол между конечным и начальным направлениями движения, известный как угол рассеяния. Заметим, что термин «поперечное сечение» оправдывается тем, что $\sigma(\Omega)$ имеет размерность площади.

Константы траектории каждой частицы, а следовательно, и угол $\Omega$ определяются энергией и кинетическим моментом этой
Рис. 3l. Рассеяние пучка элементарных частиц под действием центральной силы.

частицы. Последний удобно выражать через энергию и так называемый параметр соударения $s$, равный расстоянию от центра силы до прямой, по которой начинает свое движение рассматриваемая частица. Если начальную скорость этой частицы обозначить через $v_{0}$, то будем иметь:
\[
l=m v_{0} s=s \sqrt{2 m E} .
\]

Величины $E$ и $s$ однозначно определяют угол $\left.\Theta^{*}\right)$. Поэтому число частиц, рассеиваемых в телесном угле $d \Omega$, заключенном между $\Theta$ и $\Theta+d \Theta$, должно равняться числу частиц, для которых параметр $s$ лежит в пределах между $s$ и $s+d s$ (значения параметра $s$, соответствующие углам $\Theta$ и $\Theta+d \Theta$ ). Таким образом, будем иметь:
\[
2 \pi I s d s=-2 \pi \sigma(\Theta) I \sin (\Theta) d \Theta .
\]
(Знак минус в правой части этого равенства объясняется тем, что при увеличении параметра $s$ на частицу действует меньшая сила, в результате чего происходит уменьшение угла $\Theta$.) Если $s$ рассматривать как функцию энергии $E$ и соответствующего
*) В этом пункте классическая механика расходится с квантовой. Существенная особенность квантовой механики состоит в том, что в ней нельзя вполне определить траекторию какой-либо конкретной точки. В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности рассеяния в том или ином направлении.

угла $\Theta$, то можно будет написать:
\[
s=s(\Theta, E),
\]

и тогда функция $\sigma(\Theta)$ будет определяться равенством
\[
\sigma(\Theta)=\frac{s}{\sin \Theta} \frac{d s}{d \Theta} .
\]

В качестве иллюстрации рассмотрим важную в историческом отношении задачу о рассеянии заряженных частиц электрическим полем неподвижного заряда (поле Кулона). Допустим, что величина этого заряда равна – $Z e$, а заряд каждой летящей частицы равен $-Z^{\prime} e$. Тогда сила $f$ будет равна
\[
f=\frac{Z Z^{\prime} e^{2}}{r^{2}}
\]
т. е. будет силой отталкивания, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому мы можем воспользоваться результатами предыдущего параграфа, положив
\[
k=-Z Z^{\prime} e^{2} .
\]

Уравнение орбиты (3.46) принимает вид:
\[
\frac{1}{r}=-\frac{m Z Z^{\prime} e^{2}}{l^{2}}(1+\varepsilon \cos \theta),
\]

где $\varepsilon$ равно
\[
\varepsilon=\sqrt{1+\frac{2 E l^{2}}{m\left(Z Z^{\prime} e^{2}\right)^{2}}}=\sqrt{1+\left(\frac{2 E s}{Z Z^{\prime} e^{2}}\right)^{2}},
\]

а $\theta^{\prime}$ мы считаем равным нулю, чего всегда можно добиться соответствующим поворотом полярной оси. Уравнение (3.64), как и уравнение (3.46), определяет коническое сечение, а именно гиперболу, так как $\varepsilon>1$. Однако в правой части этого уравнения стоит знак минус и, следовательно, допустимыми значениями $\theta$ являются лишь те, для которых
\[
\cos \theta<-\frac{1}{\varepsilon}
\]
(рис. 32). Отсюда следует, что центр силы находится в данном случае во внешнем фокусе гиперболы (рис. 33), а не во внутреннем, как было в случае силы притяжения (см. рис. 23).

Изменение угла $\theta$ в случае, когда частица приходит из бесконечности и, отклонившись от первоначального направления, вновь уходит в бесконечность, почти равно углу $\Phi$ между асимптотами, который в свою очередь является дополнением угла $\Theta$ до $180^{\circ}$. Поэтому на основании равенства (3.66) и рис. 32 будем иметь:
\[
\cos \frac{\Phi}{2}=\sin \frac{\Theta}{2}=\frac{1}{\varepsilon},
\]

или
\[
\operatorname{ctg}^{2} \frac{\Theta}{2}=\operatorname{cosec}^{2} \frac{\Theta}{2}-1=\varepsilon^{2}-1 \text {, }
\]

откуда
\[
\operatorname{ctg} \frac{\Theta}{2}=\frac{2 E s}{Z Z^{\prime} e^{2}} .
\]

Теперь мы легко можем найти функцию $\sigma(\Theta)$. Выразив с помощью (3.67) параметр $s$ через $E$ и $\Theta$, получим:
\[
s=\frac{Z Z^{\prime} e^{2}}{2 E} \operatorname{ctg} \frac{\Theta}{2},
\]

и тогда с помощью (3.62) найдем:
\[
\sigma(\Theta)=\frac{1}{2}\left(\frac{Z Z^{\prime} e^{2}}{2 E}\right)^{2} \frac{\operatorname{ctg} \frac{\Theta}{2}}{\sin \Theta} \frac{1}{\sin ^{2} \frac{\Theta}{2}},
\]

или
\[
\sigma(\Theta)=\frac{1}{4}\left(\frac{Z Z^{\prime} e^{2}}{2 E}\right)^{2} \frac{1}{\sin ^{2} \frac{\Theta}{2}} \cdot(3.68)
\]

Рис. 33. Траектория частицы при рассеянии под действием отталкиваюе силы Кулоңа. Из рисунка видна связь угла рассеяния с углом между асимптотами.
Этот результат совпадает с тем, который был в свое время получен Резерфордом для рассеяния $\alpha$-частиц атомным ядром. Квантовая механика (без учета релятивистских эффектов) приводит к тому же результату.

В атомной физике играет важную роль так называемое полное поперечное сечение рассеяния, равное
\[
\sigma_{t}=\int_{4 \pi} \sigma(\Omega) d \Omega=2 \pi \int_{0}^{\pi} \sigma(\Theta) \sin \Theta d \Theta .
\]

Однако если мы попытаемся вычислить его, подставляя в этот интеграл значения $\sigma(\Theta)$ из выражения (3.68), то получим бесконечность. Физическую причину этого нетрудно установить. Согласно определению полного поперечного сечения рассеяния оно равно числу частиц потока единичной плотности, рассеиваемых по всем направлениям в единицу времени. Но электростатические силы являются силами дальнодействия, и поэтому область, в которой они себя проявляют, простирается до бесконечности. Вследствие этого очень малые значения $\Theta$ будут лишь у тех частиц, у которых очень велико $s$. Следовательно, все частицы потока, имеющего бесконечно большое поперечное сечение, будут в той или иной степени рассеиваться кулоновской силой. Именно поэтому полное поперечное сечение рассеяния получается в этом случае бесконечным. Из сказанного следует, что бесконечное значение $\sigma_{t}$ свойственно не только полю сил Кулона, так как при классическом методе исследования этот результат будет иметь место всегда, когда рассеивающее поле отлично от нуля. на всех конечных расстояниях (как бы велики они ни были)*). Поэтому только в случае поля ограниченной протяженности, т. е. такого, в котором, начиная с некоторого расстояния, силы становятся равными нулю, полное поперечное сечение рассеяния будет конечным. Практически это имеет место в электростатическом поле атомного ядра и окружающих его электронов, которые «экранируют» ядро и эффективно компенсируют его заряд на больших расстояниях.