В предыдущем параграфе мы рассматривали рассеяние частиц в поле неподвижного заряда, т. е. изучали движение одной точки. На практике, однако, в этом процессе всегда участвуют два взаимодействуюших тела, например в опыте Резерфорда мы имеем $\alpha$-частицу и атомное ядро. При. этом вторая частица не является неподвижной, а перемещается в результате взаимодействия с первой. Но мы знаем, что задачу о движении двух тел, находящихся под действием центральной силы взаимного притяжения или отталкивания, можно свести к задаче о движении одного тела. Поэтому может показаться, что единственная поправка, которую нам надлежит сделать, состоит в замене массы $m$ на приведенную массу $\mu$. Однако в действительности вопрос этот не так прост. Дело в том, что измеряемый в лабораторных условиях угол рассеяния (мы обозначим его через $\vartheta$ ) есть угол между конечным и начальным направлениями движения частицы**). В то же время угол $\Theta$, вычисляемый по формулам соответствующей задачи для одного тела, есть угол между конечным н начальным направлением
*) Величина $\sigma_{t}$ получается бесконечной и в случае применения к рассматриваемому полю методов квантовой механики, так как формула (3.68) остается здесь справедливой. Однако кулоновское поле, созданное неподвижным зарядом, является в этом отношении несколько аномальным. Оказывается, что все силы, убывающие с расстоянием быстрее, чем сила Кулона, приводят в квантовой механике к конечному значению $\sigma_{t}$.
$\left.{ }^{* *}\right)$ Угол рассеяния $\vartheta$ не следует смешивать с угловой координатой $\theta$ относительного вектора $\boldsymbol{r}$, соединяющего две ұастиць.

вектора, соединяющего две взаимодействующие частицы. Эти два угла будут одинаковыми только в том случае, когда в течение всего времени рассеяния вторая частица остается неподвижной. В общем случае, однако, она находится в покое лишь в начале процесса рассеяния, а затем начинает участвовать в движении этой системы, которое совершается под влиянием сил взаимодействия данных частиц. Из рис. 34 видно, что эти углы будут иметь тогда различные значения. Эквивалентная задача
Рис. 34. Рассеяние двух частиц в лабораторной системе координат.
Рис. 35. Рассеяние двух частиц в системе координат, движущейся вместе с центром масс.

о движении одного тела не дает, таким образом, того угла рассеяния, который непосредственно измеряется в лабораторной системе координат.

Однако в системе координат, движущейся вместе с центром масс рассматриваемых частиц, положение будет совершенно иным. В этой системе общее количество движения взаимодействующих частиц будет, конечно, равно нулю, т. е. эти частицы будут иметь равные, но противоположно направленные количества движения. На рис. 35 показана картина рассеяния, представляющаяся наблюдателю, движущемуся вместе с центром масс системы. До рассеяния эти частицы движутся навстречу друг к другу, а после рассеяния – друг от друга. Поэтому угол $\Theta$ между начальным и конечным направлением относительного вектора должен быть таким же, как угол рассеяния каждой частицы относительно центра масс системы. Таким образом, зависимость между углами рассеяния $\Theta$ и $\vartheta$ можно получить посредством перехода от системы координат, связанной с центром масс этих частиц, к лабораторной системе координат.

Мы будем пользоваться следующими обозначениями, введенными в $\S 3.1$ этой главы:
$\boldsymbol{r}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{1}$ – радиус-вектор и скорость частицы 1 в лао́ораторной системе координат;

$\boldsymbol{r}_{1}^{\prime}$ и $\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}$ – радиус-вектор и скорость той же частицы в системе координат, связанной с центром масс частиц;
$\boldsymbol{R}$ и $\dot{\boldsymbol{R}}$ – радиус-вектор и скорость (постоянная) центра масс частиц в лабораторной системе координат.

Согласно определению мы в любой момент времени будем иметь

и соответственно
\[
r_{1}=R+r_{1}^{\prime}
\]
\[
\boldsymbol{v}_{1}=\dot{\boldsymbol{R}}+\boldsymbol{v}_{1}^{\prime} \text {. }
\]

На рис. 36 это векторное соотношение изображено для момента времени после того, как уже имело место рассеяние; в этот момент скорости $\boldsymbol{v}_{1}$ и $\boldsymbol{v}_{1}^{\prime}$ образуют углы $\vartheta$ и $\Theta$ с вектором $\dot{R}$, идущим вдоль начального направления. C помощью этого чертежа находим:
\[
\operatorname{tg} \theta=\frac{v_{1}^{\prime} \sin \theta}{v_{1}^{\prime} \cos \theta+|\dot{R}|} .
\]

Кроме того, согласно (3.2) имеем:
\[
v_{1}^{\prime}=\frac{\mu}{m_{1}} \dot{r}
\]

Так как рассматриваемая система Рис. 36. Векторы скоростей в лабораторной системе координат и в системе координат, движуконсервативна, то после рассеяния, щейся вместе с центром масс. когда взаимный потенциал частиц бу-
дет равен нулю, относительная скорость будет иметь такую же величину, как начальная скорость $v_{0}$. Следовательно, после рассеяния будем иметь:
\[
v_{1}^{\prime}=\frac{\mu}{m_{1}} v_{0} .
\]

Что касается постоянной скорости центра масс, то она может быть найдена из теоремы о сохранении количества движения, согласно которой

откуда
\[
\left(m_{1}+m_{2}\right) \dot{\boldsymbol{R}}=m_{1} \boldsymbol{v}_{0}
\]
\[
\dot{R}=\frac{\mu}{m_{2}} v_{0} \text {. }
\]

Подставив теперь (3.70) и (3.71) в (3.69), получим соотношение между углами $\vartheta$ и $\Theta$ в виде
\[
\operatorname{tg} \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \Theta+\frac{m_{1}}{m_{2}}} .
\]

Отсюда видно, что если $m_{1}$ во много раз меньше $m_{2}$, то эти углы будут приблизительно равны. Это объясняется тем, что в случае большого значения $m_{2}$ частица 2 отталкивается очень слабо и практически может считаться неподвижным центром силы.

Так как при переходе к лабораторой системе координат углы рассеяния изменяются, то поперечные сечения рассеяния также будут при этом изменяться. Зависимость между величинами $\sigma(\Theta)$ и $\sigma^{\prime}(\vartheta)$ можно получить из того условия, что число частиц, рассеиваемых внутри данного телесного угла, должно быть в обеих системах одинаковым. Поэтому можно написать:

или
\[
2 \pi I \sigma(\Theta) \sin \Theta d \Theta=2 \pi I \sigma^{\prime}(\vartheta) \sin \vartheta d \vartheta,
\]
\[
\sigma^{\prime}(\vartheta)=\sigma(\Theta) \frac{\sin \Theta}{\sin \theta} \frac{d \Theta}{d \vartheta}=\sigma(\Theta) \frac{d \cos \Theta}{d \cos \theta},
\]

где $\sigma^{\prime}(\vartheta)$ – поперечное сечениє рассеяния в лабораторной системе координат. Принципиально равенство (3.72) позволяет выразить $\Theta$ через $\vartheta$, и тогда $\sigma^{\prime}(\vartheta)$ можно будет выразить через $\sigma(\Theta)$, причем это можно сделать для произвольного отношения $m_{1} / m_{2}$. При этом ясно, что в случае рассеяния $\alpha$-частиц, исследованном Резерфордом, соответствующие поправки будут малы, так как $m_{1}$ равно здесь 4 атомным единицам, а $m_{2}$ обычно равно не менее чем 100 атомным единицам. Если, однако, эти массы равны друг другу (как в случае системы нейтрон – протон), то соответствующие поправки будут максимальными. Равенство (3.72) примет тогда вид

откуда
\[
\operatorname{tg} \vartheta=\frac{\sin \Theta}{\cos \Theta+1}=\operatorname{tg} \frac{\Theta}{2}
\]
\[
\vartheta=\frac{\Theta}{2} \quad\left(m_{1} / m_{2}=1\right) .
\]

В случае $m_{1}=m_{2}$ максимальный угол рассеяния, наблюдаемый в лабораторной системе координат, равен $90^{\circ}$. Соответствующее поперечное сечение рассеяния будет тогда равно
\[
\sigma^{\prime}(\vartheta)=4 \cos \vartheta \sigma(2 \vartheta) \quad\left(m_{1} / m_{2}=1\right) .
\]

Описанное рассеяние можно назвать упругим в том смысле, что кинетическая энергия системы остается после рассеяния такой же, как и до рассеяния. Однако скорости частиц в лабораторной системе координат не будут при этом оставаться неизменными. Рассмотрим, например, рассеивающую частицу. Вначале она находится в покое, а после рассеяния приобретает некоторую скорость, а следовательно, и кинетическую энергию. Но так как кинетическая энергия системы должна остаться неизменной, то рассеиваемая частица должна уменьшить свою скорость и свою кинетическую энергию. Таким образом, процесс рассеяния сопровождается переносом кинетической энергии от рассеиваемой частицы к рассеивающей. Это уменьшение можно вычислить с помощью теоремы косинусов (см. рис. 36):
\[
v_{1}^{\prime 2}=v_{1}^{2}+\dot{R}^{2}-2 v_{1} R \cos \theta,
\]

или, используя выражения (3.70) и (3.71),
\[
\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{2}-\frac{2 \mu}{m_{2}}\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right) \cos \vartheta-\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{2}+m_{1}}=0 .
\]

Полученное равенство представляет собой квадратное уравнение относительно $v_{1} / v_{0}$. В частном случае, когда $m_{1}=m_{2}$, оно имеет следующее особенно простое решение:
\[
\frac{v_{1}}{v_{0}}=\cos \vartheta \quad\left(m_{1} / m_{2}=1\right) .
\]

Отсюда видно, что при $\vartheta=90^{\circ}$ (в системе, связанной с центром масс, это соответствует отражению назад, т. е. случаю $\Theta=\pi$ ) имеет место максимальный перенос энергии, при котором отталкивающая частица $m_{2}$ получает всю энергию частицы $m_{1}$.

Перенос кинетической энергии посредством рассеяния имеет место при получении потока медленных нейтронов. Быстрые нейтроны, образованные в результате деления, совершают последовательные упругие соударения. ГІри этом их кинетическая энергия понижается до уровня, при котором нейтрон с большей вероятностью способен на деление, чем на захват (без деления). Лучшими замедлителями служат легкие элементы. Наибольшей замедляющей способностью обладает водород. Однако применение его как замедлителя в ядерных реакторах ограниченно, так как он сильно поглощает нейтроны. В этом отношении лучшими являются дейтерий, масса которого равна 2 , и углерод, масса которого равна 12. В лабораторных условиях, впрочем, для замедления нейтронов постоянно пользуются водородом в виде предельного углеводорода.

Несмотря на свою актуальность, расчеты по переходу от лабораторной системы координат к системе, связанной с центром масс, а также по переносу кинетической энергии не являются особенно «современными» или «квантовыми» по своей природе. Не получила здесь распространения и классическая механика. Все, что здесь в сущности применяется, – это законы о сохранении количества движения и энергии. Подобные расчеты можно найти в элементарных учебниках, обычно в виде задач об упругих ударах бильярдных шаров. Но эти элементарные законы и делают эти расчеты справедивыми. Дело в том, что если количество движения рассматриваемых частиц сохраняется (а это остается верным и в квантовой механике) и соударение является упругим, то детали происходящего здесь процесса становятся несущественными. В сущности, мы их не знаем и имеем здесь «закрытый ларец», относительно которого известно лишь, что́ туда входит и что выходит. Не имеет значения и то, относятся ли происходящие здесь явления к «классическим» или «квантовым». Поэтому мы можем пользоваться формулами данного раздела, не ожидая экспериментального анализа этого явления, в особенности в случае, когда оно имеет квантовый характер (как, например, в системе нейтрон – протон).
ЗА д А и
1. Две частицы движутся друг относительно друга по круговым орбитам под действием гравитационных сил; период этого движения равен $\tau$. В некоторый момент времени их движение внезапно прекращается, после чего они начинают двигаться друг к другу.

Доказать, что промежуток времени, по истечении которого они столкнутся, равен $\tau / 4 \sqrt{2}$.
2. Частица движется в поле центральной силы, потенциал которой равен
\[
V=-k \frac{e^{-a r}}{r}
\]

где $k$ и $a$ – положительные постоянные.
Провести качественное исследование этого движения, пользуясь методом эквивалентного одномерного потенциала.
3. Рассмотрите систему, в которой силы $\boldsymbol{F}_{i}$, действующие на ее точки, состоят из консервативных сил $\boldsymbol{F}_{i}^{\prime}$ и сил трения $f_{i}$, пропорциональных скоростям соответствующих точек. Покажите, что теорема о вириале будет для такой системы выражаться равенством
\[
\bar{T}=-\frac{1}{2} \overline{\sum_{i} F_{i}^{\prime} \cdot \boldsymbol{r}_{i}}
\]
(при условии, что движение является установившимся и не прекращается в результате действия сил трения).
4. Показать, что если частица движется по дуге круга под действием центральной силы притяжения, направленной к точке той же окружности, то эта сила изменяется обратно пропорционально пятой степени расстояния.
5. Пусть точка движется в поле центральной силы, представляющей стегенную функцию от расстояния $r$. Показать, что задача о движении этой точки может быть решена в эллиптических функциях при следующих значениях показателя степени:
\[
n=-\frac{3}{2},-\frac{5}{2},-\frac{1}{3},-\frac{5}{3},-\frac{7}{3} \text {. }
\]
6. Вычислите приближенное отношение масс Солнца и Земли, пользуясь только продолжительностью года и лунного месяца ( 27,3 суток), а также средними радиусами орбит Земли $\left(1,49 \cdot 10^{8}\right.$ км) и Луны $\left(3,8 \cdot 10^{5}\right.$ км).
7. Рассмотрите движение точки в поле центральной силы, равной
\[
f=-\frac{k}{r^{2}}+\frac{C}{r^{3}} .
\]

Покажите, что уравнение ее орбиты может быть представлено в виде
\[
r=\frac{a\left(1-\varepsilon^{2}\right)}{1+\varepsilon \cos \alpha \theta} .
\]

При $\alpha=1$ написанное уравнение изображает эллипс, а при $\alpha
eq 1$ – прецессирующий эллипс. Прецессионное движение этого эллипса можно характеризовать скоростью прецессии его перигелия (или афелия). Получите приближенное выражение для скорости этой прецессии при $\alpha \approx 1$, выразив ее через безразмерную величину
\[
\eta=\frac{C}{k a} .
\]

Отнощение $\eta$ служит мерой возмущения, вносимого членом $C / r^{3}$ в ньютоновскую силу $-k / r^{2}$. Согласно наблюдениям перигелий Меркурия прецессирует со скоростью $40^{\prime \prime}$ за столетие. Покажите, что эта прецессия могла бы быть объяснена с позиций классической механики, если бы $\eta$ было малой величиной, равной $1,42 \cdot 10^{-7}$. (Эксцентриситет орбиты Меркурия равен 0,206 , а период его обращения равон 0,24 года.)
8. Какие изменения (если они будут) появятся в рассеянии, исследованном Резерфордом, если сила Кулона будет не отталкивающей, а притягивающей?
9. Исследуйте рассеяние в поле центральной отталкивающей силы, изменяющейся по закону $f=k r^{-3}$. Покажите, что дифференциальное поперечное сечение определяется в этом случае равенством
\[
\sigma(\Theta) d \Theta=\frac{k}{2 E} \frac{(1-x) d x}{x^{2}(2-x)^{2} \sin \pi x},
\]

где через $x$ обозначено отношение $\theta / \pi$, а через $E$ – энергия.
10. В ядерной физике часто встречаются центральные силы, потенциал которых определяется равенствами
\[
\begin{array}{lll}
V=0 & \text { при } & r>a, \\
V=-V_{0} & \text { при } & r \leqslant a
\end{array}
\]
(так называемая «прямоугольная потенциальная яма»). Показать, что рассея. ние в поле такой силы подобно преломлению световых лучей сферой радиуса $a$ при показателе преломления, равном
\[
n=\sqrt{\frac{E+V_{0}}{E}} .
\]
(Эта аналогия показывает, что преломление света можно было объяснить как с позиций волновой теории Гюйгенса, так и с позиций корпускулярной теории Ньютона.) Показать также, что дифференциальное поперечное сечение равно в этом случае
\[
\sigma(\Theta)=\frac{n^{2}}{2 \cos \frac{\Theta}{2}} \frac{\left(n \cos \frac{\Theta}{2}-1\right)\left(n-\cos \frac{\Theta}{2}\right)}{\left(1+n^{2}-2 n \cos \frac{\Theta}{2}\right)^{2}} .
\]

Каково здесь полное поперечное сечение рассеяния?
11. Показать, что для любой центральной отталкивающей силы угол рассеяния $\Theta$ равен
\[
\Theta=\pi+2 \int_{0}^{u_{0}} \frac{d u}{s \sqrt{1-\frac{V(u)}{E}-s^{2} u^{2}}},
\]

где $V$ – потенциальная энергия, $u=1 / r$, а $u_{0}$ соответствует той точке орбиты, где $r$ имеет минимальное значение. Қаково соответствующее выражение для притягивающей силы?

12. (a) Покажите, что угол отражения рассеивающей частицы относительно начального направления отклоняемой частицы имеет следующее простое выражение:
\[
\vartheta=\frac{1}{2}(\pi-\Theta) \text {. }
\]
(б) Рассмотрите рассеяние в случае двух частиц равной массы. Наблюдение показывает, что распределение энергии отраженных частиц постоянно до некоторого значения этой энергии и равно нулю выше него. Покажите, что относительно центра масс рассеяние должно быть изотропным.