Хотя описанная процедура получения лагранжиана и приводит к правильным релятивистским уравнениям движения, однако она является релятивистской лишь в определенном смысле, так как не является ковариантной.

Например, время $t$ и пространственные координаты $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ мы рассматривали как величины разного рода, тогда как их следовало рассматривать как совершенно равноправные координаты пространства Минковского. Поэтому переменной, к которой мы относим перемещение точки в пространстве, следует считать не $t$, а собственное время $\tau$, являющееся инвариантным. Кроме того, лагранжиан должен быть инвариантной характеристикой материальной системы, не зависящей от того, какая система координат применяется при ее изучении. Поэтому мы должны ожидать, что он будет некоторым скаляром, инвариантным относительно преобразований Лоренца.

Наконец, если пользоваться языком четырехмерного пространства, то, вместо того, чтобы быть функцией $x_{i}, \dot{x}_{i}\left(\equiv v_{i}\right.$ ) и $t$, лагранжиан должен быть функцией $x_{v}, \frac{d x_{v}}{d \tau}\left(\equiv u_{v}\right)$ и $\tau$. Ковариантная формулировка принципа Гамильтона должна поэтому иметь следующий вид:
\[
\delta I=\delta \int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} L^{\prime}\left(x_{v}, u_{v}, \tau\right) d \tau=0,
\]

где как $I$, так и ковариантный лагранжиан $L^{\prime}$ суть два инвариантных скаляра.

Добиться указанного ковариантного построения можно, однако, не в каждой задаче механики. Дело в том, что потенциал каждой системы определяется характером действующих на нее сил, выражения для которых можно получить лишь с помощью теоретических соображений, выходящих за пределы механики. Если на основе этих соображений удается получить ковариантное выражение для действующих сил, то можно получить ковариантное выражение и для лагранжиана $L^{\prime}$ в равенстве (6.53). Однако не всякие силы допускают ковариантную форму. Например, часто встречающаяся в задачах механики гравитационная сила безусловно не удовлетворяет этому требованию. Гравитационную силу принято рассматривать как «статическую силу дальнодействия», т.е. как силу, распространяющуюся с бесконечно большой скоростью. Но в теории относительности понятие такой силы теряет смысл, так как в этой теории мыслимы лишь силы, передающиеся со скоростями не больше с. С другой стороны, мы уже отмечали, что электромагнитные силы удовлетворяют этому требованию теории относительности. Поэтому мы ограничимся разысканием функции $L^{\prime}$ для двух случаев: для совершенно свободной частицы и для частицы, находящейся в электромагнитном поле.

Если исходить из ковариантного вариационного принципа для одной материальной точки, то уравнения Эйлера – Лагранжа, очевидно, будут иметь вид
\[
\frac{d}{d \tau} \frac{\partial L^{\prime}}{\partial u_{v}}-\frac{\partial L^{\prime}}{\partial x_{v}}=0,
\]

и левые части этих уравнений будут преобразовываться как составляющие 4 -вектора. В случае свободной материальной точки лагранжиан ее $L^{\prime}$ должен быть таким, чтобы уравнения (6.54) сводились к уравнениям
\[
\frac{d}{d \tau} m u_{v}=0,
\]

подобным по форме нерелятивистским уравнениям
\[
\frac{d}{d t} m v_{i}=0 \text {. }
\]

Это обстоятельство наводит на мысль, что лагранжиан $L^{\prime}$ можно получить из нерелятивистского дагранжиана $L=\frac{1}{2} m v^{2}$ посредством замены $v^{2}$ на квадрат 4-скорости $u_{v}$. Таким образом, будем иметь
\[
L^{\prime}=\frac{1}{2} m u_{
u} u_{\psi}
\]

В справедливости сделанного выбора можно убедиться с помощью непосредственной проверки. Действительно, вак как
\[
\frac{\partial L^{\prime}}{\partial x_{v}}=0, \quad \frac{\partial L^{\prime}}{\partial u_{v}}=m u_{v}=p_{v},
\]

то уравнения (6.54) совпадают с уравнениями (6.55) *).
Пусть теперь точка находится в электромагнитном поле. Тогда лагранжианом $L^{\prime}$ будет
\[
L^{\prime}=\frac{1}{2} m u_{v} u_{v}+\frac{q}{c} u_{\lambda} A_{\lambda} .
\]

Обобщенные импульсы будут здесь равны
\[
p_{v}=\frac{\partial L^{\prime}}{\partial u_{v}}=m u_{v}+\frac{q}{c} A_{v},
\]

и поэтому уравнения (6.54) будут иметь вид

или
\[
\frac{d}{d \tau}\left(m u_{v}+\frac{q}{c} A_{v}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{v}}\left(\frac{q}{c} u_{\lambda} A_{\lambda}\right)=0,
\]
\[
\frac{d}{d \tau} m u_{v}=\frac{\partial}{\partial x_{v}}\left(\frac{q}{c} u_{\lambda} A_{\lambda}\right)-\frac{q}{c} \frac{d A_{v}}{d \tau} .
\]

Но эти уравнения совпадают с обобщенными уравнениями Ньютона [см. уравнение (6.30)] в случае, когда сила Минковского равна
\[
K_{v}=\frac{\partial}{\partial x_{v}}\left(\frac{q}{c} u_{\lambda} A_{\lambda}\right)-\frac{q}{c} \frac{d A_{v}}{d \tau},
\]

что совпадает с выведенной ранее формулой (6.33).
*) Следует заметить, что правая часть равенства (6.56) является посстоянной величиной, равной $-\frac{m}{2} c^{2}$. Однако это не является для нас существенным, так как для нас важно только то, что функциональная зависимость $L^{\prime}$ от $u_{v}$ обеспечивает получение нужных нам уравнений. Но это означает, что выражение (6.56) не является единственно возможным. Действительно, $L^{\prime}$ может иметь вид $m f\left(u_{v} u_{v}\right)$, где $f(x)$ – некоторая функция, удовлетворяющая условию
\[
f^{\prime}\left(-c^{2}\right)=+\frac{1}{2}
\]
( $f^{\prime}$ означает частную производную $\frac{\partial f}{\partial x}$ ). В формуле (6.56) мы полагали $f\left(u_{v} u_{v}\right)=\frac{1}{2} u_{v} u_{v}$, однако можно было бы выбрать и зависимость
\[
f\left(u_{v} u_{v}\right)=-c \sqrt{-u_{v} u_{v}},
\]

получающуюся непосредственно из (6.48), если переменную интегрирования $t$ заменить на $\tau$.

Обобщенный 4-импульс (6.58) опять не равен обычному количеству движения и отличается от него дополнительным членом, содержащим электромагнитный потенциал. Следует заметить, что $p_{4}$ не равно здесь просто $i T / c$, как в случае отсутствия сил [см. уравнение (6.43)], а имеет вид
\[
p_{4}=\frac{i T}{c}+\frac{i q \dot{P}}{c}=\frac{i}{c} E
\]

где $E$ – полная энергия, равная $T+q \varphi$. Таким образом, обобщенный импульс, соответствующий временно́й координате, пропорционален здесь полной энергии. (С подобной связью мы встретимся позже в нерелятивистской механике.) Соотношение между пространственными составляющими количества движения и кинетической энергией $T$ может быть здесь получено тем же путем, каким было получено равенство (6.44). Пространственная часть равенства (6.58) может быть записана в виде
\[
m u_{i}=p_{i}-\frac{q A_{i}}{c},
\]

откуда
\[
m^{2} u_{v} u_{v}=-m^{2} c^{2}=\left(\boldsymbol{p}-\frac{q \boldsymbol{A}}{c}\right)^{2}-\frac{T^{2}}{c^{2}}
\]

и, следоватељно,
\[
T^{2}=\left(\boldsymbol{p}-q \frac{\boldsymbol{A}}{c}\right)^{2} c^{2}+m^{2} c^{4} .
\]

На основании изложенного в этой главе может возникнуть мысль, что каждому построению классической механики однозначно соответствует определенный релятивистский аналог. Однако это не так. Например, мы уже отмечали те трудности, которые возникают в релятивистской механике в связи с гравитационными силами, а также другими силами «дальнодействия». Кроме того, релятивистское преобразование Лоренца относится лишь к равномерно движущимся системам и потому не может быть применено к системам, движущимся ускоренно, таким, например, как вращающиеся системы координат. Переход к этим системам может быть сделан в специальной теории относительности лишь с трудом. Точно так же в релятивистскую механику трудно ввести представление о связях, ибо связи должны в этом случае выражаться посредством инвариантов Лоренца. Но в случае, например, связей твердого тела это требование безусловно не выполняется, так как условия этих связей содержат только пространственные составляющие 4-векторов, определяющих частицы твердого тела. Следовательно, вся динамика твердого тела не имеет соответствующей релятивистской аналогии.

ЗА Д А чи
1. Докажите закон Эйнштейна для сложения двух параллельных скоростей [формула (6.20)]. (Доказательство это проще всего получить, рассматривая два последовательных преобразования Лоренца как последовательные повороты в плоскости $x_{3} x_{4}$.)
2. Получите преобразование Лоренца, в котором скорость образует с осью $z$ бесконечно малый угол $d \theta$, применив для этого к (6.15) преобразование подобия. Покажите с помощью непосредственной проверки, что полученная матрица является ортогональной и что обратная ей матрица получается посредством замены $v$ на – $v$.
3. Релятивистский закон сложения скоростей можно получить и другим путем, если учесть, что вторая скорость получается из пространственных составляющих 4-скорости, которые можно преобразовать к начальной системе носредством формул преобразования Лоренца.

Пусть вторая система двнжется относительно первой со скоростью $v^{\prime}$, направленной вдоль оси $z$, а третья система движется относительно второй со скоростью $v^{\prime \prime}$, направленной произвольным образом.

Показать, пользуясь указанным методом, что скорость, с которой третья система движется относительно первой, определяется равенствами:
\[
\begin{array}{c}
\sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{\sqrt{1-\beta^{\prime 2}} \sqrt{1-\beta^{\prime 2}}}{1+\beta^{\prime} \beta_{z}^{\prime \prime}}, \\
\beta_{x}=\frac{\beta_{x}^{\prime \prime} \sqrt{1-\beta^{\prime 2}}}{1+\beta^{\prime} \beta_{z}^{\prime \prime}}, \quad \beta_{y}=\frac{\beta_{y}^{\prime \prime} \sqrt{1-\beta^{\prime 2}}}{1+\beta^{\prime} \beta_{z}^{\prime \prime}}, \quad \beta_{z}=\frac{\beta^{\prime}+\beta_{z}^{\prime \prime}}{1+\beta^{\prime} \beta_{z}^{\prime \prime}},
\end{array}
\]

где $\beta_{x}^{\prime \prime}=v_{x}^{\prime \prime} / c$ и т. д. [Если вектор $v^{\prime \prime}$ направлен вдоль оси $z$, то последняя из этих формул совпадает с формулой (6.20).]
4. Рассмотрите движение, описанное в задаче 3 , в случае, когда вектор $v^{\prime \prime}$ лежит в плоскости $z x$ и весьма мал по сравнению с вектором $v^{\prime}$. Докажите, что оси $z$ п $z^{\prime \prime}$ будут казаться непараллельными (несмотря на то, что они направляются параллельно оси $z^{\prime}$ ), показав, что относительная скорость двух систем будет казаться образующей разные углы с осями $z$ и $z^{\prime \prime}$. Покажите также, что угол между этими осями будет равен
\[
d \theta=\frac{-\beta_{x}^{\prime \prime} \beta^{\prime}}{2} .
\]

Если скорость $v^{\prime \prime}$ представляет изменение скорости $v^{\prime}$ в течение бесконечно малого времени вследствие ускорення $a$, то этот вывод можно интерпретировать как вращение осей с угловой скоростью
\[
\omega_{t}=\frac{v^{\prime} \times a}{c^{2}} .
\]

Это явление имеет важное значение в атомной физике и известно под названием прецессии Томаса.
5. Рассмотрите уравнение (6.46) и покажите, что сила параллельна ускорению только в том случае, когда скорость и ускорение параллельны либо перпендикулярны друг к другу..Проверьте для этих случаев формулы (6.47).
6. Исходя из преобразования 4 -ускорения, покажите, что связь между ускорением $\boldsymbol{a}$ и ускорением $\boldsymbol{a}^{\prime}$ относительно системы, в которой скорость точки в данный момент равна нулю, выражается формулами:
\[
a_{x}=\frac{a_{x}^{\prime}}{1-\beta^{2}}, \quad a_{y}=\frac{a_{y}^{\prime}}{1-\beta^{2}}, \quad a_{z}=\frac{a_{z}^{\prime}}{\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2}},
\]

причем ось $z$ выбрана в направлении относительной скорости.

7. В $\beta$-распаде, рассмотренном в задаче 1 главы 1 , масса электрона соответствует энергии покоя $0,511 \mathrm{Mev}$, а масса нейтрино равна нулю. Қаковы здесь полные энергии, уносимые электроном и нейтрино? Қакая часть массы ядра переходит в кинетическую энергию (включая энергию покоя электрона)?
8. Мезон массы $\pi$, находящийся в состоянии покоя, распадается на мезон массы $\mu$ и нейтрино нулевой массы. Показать, что кинетическая энергия движения $\mu$-мезона (т. е. без учета энергии покоя) равна
\[
T=\frac{(\pi-\mu)^{2}}{2 \pi} c^{2} .
\]
9. Согласно классическому определению фотон представляет частицу, не имеющую массы, но обладающую количеством движения $h / \lambda=h v / c$ и, следовательно, обладающую кинетической энергией $h v$. При соударении с покоящимся электроном массы $m$ фотон отклоняется на некоторый угол $\theta$ и движется с новой энергией $h v^{\prime}$. Показать, что связь между изменением энергии и углом $\theta$ определяется формулой
\[
\lambda^{\prime}-\lambda=2 \lambda_{c} \sin ^{2} \frac{\theta}{2},
\]

где $\lambda_{\mathrm{c}}=h / m c-$ так называемая длина волны Комптона. Показать также, что кинетическая энергия, приобретаемая электроном после удара, равна
\[
T=h v \frac{2\left(\frac{\lambda}{\lambda_{c}}\right) \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{1+2\left(\frac{\lambda}{\lambda_{c}}\right) \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} .
\]
10. При релятивистском исследовании движения ракет уже нельзя пользоваться методом, о котором говорилось в задаче 3 главы 1, что частично объясняется тем, что масса в этом случае не сохраняется. Вместо этого следует пользоваться законом о сохранєнии 4-импульса; изменение каждой составляющей 4 -импульса ракеты за время $d t$ должно быть при этом связано с величиной некоторой составляющей $p_{v}$ для газов, выбрасываемых за это время из ракеты. Покажите, что если на ракету не действуют внешние силы, то дифференциальное уравнение, определяющее зависимость ее скорости от массы, будет иметь вид
\[
m \frac{d v}{d m}+a\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)=0,
\]

где $a$-постоянная скорость, с которой выбрасываемые продукты горения движутся относительно ракеты. Докажите, что решение этого уравнения можно представить в виде
\[
\beta=\frac{1-\left(\frac{m}{m_{0}}\right)^{\frac{2 a}{c}}}{1+\left(\frac{m}{m_{0}}\right)^{\frac{2 a}{c}}},
\]

где $m_{0}$ – начальная масса ракеты. Что происходит с той массой, которая в рассматриваемом случае теряется?
11. Исходя из уравнения (6.40), покажите, что скорость заряженной частицы, движущейся в постоянном магнитном поле, остается нензменной. Покажите также, что траекторией заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле, является винтовая линия. Докажите, что радиус кривизны еe $\rho$ будет для данной частицы обратно пропорционален напряженности поля $B$ и прямо пропорционален составляющей механического количества движения в направлении, перпендикулярном к В. (Поэтому произведение $B \rho$ может служить мерой количества движения данной частищы.)
12. Частица, заряд которой равен $q$, а масса покоя равна $m$, вносится с начальной скоростью $\boldsymbol{v}_{0}$ в однородное электрическое поле $\boldsymbol{E}$, перпендикулярное к $v_{0}$. Найти траекторию этой частицы и показать, что при $c \rightarrow \infty$ она стремится к параболе.
13. Частица находится под действием притягивающей силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Показать, что если учитывать релятивистские эффекты, то движение этой частицы можно считать происходящим по эллипсу, поворачивающемуся в своей плоскости. Вычислить скорость этого вращения для орбиты Меркурия. (Она получается равной около 7′ за столетие, что намного меньше, чем действительно наблюдаемая скорость, равная $40^{\prime \prime}$ за столетие; ее можно получить только с помощью общей теории относительности.)
14. Отправляясь от уравнения (6.46), вывести следующий релятивистский аналог теоремы о вириале: для движений, ограниченных в пространстве и совершающихся со скоростями, не приближающимися сколь угодно близко к $c$, имеет место равенство
\[
\bar{L}_{0}+\bar{T}=-\overline{\boldsymbol{F} \cdot r},
\]

где $L_{0}$ – лагранжиан в случае отсутствия внешних сил. Заметим, что ни $L_{0}$, ни $T$ не соответствуют кинетической энергии в нерелятивистской механике, но сумма их $L_{0}+T$ играет ту же роль, что и удвоенная кинетическая энергия в нерелятивистской теореме о вириале [см. уравнение (3.26)].