Во многих разделах физики важную роль играют системы, движение которых является периодическим. В таких системах нас часто интересуют не столько подробности траекторий их точек, сколько частоты этих движений. Мы сейчас рассмотрим весьма изящный и эффективный метод исследования таких систем, основанный на методе Гамильтона – Якоби. В этом методе в качестве новых импульсов выбираются не постоянные $\alpha_{i}$, непосредственно входящие в полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби, а подходящим образом определенные постоянные $J_{i}$, образующие $n$ независимых функций от $\alpha_{i}$. Они носят название действий.

Прежде чем вводить эти переменные, необходимо точно определить смысл термина «периодическое движение». Рассмотрим сначала систему с одной степенью свободы. Фазовым пространством такой системы является двумерная плоскость, и здесь можно различать два вида периодического движения:
1. Движением первого типа является такое, при котором $q(t)$ и $p(t)$ суть две периодические функции времени с одинаковым периодом. Такое движение характерно для колебательных систем, например для линейного гармонического осциллятора с одной степенью свободы. Для этих движений часто применяют астрономический термин либрация. Так как значения переменных $q$ и $p$ повторяются при этом движении через каждый период, то точка, изображающая такую систему, описывает в фазовом пространстве замкнутую траекторию (рис. $63, a$ ).
2. Во втором типе периодического движения само $q$ не изменяется периодическим образом, но является таким, что при увеличении его на некоторую величину $q_{0}$ конфигурация системы, в сущности, не изменяется. Наиболее простым примером такого

движения является движение твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Координатой $q$ здесь является угол поворота, увеличение которого на $2 \pi$ не изменяет положения тела. В отличие от либрации его называют вращением. Значения $q$ не являются здесь ограниченными и могут сколь угодно возрастать. Поэтому траекторией изображающей точки будет в этом случае незамкнутая кривая, но $p$ будет некоторой периодической функцией $q$ с периодом $q_{0}$ (рис. $63, b$ ).

Следует заметить, что оба вида периодичности могут встретиться в одной и той же физической системе. Қлассическим примером такого рода может служить движение простого маятника, если координатой $q$ считать угол отклонения $\theta$. Постоянная энергия этой системы равна
\[
E=\frac{p_{\theta}^{2}}{2 m l^{2}}-m g l \cos \theta,
\]

где $l$ – длина маятника.’ Разрешая равенство (9.30) относительно $p_{\theta}$, получаем
\[
p_{\theta}=\sqrt{2 m l^{2}(E+m g l \cos \theta)},
\]

что является уравнением траектории изображающей точки в фазовом пространстве. Если $E$ меньше чем $m g l$, то движение системы будет возможно лишь при $|\theta|<\theta^{\prime}$, где
\[
\theta^{\prime}=\arccos \left(-\frac{E}{m g l}\right) .
\]

При этих условиях маятник будет колебаться в пределах между – $\theta^{\prime}$ и $+\theta^{\prime}$, т. е. будет совершать периодическое движение типа либрации. Траектория изображающей точки будет при этом подобна кривой 1 на рис. 64.

Однако если $E>m r l$, то все значения $\theta$ будут здесь физически возможными, и $\theta$ будет неограниченно возрастать, т. е. маятник будет совершать периодическое движение вращательного типа. Физически это объясняется тем, что маятник обладает до-

Рис. 64. Траектория изображающей точки в случае простого маятника. статочно большой энергией, позволяющей ему пройти через вертикальное положение ( $\theta=\pi)$ и, следовательно, непрерывно вращаться. На рис. 64 этому случаю соответствует кривая 3 .
В предельном случае, когда $E=m g l$, мы будем иметь картину, которую изображает кривая 2 на рис. 64.
В системах более чем с одной степенью свободы мы ограничимся рассмотрением лишь тех задач, в которых уравнение, определяющее характеристическую функцию $W$, является уравнением с разделяющимися переменными (по крайней мере, для одной системы канонических переменных).. Движение системы мы будем представлять как движение изображающей точки в многомерном фазовом пространстве $(q, p)$. Будем говорить, что это движение является периодическим, если, проектируя изображающую точку на каждую плоскость $\left(q_{i}, p_{i}\right)$, мы получаем периодическое движение в обычном смысле слова (как для системы с одной степенью свободы). Но так как мы рассматриваем случай полного разделения переменных, то эти движения будут независимыми, и их можно легко исследовать. Согласно уравнениям канонического преобразования
\[
p_{i}=\frac{\partial W_{i}\left(q_{i}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)}{\partial q_{i}} .
\]

Следовательно, каждое $p_{i}$ является функцией соответствующего $q_{i}$ и $n$ постоянных $\alpha_{j}$ :
\[
p_{i}=p_{i}\left(q_{i}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) .
\]

Легко видеть, что это уравнение дает проекцию траектории изображающей точки на плоскость $\left(q_{i}, p_{i}\right)$. Отсюда следует, что рассматриваемое движение будет периодическим только тогда, когда кривая (9.33) будет замкнутой или периодической относительно $q_{i}$.

Периоды движений, описываемых парами $\left(q_{i}, p_{i}\right)$, не обязательно должны быть одинаковыми. Примером может служить гармонический осциллятор с тремя степенями свободы в случае, когда три его коэффициента жесткости различны. Суммарное движение колеблющейся таким образом точки будет в этом случае не обязательно периодическим, так как периоды составляющих движений могут быть здесь несоизмеримыми, и траектория движущейся точки будет тогда разомкнутой (так называемая «фигура Лиссажу»). Такое движение называют почтипериодическим.

Теперь мы можем ввести действия $J_{1}, \ldots, J_{n}$, которые в качестве преобразованных постоянных импульсов $P_{i}$ будут заменять постоянные $\alpha_{i}$. Под $J_{i}$ мы будем понимать интеграл
\[
J_{i}=\oint p_{i} d q_{i}
\]

взятый за полный период изменения $q_{i}$ (колебания или вращения, смотря по тому, какой случай имеет место). Термин «действие» употребляется здесь в связи со сходством интеграла (9.34) с действием $A$ (см. $\S 7.5$ ), равным по определению
\[
A=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i}=\int \sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i} d t .
\]

Согласно уравнению (9.32) $J_{i}$ можно записать в виде
\[
J_{i}=\oint \frac{\partial W_{i}\left(q_{i}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)}{\partial q_{i}},
\]

откуда видно, что каждая из величин $J_{i}$ является функцией $n$ постоянных $\alpha_{i}$, входящих в полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби. Но из независимости пар ( $q_{i}, p_{i}$ ) следует, что эти функции являются независимыми. Следовательно, величины $J_{i}$ можно принять за новые постоянные импульсы. Выражая $\alpha_{i}$ через $J_{i}$ можно характеристическую функцию $W$ записать в виде
\[
W=W\left(q_{1}, \ldots, a_{n}, J_{1}, \ldots, J_{n}\right),
\]

а гамильтониан – в виде
\[
H=\alpha_{1}=H\left(J_{1}, \ldots, J_{n}\right) .
\]

Заметим, что согласно определению [см. равенство (9.34)] размерность величин $J_{i}$ совпадает с размерностью кинетического момента.

Если одна из переменных $q_{i}$ является циклической, то соответствующий ей импульс будет постоянным. Соответствующая траектория в плоскости $q_{i} p_{i}$ будет тогда горизонтальной прямой линией, не имеющей ясно выраженного периодического характера. Такое движение можно рассматривать как предельный случай периодического движения вращательного типа, причем координате $q_{i}$ можно здесь приписать любой период. Но так как во вращательном движении координатой всегда служит угол, то естественным периодом такой циклической координаты является величина $2 \pi$. Поэтому интеграл (9.34) должен в этом случае вычисляться от нуля до $2 \pi$ и, следовательно,
\[
J_{i}=2 \pi p_{i}
\]

для всех циклических переменных.
Обобщенные координаты, соответствующие величинам $J_{i}$, известны под названием угловых переменных $w_{i}$. Они определяются равенствами
\[
w_{i}=\frac{\partial W}{\partial I_{i}} .
\]

Уравнения, определяющие функции $w_{i}(t)$, будут иметь вид
\[
\dot{w}_{i}=\frac{\partial H\left(J_{1}, \ldots, J_{n}\right)}{\partial J_{i}}=v_{i}\left(J_{1}, \ldots, J_{n}\right),
\]

где $v_{i}$-постоянные величины, являющиеся функциями $J_{1}, \ldots$ $\ldots, J_{n}$. Интегрируя эти уравнения, получаем
\[
w_{i}=v_{i} t+\beta_{i} .
\]

Следовательно, $w_{i}$ являются линейными функциями времени [так же, как в уравнениях (9.22′)].

С помощью уравнений (9.37) и (9.39) можно получить $q_{i}$ как функции $t, v_{i}$ и $\beta_{i}$, подобно тому как мы это делали в случае, когда новыми импульсами служили постоянные $\alpha_{i}$. Однако переменные $J_{i}, w_{i}$ не обнаруживают в этом отношении больших преимуществ по сравнению с координатами $\alpha_{i}$.

Выясним теперь физический смысл величин $v_{i}$. Допустим, что координата $q_{j}$ совершает полный цикл изменения (либрации или вращения), в то время как остальные координаты остаются при этом неизменными. Рассмотрим приращение $\Delta w_{1}$, которое получает при этом величина $w_{i}$. Оно равно
\[
\Delta w_{i}=\oint \delta w_{i},
\]

где $\delta w_{i}$ – бесконечно малое изменение $w_{i}$, получающееся вследствие бесконечно малого изменения $q_{j}$. Учитывая, что
\[
\delta w_{i}=\frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} d q_{l}
\]

и подставляя (9.40) в (9.37), получаем
\[
\Delta w_{i}=\oint \frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} d q_{j}=\oint \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{l} \partial I_{i}} d q_{l} .
\]

Вынося теперь производную по $J_{i}$ за знак интеграла, будем иметь
\[
\Delta w_{i}=\frac{\partial}{\partial J_{i}} \oint \frac{\partial W}{\partial q_{j}} d q_{j}=\frac{\partial}{\partial J_{i}} \oint p_{j} d q_{j}
\]
(с учетом уравнений преобразования). Но так как
\[
\oint p_{j} d q_{j}=J_{j},
\]

то окончательно получаем
\[
\Delta w_{i}=\frac{\partial J_{j}}{\partial J_{i}}=\delta_{i j} .
\]

Равенство (9.41) показывает, что при $j=i$ угловая переменная $w_{i}$ равна единице, а при $j
eq i$ она равна нулю. Поэтому если $\tau_{i}$ будет означать период одного цикла изменения $q_{i}$, то согласно (9.39) будем иметь
\[
\Delta w_{i}=1=v_{i} \tau_{i}
\]

откуда
\[
v_{i}=\frac{1}{\tau_{i}} .
\]

Следовательно, постоянная $v_{i}$ равна частоте изменения $q_{i}$.
Таким образом, переменные действие – угол $\left(J_{i}, w_{i}\right.$ ) весьма удобны для получения частот периодических движений; при этом не требуется полного исследования движения системы. Если априори известно, что система является периодической, то для нахождения ее частот достаточно найти согласно (9.34) переменные действия $J_{i}$ и выразить $H$ через $J_{i}$, после чего останется вычислить производные $\frac{\partial H}{\partial J_{i}}$ и получить таким путем частоты $v_{i}$ [см. равенство (9.38)].

Теперь ясно, почему величины $w_{i}$ называют угловыми переменными: это связано с тем, что величина $v_{i}$ в равенстве (9.39) означает частоту. Кроме того, этот термин находится в согласии с тем фактом, что $J_{i}$ имеет размерность кинетического момента, так как кинетический момент есть обобщенный импульс, соответствующий угловой координате.

В качестве иллюстрации рассмотрим задачу об определении частоты обычного гармонического осциллятора. В данном случае мы имеем только одну переменную действия $J$, которая
$11 \Gamma_{2}$ Голдстейн

согласно (9.15) равна
\[
J=\oint p d q=\oint \frac{\partial W(q, \alpha)}{\partial q} d q=\sqrt{m k} \oint \sqrt{\frac{2 \alpha}{k}-q^{2}} d q .
\]

Полагая
\[
q=\sqrt{\frac{2 a}{k}} \sin \varphi
\]

будем иметь:
\[
J=2 \alpha \sqrt{\frac{m}{k}} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \varphi d \varphi,
\]

где пределы 0 и $2 \pi$ соответствуют полному циклу изменения $q$. Производя вычисления, получаем:
\[
J_{c}=2 \pi \alpha \sqrt{\frac{m}{k}} .
\]

Разрешая теперь равенство (9.44) относительно $\alpha$, будем иметь:

откуда
\[
\alpha=H=\frac{J}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}},
\]
\[
\frac{\partial H}{\partial J}=v=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{\omega}{2 \pi},
\]

что совпадает с известной формулой для собственной частоты гармонического осциллятора.