Основная задача вариационного исчисления легко обобщается на случай, когда $f$ есть функция многих независимых переменных $y_{i}$ и их производных $\dot{y}_{i}$. (Конечно, все эти величины рассматриваются как функции переменной $x$.) Тогда вариация интеграла $J$ будет равна
\[
\delta J=\delta \int_{1}^{2} f\left[y_{1}(x), y_{2}(x), \ldots, \dot{y}_{1}(x), \dot{y}_{2}(x), \ldots, x\right] d x .
\]

Как и ранее, она может быть получена из рассмотрения $J$ как функции $\alpha$, где $\alpha$-параметр, определяющий кривые $y_{i}(x, \alpha)$. Так, например, можно положить:
\[
\left.\begin{array}{c}
y_{1}(x, \alpha)=y_{1}(x, 0)+\alpha \eta_{1}(x), \\
y_{2}(x, \alpha)=y_{2}(x, 0)+\alpha \eta_{2}(x), \\
. . . . . . . . . .
\end{array}\right\}
\]

где $y_{1}(x, 0), y_{2}(x, 0), \ldots$ — кривые, реализующие экстремум (они подлежат определению), а $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots$ — произвольные функции $x$, обращающиеся в нуль в конечных точках (они появляются при варьировании кривых с фиксированными конечными точками). Конечно, семейства (2.13) не являются единственно возможными и приведены нами лишь для иллюстрации. Дальнейшая процедура проводится здесь так же, как и ранее. Вариация $J$ имеет вид
\[
\frac{\partial J}{\partial \alpha} d \alpha=\int_{i}^{2} \sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial y_{i}}{\partial \alpha} d \alpha+\frac{\partial f}{\partial \dot{y}_{i}} \frac{\partial \dot{y}_{i}}{\partial \alpha} d \alpha\right) d x .
\]

Интегрируя по частям интегралы, входящие во вторую сумму уравнения (2.14), получаем
\[
\int_{i}^{2} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_{i}} \frac{\partial^{2} y_{i}}{\partial \alpha \partial x} d x=\left.\frac{\partial f}{\partial \dot{y}_{i}} \frac{\partial y_{i}}{\partial \alpha}\right|_{1} ^{2}-\int_{i}^{2} \frac{\partial y_{i}}{\partial \alpha} \frac{d}{d x}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}_{i}}\right) d x,
\]

где первое слагаемое правой части равно нулю, так как все кривые $y_{i}(x, \alpha)$ проходят через фұксированные конечные точки. Подставляя правую часть последнего равенства в уравнение (2.14), получаем $\delta J$ в виде
\[
\delta J=\int_{i}^{2} \sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial y_{i}}-\frac{d}{d x} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_{i}}\right) \delta y_{i} d x,
\]

где аналогично равенству (2.10)
\[
\delta y_{i}=\left(\frac{\partial y_{i}}{\partial \alpha}\right)_{0} d \alpha .
\]

Так как переменные $y_{i}$ являются независимыми, то вариации $\delta y_{i}$ также будут независимыми (в частности, функции $\eta_{i}(x)$ в выражениях (2.13) являются независимыми). Следовательно, равенство $\delta J=0$ будет иметь место тогда и только тогда, когда все коэффициенты при $\delta y_{i}$ будут равны нулю. Таким образом, получаем уравнения
\[
\frac{\partial f}{\partial y_{i}}-\frac{d}{d x} \frac{\partial f}{\partial \dot{y}_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

являющиеся обобщением уравнения (2.11) на случай многих переменных. Система уравнений (2.16) известна под названием системы дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа. Кривые, для которых вариация интеграла (2.12) равна нулю, описываются функциями $y_{i}(x)$, являющимися решениями системы (2.16).

Для рассмотренных нами вариационных задач возможны дальнейшие обобщения. Так, например, можно .. рассмотреть функцию $f$, содержащую высшие производные, $\ddot{y}, \ddot{y}$ и т. д., что приведет к уравнениям, отличным от уравнений (2.16). Кроме
того, можно рассмотреть случаи, когда имеется несколько переменных $x_{j}$ и интеграл $J$ является кратным; функция $f$ будет тогда содержать производные от $y_{i}$ по каждому из переменных $x_{j}$. Наконец, можно рассматривать вариации, при которых конечные точки не являются. фиксированными. Некоторые из этих обобщений будут рассмотрены нами позже. Пока же мы можем ограничиться интегралом типа (2.12), из которого интеграл Гамильтона
\[
I=\int_{i}^{2} L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right) d t
\]

получается посредством формальной замены
\[
\begin{aligned}
x & \rightarrow t \\
y_{i} & \rightarrow q_{i}, \\
f\left(y_{i}, \dot{y}_{i}, x\right) & \rightarrow L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнения Эйлера — Лагранжа переходят тогда в известные уравнения движения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

На этом мы заканчиваем доказательство того, что уравнения Лагранжа вытекают из принципа Гамильтона (для консервативных систем).