В качестве примера применения метода Гамильтона – Якоби мы подробно рассмотрим задачу о гармоническом осцилляторе с одной степенью свободы. Гамильтониан такой системы равен
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{k q^{2}}{2},
\]

где $k$ – коэффициент жесткости. Заменяя здесь $p$ на $\frac{\partial S}{\partial q}$ и приравнивая нулю новый гамильтониан этой системы, мы
*) Тот факт, что интеграл $\int L d t$ совпадает с одной из функций $S$, удовлетворяющих уравнению (9.3), был установлен Гамильтоном до того, как стало ясно, что уравнение Гамильтона – Якоби даёт возможность получить полное решение данной механической задачи, что было сделано Якоби, который установил, что канонические преобразовання позволяют использовать любой полный интеграл уравнения Гамильтона – Якоби для решения задачи Q движении системы, получаем следующее уравнение Гамильтона – Якоби:
\[
\frac{1}{2 m}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)^{2}+\frac{k q^{2}}{2}+\frac{\partial S}{\partial t}=0 .
\]

Так как $t$ содержится здесь в явном виде только в последнем члене, то можно положить:
\[
S(q, \alpha, t)=W(q, \alpha)-\alpha t,
\]

где $\alpha$ – постоянная (которая позже будет принята за преобразованный импульс системы). При таком выборе решения мы исключаем из (9.12) $t$ и получаем
\[
\frac{1}{2 m}\left(\frac{\partial W}{\partial q}\right)^{2}+\frac{k q^{2}}{2}=\alpha .
\]

Интегрнруя (9.14), будем иметь
\[
W=\sqrt{m k} \int d q \sqrt{\frac{2 \alpha}{k}-q^{2}},
\]

и, следовательно,
\[
S=\sqrt{m k} \int d q \sqrt{\frac{2 \alpha}{k}-q^{2}}-\alpha t .
\]

Полученный интеграл является довольно простым, однако вычислять его нецелесообразно, так как нам в дальнейшем потребуется не функция $S$, а лишь ее частные производные. Для определения $q$ мы согласно (9.7) будем иметь
\[
\beta=\frac{\partial S}{\partial \alpha} \equiv \sqrt{\frac{m}{k}} \int \frac{d q}{\sqrt{\frac{2 \alpha}{k}-q^{2}}}-t,
\]

что можно легко проинтегрировать:
\[
t+\beta=-\sqrt{\frac{m}{k}} \arccos q \sqrt{\frac{k}{2 \alpha}},
\]

и, разрешив (9.16) относительно $q$, найдем
\[
q=\sqrt{\frac{2 \vec{a}}{k}} \cos \omega(t+\beta), \quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные интегрирования. Полученное равенство совпадаёт с обычной формулой для гармонического колебания.

Для окончательного решения остается связать $\alpha$ и $\beta$ с начальными условиями. Предположим, что при $t=0$ скорость рассматриваемой материальной точки равна нулю. Тогда в начальный момент времени будем иметь: $q=q_{0}, p=p_{0}=0$. Положив теперь в (9.15) $t=0$, получим
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)_{0}=p_{0}=0=\sqrt{2 m} \sqrt{\alpha-\frac{k q_{0}^{2}}{2}},
\]

откуда
\[
\alpha=\frac{k q_{0}^{2}}{2}=\frac{m \omega^{2} q_{0}^{2}}{2} .
\]

Следовательно, $\alpha$ является начальной полной энергией системы, а так как рассматриваемая система является консервативной, то энергия ее должна все время быть равна $\alpha$. В сущности, это можно было бы установить и непосредственно, исходя из формулы (9.13) и равенства
\[
\frac{\partial S}{\partial t}+H=0
\]

которое с учетом (9.13) дает
\[
H=\alpha \text {. }
\]

Подставив теперь (9.18) в (9.17), окончательно получим
\[
q=q_{0} \cos \omega(t+\beta)
\]

откуда видно, что при заданных начальных условиях $\beta$ должно быть равно нулю. Следовательно, рассматриваемая функция $S$ осуществляет переход к новому каноническому импульсу, совпадающему с полной энергией, и к координате, тождественно равной нулю (в силу принятых начальных условий).

С помощью равенства $(9,18)$ главную функцию Гамильтона можно записать в виде
\[
S=m \omega \int \sqrt{q_{0}^{2}-q^{2}} d q-\frac{m \omega^{2} q_{0}^{2} t}{2},
\]

что с учетом (9.17) дает*)
\[
S=m \omega^{2} q_{0}^{2} \int\left(\sin ^{2} \omega t-\frac{1}{2}\right) d t .
\]

Вычисляя теперь функцию $L(t)$, будем иметь
$L=\frac{m \dot{q}^{2}}{2}-\frac{m \omega^{2} q^{2}}{2}=\frac{m \omega^{2} q_{0}^{2}}{2}\left(\sin ^{2} \omega t-\cos ^{2} \omega t\right)=m \omega^{2} q_{0}^{2}\left(\sin ^{2} \omega t-\frac{1}{2}\right)$,
откуда видно, что $S(t)$ совпадает с неопределенным интегралом $\int L d t$, как и должно быть на основании общего соотношения (9.11). (Убедиться в этом тождестве можно лишь после того, как будет получено окончательное решение задачи.)
*) Қвадратный корень из $q_{0}^{2}-q^{2}$ нужно брать здесь со знаком минус, так как
\[
\sqrt{q_{0}^{2}-q^{2}}=\frac{p}{m \omega}=\frac{\dot{q}}{\omega},
\]

что согласно (9.17) равно $-q_{0} \sin \omega t$.