В качестве последнего примера применения скобок Пуассона остановимся коротко на так называемой теореме Лиувилля, являющейся основной теоремой статистической механики.

Хотя законы классической механики позволяют полностью определить движение системы по известным начальным условиям, однако для сложных систем это часто оказывается прак-
*) Мы уже отмечали, чтто в квантовой механике аналогом скобки Пуассона является квантовомеханический коммутатор. Поэтому многие положения квантовой механики можно формально получить из соответствующих положений классической механики, если символ [ ] читать как «коммутатор» (не считая постоянного множителя). Это относится и к результатам данного параграфа, которые имеют близкие квантовые аналогии. Например, утверждению, что две составляющие $\boldsymbol{L}$ не могут одновременно быть каноническими импульсами, соответствует известное положение о том, что $L_{i}$ и $L_{j}$ не могут одновременно быть собственными значениями. Однако $L^{2}$ и $L_{i}$ могут быть квантованы одновременно. Большей частью эти соотношения гораздо лучше известны в их квантовой форме, чем в форме классических теорем. Так, например, одна из самых ранних ссылок на скобки Пуассона в связи с кинетическим моментом появилась лишь в 1930 г. (в монографии Борна и Иордана «Элементарная квантовая механика»). Точно так же равенство (8.78), определяющее изменение вектор-функции при вращении, уже давно применялось в квантовой механике (см. Condon and Shortley, The Theory of Atomic Spectra, стр. 59), но лишь в последнее время было получено в классической механике (насколько известно автору, это было сделано недавно профессором Швингером).

тически невозможным. Было бы, например, совершенно безнадежным пытаться вычислить движение каждой молекулы одного моля газа, так как число этих молекул превышает $10^{23}$. Кроме того, начальные условия такой системы нам никогда не бывают вполне известны. Мы можем, например, установить, что при $t=t_{0}$ энергия этой массы газа имеет определенное значение, но каковы начальные координаты и скорости каждой молекулы, мы, конечно, сказать не можем. Поэтому статистическая механика не ищет точного решения задачи о движении подобных систем, а ставит перед собой другую цель. Она состоит в том, чтобы дать метод вычисления некоторых средних величин, характеризующих движение большого числа одинаковых систем. Эти величины получаются путем вычисления средних значений по всем системам ансамбля. Қаждый член такого ансамбля может, конечно, характеризоваться любыми начальными условиями, что согласуется с той неполной информацией, которую мы имеем об этом ансамбле.

Так как каждая такая система изображается некоторой точкой в фазовом пространстве, то ансамблю этих систем в фазовом пространстве будет соответствовать некоторое множество точек. В теореме Лиувилля рассматривается плотность этого. множества в какой-либо из его точек и доказывается, что при движении систем, составляющих ансамбль, она не изменяется.

Будем обозначать эту плотность через $D$. Она будет изменяться со временем вследствие двух причин. Дело в том, что $D$ есть плотность того множества изображающих точек, которые лежат в окрестности точки, изображающей данную систему ансамбля. Поэтому здесь будет неявная зависимость $D$ от $t$, связанная с тем, что изображающая точка движется в фазовом пространстве и поэтому координаты ее ( $q_{i}, p_{i}$ ) изменяются со временем. Кроме того, может иметь место и явная зависимость $D$ от $t$, так как плотность может изменяться даже в том случае, когда она вычисляется для данной фиксированной точки фазового пространства. Поэтому полную производную $D$ по $t$, учитывающую изменение $D$ вследствие обоих факторов, можно записать согласно формуле (8.58). Таким образом, будем иметь
\[
\frac{d D}{d t}=[D, H]+\frac{\partial D}{\partial t},
\]

где первое слагаемое учитывает неявную зависимость $D$ от $t$, а второе – явную зависимость.

Рассмотрим теперь множество точек, изображающих данный ансамбль при $t=0$, и выделим в фазовом пространстве бесконечно малый объем $d V$, ограничивающий некоторую систему таких точек. С течением времени эти точки будут изменять свое положение в фазовом пространстве, и рассматриваемый объем примет другую форму (рис. 62). Ясно, что число изображающих точек внутри этого объема будет все время постоянным, так как ни одна из них никогда не сможет выйти из него наружу. В самом деле, если бы какая-нибудь из них прошла через границу этого объема, то она заняла бы то положение, которое имеет в этот момент какая-то изображающая точка на его поверхности. Но так как движение каждой изображающей точки однозначно определяется ее положением в фазовом пространстве в заданный момент времени, то это ознячало бы, что две указанные точки вышли из этого объема вместе. Следовательно, ни одна из изображающих точек внутри этого объема не сможет его покинуть, точно так же, как ни одна из внешних изображающих точек никогда не сможет проникнуть в пего.
Ранее было показано, что дви-
Рис. 62. Движение объема в фазовом пространстве. жение каждой изображающей точки можно рассматривать как некоторое каноническое преоб-. разование ее координат, непрерывно совершающееся в течение всего времени движения. Следовательно, изменения во времени рассматриваемого объема $d V$ также можно получить с помощью некоторого канонического преобразования. Но мызнаем, что объем любой области фазового пространства является одним из интегральных инвариантов Пуанкаре и, следовательно, не меняется при канонических преобразованиях. Поэтому объем $d V$ не будет изменяться со временем.

Таким образом, и объем $d V$ и число содержащихся в нем точек остаются постоянными. Следовательно, интересующая нас плотность
\[
D=\frac{d N}{d V}
\]

также должна быть постоянной, что можно записать в виде равенства
\[
\frac{d D}{d t}=0
\]

Полученный результат и составляєт содержание теоремы Лиувилля. Согласно (8.83) ее можно записать в виде
\[
\frac{\partial D}{\partial t}=-[D, H]
\]

Если ансамбль систем находится в состоянии статистического равновесия, то число систем, находящихся в данном состоянии, не должно изменяться со временем, и, следовательно, плотность $D$ в данной точке фазового пространства должна быть постоянной. Изменение $D$ в данной точке пространства определяется частной производной $\frac{\partial D}{\partial t}$. Поэтому условием статистического равновесия является равенство
\[
\frac{\partial D}{\partial t}=0
\]

что согласно (8.84) эквивалентно равенству
\[
[D, H]=0 .
\]

Следовательно, выбирая плотность $D$ как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона $[D, H]$ будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность $D$ может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность $D$ постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем.

Высказанные выше соображения иллюстрируют эффективность применения скобок Пуассона в статистической механике. Дальнейшее изучение этого вопроса, однако, увело бы нас слишком далеко от основной темы, и поэтому мы ограничимся тем, что было здесь изложено.
3 А ДАч и
1. Покажите непосредственно, что преобразование
\[
Q=\ln \left(\frac{1}{q} \sin p\right), \quad P=q \operatorname{ctg} p,
\]

является каноническим.
2. При выводе уравнений преобразования, осуществляемого производящими функциями $F_{2}, F_{3}$ или $F_{4}$, мы пользовались преобразованием Јежандра лишь для установления связи между производящими функциями. Показать, что описанное в главе 7 преобразование Лежандра позволяет получить уравнения (8.11), (8.14) и (8.17) непосредственно из уравнений (8.9).
3. Уравнения преобразования имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
Q=\ln \left(1+q^{\frac{1}{2}} \cos p\right) \\
P=2\left(1+q^{\frac{1}{2}} \cos p\right) q^{\frac{1}{2}} \sin p .
\end{array}
\]

a) Исходя непосредственно из этих уравнений, покажите, что если $q$ и $p$ являются каноническими переменными, то переменные $Q$ и $P$ также будут каноническими.
b) Покажите, что производящей функцией этого преобразования является функция
\[
F_{3}=-\left(e^{Q}-1\right)^{2} \operatorname{tg} p .
\]
4. При каких значениях $\alpha$ и $\beta$ уравнения
\[
Q=q^{\alpha} \cos \beta p, \quad P=q^{\alpha} \sin \beta p
\]

являются уравнениями канонического преобразования? Какова в этом случае производящая функция $F_{3}$ ?
5. Точка массы $m$ движется в поле, потенциал которого зависит только от $z$ и от $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Найдите производящую функцию, осуществляющую переход к системе координат, равномерно вращающейся вокруг оси $z$ со скоростью $\omega$. Каков физический смысл нового гамильтониана? Сравните полученный результат с результатом задачи 4 главы 7. Выведите новые канонические уравнения движения и объясните физический смысл каждого члена этих уравнений.
6. Показать, что если $t$ рассматривать как каноническую переменную, то в случае, когда преобразование не влияет на масштаб времени, уравнения преобразования сводятся к обычным уравнениям (8.11).
7. Показать, что если канонические переменные не являются независимыми, а связаны дополнительными условиями
\[
\psi_{k}\left(q_{i}, p_{i}, t\right)=0,
\]

то канонические уравнения движения могут быть записаны в виде
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\sum_{k} \lambda_{k} \frac{\partial \psi_{k}}{\partial p_{i}}+\dot{q}_{i}, \quad \frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\sum_{k} \lambda_{k} \frac{\partial \psi_{k}}{\partial q_{i}}=-\dot{p}_{i},
\]

где $\lambda_{k}$ – неопределенные множители Лагранжа.
Қак раз такой случай имеет место, когда $t$ рассматривается как каноническая переменная в соответствующих уравнениях Гамильтона, так как между $p_{n+1}$ и другими каноническими переменными в этом случае существует соотношение
\[
H\left(q_{1}, \ldots, q_{n+1}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)+p_{n+1}=0 .
\]

Модифицированный таким путем прннцип Гамильтона показывает, что «гамильтониан» рассматриваемых $2 n+2$ переменных всегда равен нулю (см. задачу 6 гл. 7). Показать, что получающиеся $2 n+2$ уравнений Гамильтона можно свести при этом к $2 n$ обычным уравнениям Гамильтона плюс уравнение (7.19) и уравнение
\[
\lambda=\frac{d t}{d \theta} .
\]
(Заметим, что хотя здесь имеется сходстьо с ковариантной релятивистской теорией уравнений Гамильтона, эти результаты получены нами, не выходя за пределы нерелятивистской механики.)
8. Показать с помощью непосредственной подстановки в уравнение (8.8), что функция $\sum_{i} q_{i} Q_{i}$ осуществляет преобразование, меняющее местами координаты и импульсы. Показать, что функция $F_{4}=\sum_{i} p_{i} P_{i}$ также осуществляет подобное преобразование, а преобразование, осуществляемое функцией $F_{3}=-\sum_{i} Q_{i} p_{i}$, является тождественным.

9. Показать, что элементы функционального детерминанта
\[
D=\frac{\partial\left(Q_{k}, P_{k}\right)}{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}
\]

можно преобразовать так, что элементами детерминанта $D^{2}$ будут фундаментальные скобки Лагранжа. Доказать таким путем, что $D^{2}=1$. (Из интегрального инварианта $J$ можно видеть, что $D$ всегда равно +1.)
10. Пользуясь равенствами (8.9), (8.11), (8.14), (8.17), докажите, что имеют место следующие соотношения:
\[
\frac{\partial q_{i}}{\partial Q_{k}}=\frac{\partial P_{k}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial q_{i}}{\partial P_{k}}=-\frac{\partial Q_{k}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial p_{i}}{\partial Q_{k}}=-\frac{\partial P_{k}}{\partial q_{i}}, \quad \frac{\partial p_{i}}{\partial P_{k}}=\frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{i}} .
\]

Покажите, что
\[
\left[q_{i}, p_{j}\right]=\left\{q_{j}, p_{i}\right\}
\]
(Это можно использовать для независимого доказательства инвариантности фундаментальных скобок Пуассона.) Показать также, что детерминант обратного преобразования $(Q, P) \rightarrow(q, p)$ равен $D$, т. е. что $D^{-1}=D$. (Этот результат представляет новое доказательство равенства $D^{2}=1$.)
11. Говорят, что класс некоторых операций является группой, если выполняются следующие условия: 1) он содержит тождественный оператор; 2) наряду с каждым оператором в него входит и оператор, обратный данному, и 3) произведение двух любых операторов из этого класса также входит в этот класс. Показать, что канонические преобразования системы с $n$ степенями свободы образуют группу.
12. В этой главе было показано, что инвариантность фундаментальных скобок Пуассона представляет необходимое условне того, что преобразование является каноническим. Можно, однако, показать, что это условне является и достаточным.

Рассмотрите простейший случай, когда уравнения преобразования не содержат явно $t$, и покажите, что если выполнено это условие и если переменные $q$ и $p$ являются каноническими, то переменные $Q$ и $P$ также будут удовлетворять некоторым уравнениям канонического типа. Кроме того, покажите, что при этом
\[
\left[Q_{i}, Q_{j}\right]_{q, p}=0=\left[P_{i}, P_{j}\right]_{q, F}, \quad\left[Q_{i}, P_{j}\right]_{q, p}=\delta_{i j} .
\]
(Наиболее простой способ доказательства состоит в том, чтобы выразить $\frac{d Q}{d t}$ и $\frac{d P}{d t}$ через старые канонические переменные.)
13. Покажите, что если два первых интеграла уравнений движения содержат явно $t$, то составленная из них скобка Пуассона все равно является первым интегралом этих уравнений.
14. а) Покажите, что если гамильтониан $H$ и функцня $F$ являются первыми интегралами уравнений движения, то $\frac{\partial F}{\partial t}$ также будет первым интегралом.
b) В качестве примера рассмогрите равномерное движение свободной точки массы $m$. Гамильтониан этой системы является, конечно, первым интегралом; кроме того, здесь имеется интеграл
\[
F=x-\frac{p t}{m} .
\]

Покажите путем непосредственного.вычисления, что интеграл $\frac{\partial F}{\partial t}$ совпадает здесь с $[H, F]$.

15. Рассмотрите задачу о сферическом маятнике, пользуясь уравнениями Гамнльтона и выбирая в качестве переменных $q_{i}$ сферические полярные координаты. С помощью непосредственного вычисления найдите в этих канонических переменных скобки Пуассона
\[
\left[L_{x}, L_{y}\right], \quad\left[L_{y}, L_{z}\right], \quad\left[L_{z}, L_{x}\right]
\]

и покажите, что они имеют значения, определяемые равенством (8.80). Ответьте на вопрос, почему $p_{\theta}$ и $p_{\psi}$ можно принять здесь за канонические импульсы, несмотря на то, что они являются взаимно перпендикулярными составляющими кинетического момента.