Из содержания предыдущего параграфа может показаться, что метод Гамильтона – Якоби не имеет практических преимуществ, так как вместо решения $2 n$ обыкновенных дифференциальных уравнений он требует решения дифферециального уравнения в частных производных, что, как известно, сложнее. Однако при некоторых условиях переменные уравнения Гамильтона – Якоби можно разделить, и тогда решение задачи удается свести к квадратурам. Именно в этом случае метод Гамильтона – Якоби становится полезным в практическом отношении.

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие системы, гамильтониан которых является одним из первых интегралов (при этом он не обязательно должен быть полной энергией). Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением лишь тех канонических преобразований, которые осуществляются функцией, определяемой соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных. Разделение переменных, которое мы имеем в виду, удается произвести тогда, когда решение вида
\[
W=\sum_{i} W_{i}\left(q_{i}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)
\]

разбивает рассматриваемое уравнение на $n$ уравнений вида
\[
H_{i}\left(q_{i}, \frac{\partial W_{i}}{\partial q_{i}}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\alpha_{i},
\]

Каждое из полученных таким путем уравнений (9.23) содержит лишь одну координату и лишь одну частную производную – как раз по этой координате. Поэтому эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, которые можно свести к квадратурам, разрешая их относительно $\frac{\partial W_{i}}{\partial q_{i}}$.

К сожалению, нельзя дать простого критерия, указывающего, когда можно произвести такое разделение переменных*). В некоторых случаях, например в известной задаче трех тел, его вообще нельзя осуществить. Однако в системах, представляющих интерес для современной атомной физики, такое разделение удается произвести почти всегда. Следует подчеркнуть, что решение вопроса о разделении переменных в уравнении Гамильтона – Якоби зависит от того, какой системой обобщенных координат мы пользуемся. Например, в задаче о движении точки под действием центральной силы переменные разделяются в случае применения полярных координат $r$ и $\varphi$ и не разделяются в случае применения декартовых координат $x$ и $y$. Во многих случаях существует более чем одна система координат, допускающая разделение переменных.

Частичное разделение переменных уже применялось нами при решении уравнения Гамильтона – Якоби в случае, когда $H$ не является явной функцией $t$. В этом случае мы искали $S$ в виде
\[
S\left(q_{i}, \alpha_{i}, t\right)=W\left(q_{i}, \alpha_{i}\right)+S_{2}\left(t, \alpha_{i}\right),
\]

что после подстановки в уравнение Гамильтона – Якоби приводит к равенству
\[
H\left(q_{i}, \frac{\partial W}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial S_{2}}{\partial t}=0 .
\]

Так как первый член этого уравнения содержит только $q_{i}$, а второй – только $t$, то оно может удовлетворяться лишь теми функциями, при которых как $H$, так и $\frac{\partial S_{2}}{\partial t}$ являются постоянными. Таким образом, мы приходим к уравнениям:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial S_{2}}{\partial t} & =-\alpha_{1}, \\
H\left(q_{l}, \frac{\partial W}{\partial q_{i}}\right) & \mp \alpha_{1},
\end{aligned}
\]
*) Более подробно этот вопрос рассмотрен в статье Нордхейма и Фюза, (см. Handbuch der Physik, т. V), а также в книге Франка и Мизеса: «Differential Gleichungen der Physik», т. 2, гл. 2, § 5, и в литературе, указанной в этой работе.

первое из которых показывает, что $S_{2}=-\alpha_{1} t$ [см. равенство (9.13)], а второе является уравнением Гамильтона – Якоби для функции $W$.

Аналогичное разделение переменных в характеристической функции Гамильтона можно произвести в том случае, когда все координаты, кроме одной, являются циклическими. Рассмотрим, например, тот случай, когда единственной нециклической координатой является $q_{1}$. Будем искать $W$ в виде
\[
W=\sum_{i} W_{i}\left(q_{j}, P_{j}\right) .
\]

Так как импульсы, соответствующие циклическим координатам, являются постоянными, то при $i
eq 1$ уравнения преобразования будут иметь вид
\[
\frac{\partial W_{i}}{\partial q_{i}}=p_{i}=\alpha_{i}
\]

и поэтому уравнение Гамильтона – Якоби запишется в виде
\[
H\left(q_{1}, \frac{\partial W_{1}}{\partial q_{1}}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\alpha_{1},
\]

что представляет обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно $W_{1}$, и, следовательно, легко может быть решено. Уравнения (9.25a) и (9.25b) полностью определяют характеристическую функцию $W$, и так как интегрирование уравнений (9.25a) приводит к равенствам
\[
W_{i}=\alpha_{i} q_{i} \quad(i
eq 1)
\]

то для $W$ будем иметь:
\[
W=W_{i}+\sum_{i=2}^{n} \alpha_{i} q_{i}
\]

Можно заметить сходство между равенствами (9.26) и (9.13), определяющими $S$ в случае, когда $H$ не содержит явным образом $t$. Действительно, их можно рассматривать как равенства, полученные одинаковым путем. Мы видели, что $t$ можно рассматривать как обобщенную координату, которой соответствует канонический импульс- $H$. Следовательно, если $H=$ const, то $t$ можно рассматривать как циклическую координату, а уравнение (9.24a) – как одно из уравнений (9.25), справедливых для любых циклических координат *).
*) Равенство (9.26) можно получить также из следующих соображений. Мы знаем, что $W$ является производящей функцией преобразования, при котором все новые координаты являются циклическими. Но если координаты $q_{2}, \ldots, q_{n}$ уже являются циклическими, то для них такое преобразование не нужно. Поэтому в отношении этих координат преобразование $W$ может быть В качестве примера рассмотрим задачу о плоском движении точки под действием центральной силы. Гамильтониан такой системы имеет вид
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}}\right)+V(r)
\]

и является циклическим относительно $\varphi$. В соответствии с этим характеристическую функцию Гамильтона можно записать в виде
\[
W=W_{1}(r)+\alpha_{\varphi} \varphi,
\]

где $\alpha_{\uparrow}$ – постоянный кинетический момент $p_{\varphi}$, соответствующий координате $\varphi$. Уравнение Гамильтона – Якоби запишется в данном случае следующим образом:
\[
\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{r^{2}}\right]+V(r)=\alpha_{1},
\]

где $\alpha_{1}$ – постоянная, имеющая простой физический смысл: этополная энергия системы. Разрешая уравнение (9.28) относительно $\frac{\partial W_{1}}{\partial r}$, получаем
\[
\frac{\partial W_{1}}{\partial r}=\sqrt{2 m\left(\alpha_{1}-V\right)-\frac{\alpha_{\phi}^{2}}{r^{2}}},
\]

откуда
\[
W=\int d r \sqrt{2 m\left(\alpha_{1}-V\right)-\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{r^{2}}}+\alpha_{\varphi} \varphi .
\]

При такой характеристической функции равенства (9.22b) принимают вид:
\[
t_{1}+\beta_{1}=\frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}=\int \frac{m d r}{\sqrt{2 m\left(\alpha_{1}-V\right)-\frac{\boldsymbol{\alpha}_{\varphi}^{2}}{r^{2}}}}
\]

и
\[
\beta_{2}=\frac{\partial W}{\partial \alpha_{\varphi}}=-\int \frac{\alpha_{\varphi} d r}{r^{2} \sqrt{2 m\left(\alpha_{1}-V\right)-\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{r^{2}}}}+\varphi .
\]

тождественным. Обращаясь теперь к равенству (9.26), мы видим, что так как $\alpha_{i}$ являются новыми импульсами, то сумма $\sum_{i=2}^{n} \alpha_{i} q_{i}$ может быть записана в виде
\[
\sum_{i=2}^{n} P_{i} q_{i},
\]

что для координат $q_{2}, \ldots, q_{n}$ представляет производящую функцию тожде ственного преобразования [см. равенство (8.19)],

Первое из них определяет $r$ как функцию $t$ и совпадает с равенством (3.18), в котором $\alpha_{1}$ и $\alpha_{\varphi}$ выражены через $E$ и $l$.

Ранее отмечалось, что ( $n-1$ ) последних уравнений (9.22b) [в данном случае одно уравнение (9.29b)] определяют уравнение траектории. Полагая в (9.29b) $u=\frac{1}{r}$, будем иметь
\[
\varphi=\beta_{2}-\int \frac{d u}{\sqrt{\frac{2 m}{\alpha_{\varphi}^{2}}\left(\alpha_{1}-V\right)-u^{2}}},
\]

что при отождествлении $\beta_{2}$ и $\varphi_{0}$ совпадает с равенством (3.37), полученным ранее для орбиты точки.

На этом простом примере можно ясно видеть мощность и изящество метода Гамильтона – Якоби, позволившего нам быстро получить уравнение орбиты и зависимость $r$ от $t$, что раньше требовало больших выкладок. Разделение переменных в уравнении Гамильтона – Якоби не ограничивается, конечно, тем случаем, когда лишь одна координата является нециклической. Если, например, гамильтониан рассмотренной сейчас точки написать в сферических координатах, то из трех координат циклической будет лишь одна – угол $\varphi$. Однако уравнение Гамильтона – Якоби будет и в этом случае допускать разделение переменных (см. §9.7).