На основании сказанного до сих пор может сложиться впечатление, что все задачи механики сводятся к решению дифференциальных уравнений
\[
m_{i} \ddot{\boldsymbol{r}}_{i}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i l}+\boldsymbol{F}_{i}^{(e)},
\]

т. е. к подстановке в эти уравнения известных сил, действующих на материальные частицы системы, и выполнению определенных математических .операций, дающих решение задачи. Однако даже с чисто теоретической точки зрения такое представление является чрезмерно упрощенным. Дело в том, что может оказаться необходимым учесть связи, ограничивающие движение системы. Один вид такой системы нам уже встретился – это было твердое тело. Связи, накладываемые на его движение, состоят в том, что расстояния $r_{i j}$ между его точками должны оставаться неизменными. Легко привести и другие примеры систем со связями: так, например, «косточка» на конторских счетах ограничена в своем движении проволокой, на которую она надета, и поэтому имеет одну степень свободы (если рассматривать только поступательное движение).

Связи можно классифицировать по различным признакам. Мы будем придерживаться следующей классификации. Если ограничения, накладываемые связями, могут быть выражены в виде равенств, связывающих координаты частиц (и время), т. е. выражены в виде равенств
\[
f\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}, \ldots, t\right)=0,
\]

то мы будем называть эти связи голономными. Простейшим примером голономных связей могут служить связи в твердом теле, которые выражаются уравнениями вида
\[
\left(\boldsymbol{r}_{i}-\boldsymbol{r}_{j}\right)^{2}-c_{i j}^{2}=0 .
\]

Другим очевидным примером голономной связи может служить точка, имеющая возможность перемещаться лишь вдоль заданной кривой.

Связи, не выражаемые указанным образом, мы будем называть неголономными. Примером неголономной связи могут служить стенки сосуда с газом. Связь в примере с частицей, лежащей на поверхности шара, также является неголономной, так как она может быть выражена посредством неравенства
\[
r^{2}-a^{2} \geqslant 0
\]
(a-радиус сферы), которое отлично от соотношений вида (1.35). Если эта частица находится в поле силы тяжести, то, будучи положенной на вершину шара, она станет скользить по его поверхности лишь на части своего пути, а затем покинет ее.

Кроме того, мы будем различать связи по тому, зависят они явным образом от времени или нет. В первом случае мы будем называть их реономными, а во втором – склерономными. Примером реономной связи может служить бусинка, скользящая по движущейся проволоке.

Связи вносят в решение механических задач две трудности. Первая из них состоит в том, что не все координаты $\boldsymbol{r}_{i}$ являются независимыми, так как они связаны определенными соотношениями; следовательно, не все уравнения (1.18) будут независимыми. Вторая трудность заключается в том, что силы, развиваемые связями, например сила, с которой проволока действует на бусинку или стенки сосуда действуют на молекулу газа, априори не заданы. Они являются неизвестными величинами данной задачи и подлежат определению. В сущности, наложить на систему связи – это означает просто указать, что имеются силы, которые непосредственно не известны, но которые определенным образом влияют на движение системы.

В случае голономных связей трудность первого рода разрешается введением обобщенных координат. До сих пор мы встречались только с декартовыми координатами, и система, состоящая из $N$ материальных точек, будучи свободной от связей, имела $3 N$ независимых координат, или, другими словами, $3 N$ степеней свободы. Если на эту систему наложены голономные связи, выражаемые $k$ уравнениями вида (1.35), то мы можем с их помощью исключить $k$ координат из общего числа $3 N$ и получить, таким образом, лишь $3 N-k$ независимых координат. В этом случае про систему говорят, что она имеет $3 N-k$ степеней свободы. Исключение зависимых координат может быть произведено и другим путем. Он состоит в том, что вводят $3 N-k$ независимых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{3 N-k}$, которые позволяют выразить координаты $\boldsymbol{r}_{1}, \boldsymbol{r}_{2}, \ldots, \boldsymbol{r}_{N}$ через эти переменные. В этом случае мы будем иметь соотношения вида:
\[
\left.\begin{array}{c}
\boldsymbol{r}_{1}=\boldsymbol{r}_{1}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{3 N-k}, t\right), \\
\because \because \\
\cdots \\
\boldsymbol{r}_{N}=\boldsymbol{r}_{N}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{3 N-k}, t\right),
\end{array}\right\}
\]

выражающие $r_{l}$ через $q_{l}$. Уравнения связей в них явно не содержатся. Уравнения (1.36) являются уравнениями преобразования переменных $r_{l}$ к переменным $q_{l}$. Их можно также рассматривать как параметрическое представление переменных $\left(\boldsymbol{r}_{l}\right)$. В отличие от декартовых координат обобщенные координаты не разделяются на три группы, позволяющие образовать соответствующие векторы.

В случае, когда движение точки ограничено поверхностью сферы, обобщенными координатами будут два угла, определяющих положение точки на сфере, например широта и долгота. В примере с плоским двойным маятником, изображенным на рис. 5 , обобщенными координатами будут углы $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$. Обобщенные координаты (отличные от декартовых) часто оказываются полезными и в системах без связей. Так, например, в задаче о точке, движущейся в поле центральной силы $[V=V(r)]$, связи отсутствуют, но ясно, что здесь удобнее воспользоваться сферическими полярными координатами, нежели декартовыми.

На обобщенные координаты не следует смотреть как на ортогональные координаты, определяющие положение точек системы. В качестве обобщенных координат могут быть взяты любые величины, определяющие положение рассматриваемой системы. Так, например, в качестве таких координат можно взять амплитуды в разложении $\boldsymbol{r}_{j}$ в ряд Фурье. В ряде случаев может оказаться удобным использовать в качестве обобщенных координат величины, имеющие размерность энергии или кинетического момента.
Если связь неголономная, то выражающие ее уравнения не могут быть использованы для исключения зависимых координат. Примером, который часто в этом случае приводится, может служить тело, катящееся по шероховатой поверхности. Координаты, определяющие положеРис. 5. Двоиной ние этой системы, можно разбить на две группы: на группу угловых координат, определяющих ориентацию данного тела, и на группу координат, определяющих его положение на поверхности. Но если качение происходит без скольжения, то эти две группы координат оказываются зависимыми, так как изменение в ориентации тела неизбежно приводит к изменению его положения на поверхности. Однако уменьшить число координат этой системы мы не можем, так как условие «качения» не выражается в виде уравнения типа (1.35), связывающего координаты. Скорее оно является условием, ограничивающим скорости (скорость точки касания равна нулю). Таким образом, это условие является дифференциальным, и проинтегрировать его раньше, чем задача будет решена, невозможно.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример. Пусть диск катится без скольжения по горизонтальной плоскости $x y$, причем связь такова, что плоскость диска во все время движения остается вертикальной. (Таким диском может быть одно из двух колес, посаженных на общую горизонтальную ось.) Координатами, определяющими эту систему, могут служить координаты центра диска $x, y$, угол $\varphi$ поворота диска вокруг своей оси и угол $\theta$ между осью диска и, скажем, осью $x$ (рис. 6). В силу связи «качения» скорость центра диска будет пропорциональна производной $\dot{\varphi}$ :
\[
v=a \dot{\varphi},
\]

где $a$-радиус диска. Направление этой скорости будет перпендикулярным к оси диска. Далее имеем:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=v \sin \theta, \\
\dot{y}=-v \cos \theta .
\end{array}
\]

Отсюда, учитывая предыдущее равенство, получаем два $\partial и \phi$ ференциальных уравнения связи:
\[
\left.\begin{array}{l}
d x-a \sin \theta d \varphi=0 \\
d y+a \cos \theta d \varphi=0 .
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения, очевидно, не могут быть проинтегрированы, пока вся задача не решена полностью. Такие неинтегрируемые связи являются частными случаями неголономных связей (как мы уже видели, ограничения, накладываемые неголономными связями, могут иметь вид неравенств).

Задача о движении системы с голономными связями формально всегда может быть решена, что частично объясняется возможностью исключения зависимых координат. Однако для задач с неголономными связями общего метода решения не существует. Правда, дифференциальные уравнения неголономных связей можно рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения и тогда можно исключить зависимые величины с помощью метода множителей Лагранжа, который мы рассмотрим позже. Однако в более специальных случаях неголономных связей требуется индивидуальный подход к каждой задаче. При формальном изложении классической механики почти всегда предполагается, что любая имеющаяся связь является голономной. Это ограничение несколько сужает применимость общей теории, несмотря на то, что в повседневной практике нередко встречаются неголономные связи. Причина этого состоит в том, что связи, наложенные на систему, обычно реализуются посредством различных поверхностей, стенок или стержней и играют заметную роль лишь в макроскопических задачах. Но современных физиков интересуют главным образом микроскопические системы, в которых все объекты (как внутри системы, так и вне ее) состоят из молекул, атомов и еще более мелких частиц, порождающих определенные силы. Понятие связи становится в таких случаях искусственным и встречается редко. Связи используются здесь лишь как математические идеализации, полезные при описании
действительной физической картины, или же как классические, приближения при изучении квантовомеханических процессов (например, «спин» и представление о вращении твердого тела). Такие связи всегда являются голономными и хорошо укладываются в рамки рассматриваемой теории.

Трудность второго рода, как уже указывалось, состоит в том, что реакции связи априори не известны. Чтобы преодолеть эту трудность, мы должны так поставить задачу, чтобы реакции связей в ней не фигурировали. Тогда нам придется иметь дело лишь с силами, которые известны. Указание на то, как это сделать, можно получить, если обратиться к частной системе со связями, а именно к твердому телу. Реакциями связей здесь служат внутренние силы, и мы знаем, что работа этих сил равна нулю. Этот факт и послужит нам основой для обобщений, которые мы в дальнейшем сделаем.