Мы ограничимся случаем строго центральной силы, когда потенциал $V$ является функцией только $r$, и поэтому сила взаимодействия направлена вдоль $r$. Из предыдущего следует, что нам нужно решить задачу о движении точки массы $m$ огносительно неподвижного центра силы, который мы будем считать совпадающим с началом координат. Так как потенциальная энергия зависит в нашем случае только от расстояния $r$, то мы имеем дело со случаем сферической симметрии, при которой допустим произвольный поворот около любой оси. Поэтому любая угловая координата, характеризующая вращение около неподвижной оси, должна быть циклической. Симметрия рассматриваемой системы значительно упрощает ее исследование. Прежде всего, из сферической симметрии вытекает, что вектор кинетического момента
$$\mathit{L}=\mathit{r}\times \mathit{p}$$

будет в нашем случае постоянным. Отсюда следует, что радиусвектор $\mathit{r}$ будет все время перпендикулярным к фиксированному направлению вектора $\mathit{L}$, что возможно только тогда, когда вектор $\mathit{r}$ все время лежит в неподвижной плоскости, перпендикулярной к $\mathit{L}$. Следует, однако, заметить, что это утверждение теряет смысл, если $\mathit{L}$ равно нулю. Но ясно, что в этом случае мы будем иметь дело с движением вдоль прямой, проходящей через центр силы. Действительно, из условия $\mathit{L}=0$ следует, что вектор $\mathit{r}$ параллелен $\dot{r}$, а это возможно только в случае прямолинейного движения *). Таким образом, движение под действием центральной силы всегда является плоским.

Движение точки описывается тремя координатами; в сферических полярных координатах ими являются полярный радиус $r$, азимутальный угол $\theta$ и угол $\psi$ между полярным радиусом и осью $z$. Если направить ось $z$ вдоль вектора $\mathit{L}$, то движение будет происходить в плоскости, перпендикулярной к этой оси; при этом координата $\psi$ будет иметь постоянное значение $\pi /2$ и может быть исключена из последующего рассмотрения. Постоянство вектора кинетического момента дает три независимые константы движения (соответствующие трем составляющим этого вектора). Две из них характеризуют постоянное направление вектора кинетического момента и уже были использованы нами при сведении задачи с тремя степенями свободы к задаче с двумя степенями свободы. Третья константа, равная $|\mathit{L}|$, пока еще нами не учтена и появится позже.

Лагранжиан рассматриваемой системы, выраженный теперь в плоских полярных координатах, имеет вид
$$L=T-V=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)-V(r).$$
*) Формально это следует из равенства
$$\dot{r}=\dot{r}{\mathit{n}}_r+r\dot{\theta }{n}_{\theta },$$

которое показывает, что если $\mathit{r}\times \dot{r}=0$, то $\dot{\theta }=0$.

$7\overrightarrow{5}$
Қак и следовало ожидать, координата $\theta$ является циклической, и соответствующий ей обобщенный импульс представляет собой кинетический момент сйстемы, равный
$$p_{\theta }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=m{r}^2\dot{\theta }.$$

Поэтому одно из двух уравнений движения запишется в виде
$$\dot{p_{\theta }}=\frac{d}{dt}\left(m{r}^2\dot{\theta }\right)=0.$$

Отсюда непосредственно получается первый интеграл
$$m{r}^2\dot{\theta }=l,$$

где $l$-константа, равная величине кинетического момента. Из уравнения (3.7) следует также, что
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }\right)=0.$$

Коэффициент $1/2$ мы ввели сюда потому, что величина $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$ представляет собой секториальную скорость точки, т. е. площадь, описываемую ее радиусом-вектором в единицу времени. Такая интерпретация величины $\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }$ становится ясной из рис. 20 , из которого видно, что дифференциал площади, описываемой радиусом-вектором точки за время $dt$, равен

откуда
$$dA=\frac{1}{2}r(rd\theta )$$
$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}{r}^2\frac{d\theta }{dt}.$$

Следовательно, постоянство кинетического момента эквивалентно постоянству секториальной скорости. Таким
Рис. 20. Площадь, описываемая радиусом-вектором за время $dt$. образом, мы доказали хорошо известный второй закон Кеплера: радиус-вектор планеты описывает равные площади за равные промежутки времени. Следует, однако, подчеркнуть, что постоянство секториальной скорости имеет место при действии любой центральной силы, а не только силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Второе уравнение Лагранжа относится к координате $r$ и имеет вид
$$\frac{d}{dt}(m\dot{r})-mr{\dot{\theta }}^2+\frac{\partial V}{\partial r}=0.$$

Обозначая радиальную составляющую $-\frac{\partial V}{\partial r}$ через $f(r)$, мы можем уравнение (3.10) переписать в виде
$$m\ddot{r}-mr{\dot{\theta }}^2=f(r).$$

Используя первый интеграл (3.8) и исключая из уравнения (3.11) $\dot{\theta }$, мы получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно $r$
$$m\ddot{r}-\frac{l^2}{m{r}^3}=f(r).$$

Существует еще один первый интеграл, а именно интеграл энергии (так как система консервативна). На основании общей теоремы о сохранении энергии мы можем непосредственно установить, что постоянной движения является величина
$$E=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)+V(r),$$

где $E$ — полная энергия системы. Этот первый интеграл может быть получен и другим путем — непосредственно из уравнений движения (3.7) и (3.12). Запишем для этого уравнение (3.12) в виде
$$m\ddot{r}=-\frac{\partial }{\partial r}(V+\frac{1}{2}\frac{l^2}{m{r}^2}).$$

Умножая это равенство на $\dot{r}$, мы в левой его части получаем:
$$m\ddot{r}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2\right).$$

Правую часть этого равенства тоже можно представить в виде полной производной по времени, так как если $g(r)$ есть некоторая функция $r$, то $\frac{dg(r)}{dt}$ равно
$$\frac{d}{dt}g(r)=\frac{\partial g}{\partial r}\frac{dr}{dt}$$

Следовательно, уравнение (3.14) можно записать в виде

или
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2\right)=-\frac{d}{dt}(V+\frac{1}{2}\frac{l^2}{m{r}^2}),$$
$$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}\frac{l^2}{m{r}^2}+V)=0.$$

Отсюда получаем
$$\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}\frac{l^2}{m{r}^2}+V=\text{ const. }$$

Равенство (3.15) выражает постоянство полной энергии системы, так как средний член этого равенства можно с помощью уравнения (3:8) переписать в виде
$$\frac{1}{2}\frac{l^2}{m{r}^2}=\frac{1}{2m{r}^2}{m}^2{r}^4{\dot{\theta }}^2=\frac{m{r}^2{\dot{\theta }}^2}{2},$$

после чего уравнение (3.15) переходит в уравнение (3.13).
Рассмотренные первые интегралы представляют две квадратуры, необходимые для решения задачи. Так как у нас имеются две переменные $r$ и $\theta$, то для решения уравнений движения нам нужны в общей сложности четыре интеграции. В результате двух из них мы вместо уравнений Лагранжа получили два уравнения первого порядка: (3.8) и (3.15). Две другие интеграции могут быть произведены (формально) разными путями. Наиболее простая процедура, по-видимому, состоит в интегрировании уравнения (3.15). Решая его относительно $\dot{r}$, находим
$$\dot{r}=\sqrt{\frac{2}{m}(E-V-\frac{l^2}{2m{r}^2})},$$

или
$$dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V-\frac{l^2}{2m{r}^2})}}.$$

Пусть при $t=0$ полярный радиус $r$ имеет значение $r_0$. Тогда правую часть этого равенства нужно интегрировать от $r_0$ до $r$ :
$$t={\int }_r^r\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V-\frac{l^2}{2m{r}^2})}}.$$

Таким образом, мы получили уравнение, дающее $t$ как функцию $r$ и констант интегрирования $E,l$ и $r_0$. Разрешив это уравнение относительно $r$, мы сможем получить $r$ как функцию $t$ и тех же констант. После того как зависимость $r$ от $t$ найдена, можно непосредственно получить функцию $\theta =\theta (t)$ из уравнения (3.8), которое можно записать в виде
$$d\theta =\frac{ldt}{m{r}^2}.$$

Интегрируя это уравнение, находим
$$\theta =l{\int }_0^t\frac{dt}{m{r}^2(t)}+{\theta }_0,$$

где ${\theta }_0$ — начальное значение $\theta$. Уравнения (3.18) и (3.20) представляют результат двух интеграций, которые нам оставалось проделать. Таким образом, наша задача сведена формально к квадратурам. Полученные формулы содержат четыре постоянные интегрирования: $E,l,r_0,{\theta }_0$. Однако — это не единственные постоянные, которые можно использовать для характеристики данного движения. Мы могли бы с тем же основанием взять в качестве таких постоянных $r_0,{\theta }_0,{\dot{r}}_0,{\dot{\theta }}_0$, так как величины $E$ и. $l$ можно, конечно, выразить через них. Однако система постоянных, содержащая энергию и кинетический момент, является во многих приложениях наиболее естественной. В квантовой механике, например, теряют силу такие постоянные, как начальные значения величин $r$ и $\theta$ или $\dot{r}$ и $\dot{\theta }$, однако там можно еще говорить об энергии системы или об ее кинетическом моменте. Одно из существенных различий между классической и квантовой механикой состоит в закономерностях для величин $E$ и $l$ в этих теориях. Поэтому при переходе к квантовой теории важно, чтобы классическое описание системы давалось через ее энергию и кинетический момент.