В качестве следующего, более сложного примера мы рассмотрим движение тяжелого симметричного тела, имеющего неподвижную точку на оси симметрии. $К$ задаче о тяжелом симметричном волчке приводит исследование ряда физических систем, начиная от простого детского волчка и кончая сложными гироскопическими навигационными приборами. Поэтому как в отношении практических применений, так и для иллюстрации развитых нами методов движение тяжелого симметричного волчка заслуживает подробного рассмотрения.
Ось симметрии является, конечно, одной из главных осей волчка; мы ее примем за ось $z$ системы, связанной с движущимся телом. Так как одна точка волчка является неподвижной, то его положение вполне определяется тремя углами Эйлера: угол $\theta$ определяет отклонение оси $z$ от вертикали, угол $\varphi$ определяет азимут волчка, а угол $\psi$ характеризует поворот волчка вокруг его собственной оси (рис. 56). Расстояние от центра тяжести волчка, расположенного на его оси симметрии, до неподвижной точРис. 56. Углы Эйлера для симки мы обозначим через $l$.
Для решения задачи о движении волчка мы используем не уравнения

Эйлера, а уравнения Лагранжа. Так как рассматриваемое тело является симметричным, то его кинетическая энергия может быть записана в виде
\[
T=\frac{1}{2} I_{1}\left(\omega_{x}^{2}+\omega_{y}^{2}\right)+\frac{1}{2} I_{3} \omega_{z}^{2},
\]

или, с учетом (4.103), в виде
\[
T=\frac{I_{1}}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+\frac{I_{3}}{2}(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta)^{2} .
\]

Полученная формула выражает $T$ через углы Эйлера. Потенциальная энергия волчка равна, очевидно,
\[
V=M g l \cos \theta,
\]

и поэтому лагранжиан его имеет вид
\[
L=\frac{I_{1}}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+\frac{I_{3}}{2}(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta)^{2}-M g l \cos \theta .
\]

Заметим, что углы $\varphi$ и $\psi$ не входят явным образом в лагранжиан. Следовательно, они являются циклическими координатами, указывающими на неизменность соответствующих обобщенных импульсов. Но мы знаем, что обобщенный импульс, соответствующий какому-либо углу поворота, представляет собой составляющую полного кинетического момента относительно соответствующей оси вращения, какой для угла $\varphi$ является вертикальная ось, а для угла $\psi$-ось $z$, связанная с телом. Поэтому составляющие кинетического момента относительно этих осей должны оставаться постоянными. В сущности то, что эти составляющие кинетического момента должны быть постоянными, можно показать, исходя из элементарных принципов. Действительно, момент силы тяжести симметричного волчка направлен вдоль линии узлов. Следовательно, кинетические моменты волчка относительно вертикали и относительно его собственной оси должны быть равны нулю, так как согласно определению этих осей они перпендикулярны к линии узлов.

Поэтому мы можем сразу написать два первых интеграла движения:
\[
p_{\psi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=I_{3}(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta)=I_{3} \omega_{z}=I_{1} a
\]

и
\[
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=\left(I_{1} \sin ^{2} \theta+I_{3} \cos ^{2} \theta\right) \dot{\varphi}+I_{3} \dot{\psi} \cos \theta=I_{1} b .
\]
(Константы, которые нужно было написать в правых частях этих равенств, мы записали в виде $I_{1} a$ и $I_{1} b$, где $a$ и $b$ – некоторые постоянные.) Так как рассматриваемая система консервативна, то можно написать еще один первый интеграл, имеющий вид
\[
E=T+V=\frac{I_{1}}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+\frac{I_{3}}{2} \omega_{z}^{2}+M g l \cos \theta,
\]

где $E$ – постоянная, равная полной энергии этой системы.
Для того чтобы решить задачу, нам теперь потребуются только три квадратуры, которые легко получить из этих трех первых интегралов без непосредственного применения уравнений Лагранжа. Выражая согласно уравнению (5.46) $\dot{\psi}$ через $\dot{\varphi}$, получаем
\[
I_{3} \dot{\psi}=I_{1} a-I_{3} \dot{\varphi} \cos \theta .
\]

Подставляя теперь это выражение в (5.47) и исключая таким способом $\dot{\psi}$, находим:
\[
I_{1} \dot{\varphi} \sin ^{2} \theta+I_{1} a \cos \theta=I_{1} b,
\]

или
\[
\dot{\varphi}=\frac{b-a \cos \theta}{\sin ^{2} \theta} \text {. }
\]

Таким образом, если мы будем знать $\theta$ как функцию времени, то, интегрируя уравнение (5.50), сумеем найти зависимость $\varphi$ от $t$. Подставив теперь (5.50) в (5.49), мы получим следующую зависимость $\dot{\psi}$ от $\theta$ :
\[
\dot{\psi}=\frac{I_{1} a}{I_{3}}-\cos \theta \frac{b-a \cos \theta}{\sin ^{2} \theta} .
\]

Это уравнение позволяет найти $\psi(t)$, если известно $\theta(t)$. Наконец, с помощью уравнений (5.50) и (5.51) можно исключить $\dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$ из уравнения энергии и получить таким путем уравнение, содержащее только $\theta$. Заметим, что согласно равенству (5.46) $\omega_{z}=$ const $=\frac{I_{1}}{I_{3}} a$. Поэтому $E-\frac{1}{2} I_{3} \omega_{z}^{2}$ является постоянной движения; мы обозначим ее через $E^{\prime}$. Тогда уравнение энергии можно будет записать в виде
\[
E^{\prime}=\frac{I_{1}}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \theta\right)+M g l \cos \theta .
\]

После подстановки сюда равенства (5.50) и некоторых преобразований это уравнение примет вид
\[
\sin ^{2} \theta \dot{\theta}^{2}=\sin ^{2} \theta(\alpha-\beta \cos \theta)-(b-a \cos \theta)^{2},
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные, равные:
\[
\alpha=\frac{2 E^{\prime}}{I_{1}}, \beta=\frac{2 M g l}{I_{1}} .
\]

Вводя теперь в (5.53) переменную $u=\cos \theta$, получаем
\[
\dot{u}^{2}=\left(1-u^{2}\right)(\alpha-\beta u)-(b-a u)^{2}
\]

и приходим к квадратуре
\[
t=\int_{u(0)}^{u(t)} \frac{d u}{\sqrt{\left(1-u^{2}\right)(\alpha-\beta u)-(b-\alpha u)^{2}}}
\]

С помощью этого равенства и уравнений (5.50) и (5.51) функции $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ также можно получить посредством квадратур. Однако полином, стоящий под корнем интеграла (5.56), является кубическим, и, следовательно, этот интеграл может быть выражен только через эллиптические функции. Подробное исследование получающихся таким путем решений можно найти в ряде книг*), однако, как и в случае свободного движения твердого тела, здесь физическая сторона явления часто в значительной степени затемняется вследствие большого количества
*) См., например, книги Ф. Клейна и А. Зоммерфельда, Уиттекера или весьма подробную книгу: Ma cmilla n, Dynamics of Rigid Bodies. Имеется русский перевод: Мак-Миллан В. Д., Динамика твердого тела, ИЛ, 1951.

математики. К счастью, общий характер изучаемого движения можно исследовать, не прибегая к интегрированию.

Обозначим правую часть уравнения (5.55) через $f(u)$. Корни этого кубического полинома определяют углы, при которых $\dot{\theta}$ изменяет свой знак. При больших значениях $|u|$ доминирующим членом полинома $f(u)$ является член $\beta u^{3}$. Но так как $\beta$ всегда больше нуля [см. уравнение (5.54)], то при больших положительных $u$ функция $f(u)$ будет положительной, а при больших отрицательных $u$-отрицательной. В точках $u= \pm 1$ функция $f(u)$ равна $-(b \mp a)^{2}$ и, следовательно, всегда отрицательна, за исключением особого случая, когда значение $u= \pm 1$ является корнем полинома $f(u)$ (т. е. когда волчок находится в вертикальном положении). Следовательно, по крайней мере один корень этого полинома должен лежать в области $u>1$, т. е. в области, которой не соответствуют вещественные углы. Но так как величина $\dot{u}^{2}$ положительна и, кроме того, $-1 \leqslant u \leqslant 1$, т. е. $-\pi \leqslant \theta \leqslant \pi$, то мы должны заключить, что для любого «вещественного» Рис. 57. Расположение корней функции $f(u)$ для тяжелого симметричного волчка. волчка функция $f(u)$ имеет два корня $u_{1}$ и $u_{2}$, лежащих между -1 и +1 (рис. 57). Следовательно, волчок будет двигаться так, что значение $\cos \theta$ будет все время заключено между $u_{1}$ и $u_{2}$. Положение этих корней на оси $u$ и характер функций $\dot{\varphi}(\cos \theta)$ и $\dot{\psi}(\cos \theta)$ для значений $\theta$, заключенных между $u_{1}$ и $u_{2}$, дают нам много качественных сведений о движении волчка *).

Обычно движение волчка изображают посредством кривой, которую описывает так называемый апекс, под которым понимают конец единичного вектора, отложенного от начала координат в положительном направлении подвижной оси $z$. Траектория апекса является сферической кривой, и полярные координаты ее точек совпадают с углами Эйлера $\theta$ и $\varphi$. Из предыдущего параграфа видно, что траектория апекса лежит между окружностями $\theta_{1}=\arccos u_{1}$ и $\theta_{2}=\arccos u_{2}$, причем $\dot{\theta}$ обра-
*) Существует очевидное сходство между этим методом рассмотрения движения волчка и методом «эквивалентного потенциала», применявшимся в главе 3 для центральных сил. Действительно, модифицированное уравнение энергии (5.52) можно рассматривать как уравнение одномерного движения точки, масса которой равна $I_{1}$, а потенциальная энергия равна
\[
M g l \cos \theta+\frac{I_{2}}{2} \frac{(b-a \cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta} .
\]

щается на этих окружностях в нуль. Форма кривой, описываемой апексом, в большой степени определяется корнем двучлена $b-a u$; обозначив этот корень через $u^{\prime}$, будем иметь
\[
u^{\prime}=\frac{b}{a} \text {. }
\]

Пусть, например, начальные условия таковы, что $u^{\prime}$ больше, чем $u_{2}$. Тогда согласно (5.50) производная $\dot{\varphi}$ будет при всех $\theta$, лежащих между крайними значениями $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$, иметь один и тот же знак. Следовательно, траектория апекса будет в этом случае касаться граничных окружностей таким образом, что $\dot{\varphi}$ будет одинаково направлено как при $\theta_{1}$, так и при $\theta_{2}$ (рис. 58,a).
Рис. 58. Возможные формы кривых, опнсываемых апексом на сфере единичного радиуса.
Угол $\varphi$ изменяется в этом случае монотонно, и поэтому можно сказать, что ось волчка прецессирует около вертикальной оси. Однако это движение не является регулярной прецессией, встречавшейся нам в случае свободного движения твердого тела, так как в данном случае ось волчка не только вращается вокруг вертикали, но и колеблется вверх и вниз между граничными углами $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$. Таким образом, рассматриваемый волчок нутирует во время прецессии.

Если же $u^{\prime}$ будет лежать между $u_{1}$ и $u_{2}$, то направления прецессии на граничных окружностях будут различными, и траектория апекса будет иметь петлеобразный вид, как показано на рис. $58, b$. Среднее значение $\dot{\varphi}$, однако, не будет при этом равно нулю и, следовательно, будет иметься прецессия в том или ином направлении.

Может также случиться, что $u^{\prime}$ будет совпадать с одним из корней функции $f(u)$. Тогда на соответствующих граничных окружностях обратятся в нуль и $\dot{\theta}$ и $\dot{\varphi}$, что приведет к появлению точек заострения в этих местах траектории апекса, как показано на рис. $58, c$. Следует заметить, что этот случай не является исключительным, как это может показаться на первый взгляд, так как он соответствует тем естественным начальным условиям, которые обычно рассматриваются в элементарной теорин волчка. Они состоят в следующем: симметричный волчок получает начальную угловую скорость вокруг собственной неподвижной оси, которая затем освобождается, и волчок начинает свое движение. Эти начальные условия имеют вид: $[\theta]_{t=0}=$ $=\theta_{0},[\dot{\theta}]_{t=0}=[\dot{\varphi}]_{t=0}=0$, и отсюда следует, что $\cos \theta_{0}$ должен быть одним из корней функции $f(u)$. Покажем теперь, что он соответствует верхней граничной окружности. Для этого заметим, что в рассматриваемом случае величина $E^{\prime}$ будет в начальный момент равна $M g l \cos \theta_{0}$, причем члены формулы (5.52), содержащие $\dot{\theta}$ и $\dot{\varphi}$, всегда положительны. Следовательно, когда $\dot{\theta}$ и $\dot{\varphi}$ начинают изменяться от нуля, то энергия $E^{\prime}$ может остаться неизменной только в случае уменьшения потециальной энергии, т. е. в случае увеличения угла $\theta$. Поэтому $\theta_{0}$ будет равно $\theta_{2}$, т. е. будет равно минимальному значению угла $\theta$. Отсюда видно, что рассматриваемый волчок в начале своего движения всегда опускается и продолжает опускаться до тех пор, пока не будет достигнут другой граничный угол – угол $\theta_{1}$; при этом волчок все время прецессирует. Когда ось волчка достигает угла $\theta_{1}$, она опять начинает подниматься, и $\theta$ вновь становится равным $\theta_{2}$ и т.д. (см. рис. 58,c). При указанных начальных условиях $\left(\dot{\theta}_{0}=\dot{\varphi}_{0}=0\right)$ и при достаточно быстром вращении волчка его движение можно исследовать элементарными методами и в количественном отношении. Это удается сделать только в том случае, когда начальная кинетическая энергия волчка велика по сравнению с возможным изменением его потенциальной энергии, т.е. когда выполняется неравенство
\[
\frac{1}{2} I_{3} \omega_{z}^{2} \gg 2 M g l .
\]

Эффекты, вызванные моментом силы тяжести, т.е. прецессия и нутация, будут тогда играть роль малых возмущений, накладываемых на вращение волчка вокруг своей оси. В этом случае (в случае «быстрого волчка») можно вычислить величину и период нутации, а также среднюю угловую скорость прецессии.

Так как согласно заданным начальным условиям $\theta_{2}$ равно $\theta_{0}$, то можно написать $u_{2}=u_{0}$. Поэтому амплитуда нутации будет зависеть от значения другого вещественного корня функции $f(u)$. Заметим, что так как при $u=u_{0}$ скорость $\dot{\varphi}$ обращается в нуль, то
\[
b=a u_{0} .
\]

Кроме того, так как $f\left(u_{0}\right)=0$, то из (5.55) заключаем, что
\[
\alpha=\beta u_{0} \text {. }
\]

(Это равенство выражает тот факт, что $E^{\prime}=M g l \cos \theta_{0}$.) С помощью этих соотношений функция $f(u)$ может быть записана в виде
\[
f(u)=\left(u_{0}-u\right)\left\{\beta\left(1-u^{2}\right)-a^{2}\left(u_{0}-u\right)\right\} .
\]

Отсюда следует, что корнями функции $f(u)$, отличными от $u_{0}$, являются корни квадратного полинома, стоящего в фигурных скобках. Таким образом, искомый корень $u_{1}$ удовлетворяет уравнению
\[
\left(1-u_{1}^{2}\right)-\frac{a^{2}}{\beta}\left(u_{0}-u_{1}\right)=0 .
\]

Разность $u_{0}-u$ мы будем обозначать через $x$, а разность $u_{0}-u_{1}$ через $x_{1}$. Поэтому уравнение (5.60) можно записать в виде
\[
x_{1}^{2}+p x_{1}-q=0,
\]

где
\[
p=\frac{a^{2}}{\beta}-2 \cos \theta_{0}, \quad q=\sin ^{2} \theta_{0} .
\]

Но членом $2 \cos \theta_{0}$ в выражении для $p$ можно пренебречь, так как отношение $a^{2} / \beta$ можно записать в виде
\[
\frac{a^{2}}{\beta}=\left(\frac{I_{3}}{I_{1}}\right) \frac{I_{3} \omega_{z}^{2}}{2 M g l},
\]

и поскольку рассматриваемый волчок является «быстрым». [см. неравенство (5.58)], то оно во много раз больше 2 (за исключением случая, когда отношение $I_{3} / I_{1}$ очень мало, что соответствует волчку необычной, сигарообразной формы). По той же причине $p^{2}$ во много раз больше $4 q$, и поэтому первый корень уравнения (5.61) можно считать равным
\[
x_{1}=\frac{q}{p} \text {, }
\]

а второй –
\[
x_{1}=-p-\frac{q}{p} .
\]

Второй из этих корней соответствует значению $u$, большему единицы, и, следовательно, интересующий нас корень равен
\[
x_{1}=\frac{\beta \sin ^{2} \theta_{0}}{a^{2}}=\frac{I_{1}}{I_{3}} \frac{2 M g l}{I_{3} \omega_{z}^{2}} \sin ^{2} \theta_{0} .
\]

Таким образом, амплитуда нутации, которую можно считать пропорциональной $x_{1}=u_{0}-u_{1}$, будет тем меньше, чем меньше $1 / \omega_{2}^{2}$, т.е. чем быстрее вращается волчок.

В случае «быстрого волчка» можно легко найти и угловую частоту нутации. Так как амплитуда ее в этом случае мала, то член ( $1-u^{2}$ ) в уравнении (5.59) можно заменить его начальным значением, равным $\sin ^{2} \theta_{0}$. Тогда уравнение (5.59) примет вид
\[
f(u)=\dot{x}^{2}=x\left(\beta \sin ^{2} \theta_{0}-a^{2} x\right) .
\]

Уравнение (5.63) представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее изменение $x$ со временем. Оно может быть без труда проинтегрировано. При начальном условии $x_{t=0}=0$ решение его имеет. вид
\[
x=\frac{x_{1}}{2}(1-\cos a t),
\]

где $x_{1}$ – величина, определяемая равенством (5.62). Следовательно,.угловая частота нутации равна
\[
a=\frac{I_{3}}{I_{1}} \omega_{z},
\]

и, как показывает эта формула, она будет тем больше, чем больше начальная скорость собственного вращения волчка.

Найдем теперь угловую скорость прецессии. Согласно (5.50) она равна
\[
\dot{\varphi}=\frac{a\left(u_{0}-u\right)}{\sin ^{2} \theta} \approx \frac{a x}{\sin ^{2} \theta_{0}},
\]

или, учитывая (5.64) и (5.62),
\[
\dot{\varphi}=\frac{\beta}{2 a}(1-\cos a t) .
\]

Следовательно, скорость прецессии не постоянна, а изменяется по гармоническому закону с той же угловой частотой, что и нутация. Средняя угловая частота прецессии получается равной
\[
\overline{\dot{\varphi}}=\frac{\beta}{2 a}=\frac{M g l}{I_{3} \omega_{z}} .
\]

Отсюда видно, что скорость прецессии будет тем меньше, чем больше начальная скорость вращения волчка.

Таким образом, мы получили полную картину движения быстрого волчка, ось которого вначале неподвижна. Мы видим, что сразу после того, как ось его освобождается, он начинает опускаться под действием силы тяжести. Но, начиная опускаться, волчок приобретает прецессионную скорость, прямо пропорциональную величине его опускания, что заставляет его ось двигаться не вниз, а вбок. При этом, кроме прецессии, появляется также нутация оси волчка, которая носит периодический характер. С увеличением начальной скорости волчка амплитуда нутации быстро уменьшается, а частота нутации увеличивается. Прецессионное движение волчка вокруг вертикали становится при этом более медленным. Практически нутация достаточно быстрого волчка сильно демпфируется трением в опоре. Поэтому она становится незаметной, и тогда кажется, что волчок равномерно прецессирует вокруг вертикальной оси. Так как такая прецессия является регулярной только приближенно, то она получила название псевдорегулярной прецессии (согласно Клейну и Зоммерфельду). В элементарной теории волчка нутацией в большинстве случаев пренебрегают, что приводит к парадоксальному выводу, будто, получив возможность двигаться, ось волчка сразу начинает равномерно прецессировать, т.е. начинает двигаться в направлении, перпендикулярном к силе тяжести, которая является причиной прецессии. Однако из предыдущих рассуждений ясно, что прецессия возникает не сразу, т. е. ось волчка начинает двигаться из состояния покоя без бесконечно больших ускорений. При этом начальная тенденция волчка состоит в том, чтобы двигаться в направлении силы тяжести.
Интересно определить, какие

Рис. 59. График функции $f(u)$ в случае регулярной прецессин. начальные условия обеспечивают регулярную прецессию. Так как в

этом случае уго.і $\theta$ должен быть постоянным, равным $\theta_{0}$, то это означает, что $\theta_{1}=\theta_{2}=\theta_{0}$, или, другими словами, что функция $f(u)$ должна иметь двукратный корень $u_{0}$ (рис. 59). Мы можем высказать это и иначе, потребовав, чтобы при $\theta=\theta_{0}$ обращалось в нуль не только $\dot{\theta}$, но и $\ddot{\theta} *$ ). Записывая уравнение энергии [уравнение (5.53)] в виде
\[
\dot{\theta}^{2}=(\alpha-\beta \cos \theta)-\frac{(b-a \cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta}
\]

и дифференцируя его по времени, будем иметь
\[
2 \ddot{\theta} \dot{\theta}=\beta \sin \theta \dot{\theta}+2 \cos \theta \frac{(b-a \cos \theta)^{2}}{\sin ^{3} \theta} \dot{\theta}-\frac{2 a(b-a \cos \theta)}{\sin \theta} \dot{\theta} .
\]
*) Требование, чтобы $\ddot{\theta}$ обращалось в нуль, вполне эквивалентно требованию, чтобы $u_{0}=\cos \theta_{0}$ было двукратным корнем функции $f(u)$, ибо последнее можно записать в виде равенства
\[
\frac{d \dot{\theta}^{2}}{d \theta}=0=2 \dot{\theta} \frac{d \dot{\theta}}{d \theta}=2 \ddot{\theta}
\]
(так как $\frac{d \dot{\theta}}{d \theta}=\frac{\ddot{\theta}}{\dot{\theta}}$ ). Полученное здесь выражение для $\ddot{\theta}$ совпадает, конечно, с тем, которое мы получили бы, составляя уравнеңие Лагранжа для координаты $\theta$.

Так как в обе части этого равенства входит множитель $\dot{\theta}$, то условие $\ddot{\theta}=0$ (при $\theta=\theta_{0}$ ) можно с помощью уравнения (5.50) записать в виде
\[
\frac{\beta}{2}=a \dot{\varphi}-\dot{\varphi}^{2} \cos \theta .
\]

Подставляя сюда $\beta$ из (5.54), а $a$ из (5.46), получаем:
\[
M g l=\dot{\varphi}\left[I_{3} \dot{\psi}-\left(I_{1}-I_{3}\right) \dot{\varphi} \cos \theta\right] .
\]

В общем случае начальные условия требуют задания величин $\dot{\theta}$, $\dot{\varphi}, \dot{\psi}, \theta, \varphi$ и $\psi$ при $t=0$. Но так как две из них, $\varphi$ и $\psi$, являются циклическими, то начальные значения их являются для нас несущественными, и дело сводится к заданию четырех остальных величин. Но так как мы требуем, чтобы движение волчка представляло регулярную прецессию, то выбор этих четырех начальных значений не может быть произьольным, ибо они должны удовлетворять равенству (5.70). Выбрав, например, начальные значения $\dot{\theta}$ и, скажем, $\theta$ и $\dot{\psi}$ почти произвольно, мы найдем соответствующее значение $\dot{\varphi}$. Мы говорим «почти произвольно», потому что уравнение (5.70) является квадратным, и для того, чтобы $\dot{\varphi}$ было вещественным, дискриминант уравнения должен быть положительным. Следовательно, должно выполняться неравенство
\[
I_{3} \dot{\psi}^{2}-4 M g l\left(I_{1}-I_{3}\right) \cos \theta \geqslant 0,
\]

ограничивающее область допустимых начальных значений $\theta$ и $\dot{\psi}$. Вследствие того, что уравнение (5.70) является квадратным, оно определяет в общем случае два значения $\dot{\varphi}$, соответствующих «быстрой» и «медленной» прецессии. Следует также заметить, что ни при каком конечном $\dot{\psi}$ уравнение (5.70) не удовлетворяется значением $\dot{\varphi}=0$. Следовательно, получить равномерную прецессию можно, лишь сообщив волчку начальный толчок. Без этой правильно выбранной начальной скорости прецессии можно в лучшем случае получить лишь псевдорегулярную прецессию.

Если прецессия медленная, так что величиной $\dot{\varphi} \cos \theta$ можно пренебречь по сравнению с $a$, то $\dot{\varphi}$ будет приближенно равно
\[
\dot{\varphi}=\frac{\beta}{2 a} \text {, }
\]

что совпадает со средней скоростью псевдорегулярной прецессии быстрого волчка. Этот результат следовало, конечно, ожи纤ь, так как если скорость прецессии мала, то мала и разница ммежду движением гироскопа с небольшим начальным толчком и движением без толчка.

Следующий случай, который мы сейчас рассмотрим, – это случай, когда значение $u=1$ является одним из корней функции $f(u)$. Предположим, что волчок начинает вращаться в вертикальном положении. Ясно, что тогда $b$ будет равно $a$, так как постоянные $I_{1} b$ и $I_{1} a$ являются составляющими кинетического момента относительно вертикальной оси и оси волчка, а эти оси в рассматриваемом положении совпадают. Так как начальная
Рис. 60. График функции $f^{\prime}(u)$ в случае волчка, ось которого в начальный момент времени вертикальна.

угловая скорость волчка направлена в этом случае строго по его оси, то, положив в равенстве (5.52) $\dot{\theta}=0$ (т.е. рассматривая это равенство при $t=0$ ), будем иметь
\[
E^{\prime}=E-\frac{1}{2} l_{3} \omega_{z}^{2}=M g l,
\]

откуда следует, что $\alpha=\beta$ [см. уравнение (5.54)]. Поэтому уравнение энергии этого волчка может быть записано в виде

или
\[
\dot{u}^{2}=\left(1-u^{2}\right) \beta(1-u)-a^{2}(1-u)^{2},
\]
\[
\dot{u}^{2}=(1-u)^{2}\left\{\beta(1+u)-a^{2}\right\} .
\]

Из этого уравнения видно, что число $u=1$ является его двукратным корнем; третий корень этого уравнения равен
\[
u_{3}=\frac{a^{2}}{\beta}-1 .
\]

Если $a^{2} / \beta>2$ (что соответствует «быстрому волчку»), то $u_{3}>1$, и единственным возможным движением будет такое, при котором $u=1$, т.е. такое, когда волчок продолжает вращаться вокруг вертикали. График функции $f(u)$ имеет в этом случае вид, показанный на рис. $60, a$. Если же $a^{2} / \beta<2$, то $u_{3}$ будет меньше единицы, и функция $f(u)$ будет иметь вид, показанный на рис. $60, b$. В этом случае волчок нутирует между $\theta=0$ и $\theta=\theta_{3}$. Таким образом, существует критическая угловая скорость $\omega^{\prime}$, выше которой возможно только вертикальное движение волчка. Величина ее определяется равенством

откуда
\[
\frac{a^{2}}{\beta}=\left(\frac{I_{3}}{I_{1}}\right) \frac{I_{3} \omega^{\prime 2}}{2 M g l}=2,
\]
\[
\omega^{\prime 2}=4 \frac{M g l I_{1}}{l_{3}^{2}} .
\]

Практически, если вертикально стоящий волчок начинает вращаться со скоростью, большей, чем $\omega^{\prime}$, то некоторое время он действительно будет продолжать вращение вокруг вертикали (отсюда название «спящий волчок»). Однако трение будет постепенно уменьшать скорость его вращения, и когда она станет ниже критической, волчок начнет раскачиваться, притом тем сильнее, чем больше будет падать скорость его вращения.

Мы уже говорили, что Землю можно рассматривать как волчок, ось которого прецессирует относительно нормали к эклиптике (это движение известно в астрономии под названием предварения равноденствий). Если бы Земной шар был однородным телом, имеющим форму правильной сферы, то другие тела солнечной системы не могли бы действовать на него с некоторым гравитационным моментом. Однако Земля немного сплюснута у полюсов и слегка «выпучена» у экватора. Поэтому на нее действует гравитационный момент (главным образом со стороны Солнца и Луны), что заставляет ось Земли прецессировать. Момент этот весьма мал, и поэтому прецессия Земной оси оказывается исключительно медленной: период ее составляет 26000 лет, в то время как период ее собственного вращения равен всего одним суткам. Полный гравитационный момент, действующий на Земной шар, не является постоянным, так как моменты Солнца и Луны имеют несколько различные направления по отношению к эклиптике и изменяются, когда Земля, Солнце и Луна движутся друг относительно друга. В результате этого в прецессии Земли появляются некоторые неправильности, называемые астрономической нутацией. Ее, однако, не следует путать с истинной нутацией, рассмотренной выше, которая имеет место и тогда, когда момент вызывается постоянной силой. Қлейн и Зоммерфельд отмечали, что истинная нутация выглядит так же, как прецессия оси вращения Земли относительно ее оси симметрии при отсутствии сил (мы рассматривали ее в предыдущем параграфе). Земля, по-видимому, начала вращаться с начальным значением $\dot{\varphi}$, значительно бо́льшим того, которое требуется для равномерной прецессии, и поэтому ее нутация выглядит приблизительно так, как показано на рис. $58, b$. Можно показать, что при этих условиях период нутации близок к периоду прецессии при отсутствии внешних сил [определяемому формулой (5.40)].

Хотя объем данной книги не позволяет подробно остановиться на многочисленных технических приложениях гироскопов, мы все же кратко коснемся этого вопроса. Под «гироскопом» обычно понимают симметричный волчок, установленный в кардановом подвесе таким образом, что центр тяжести его остается неподвижным, а ось может занимать любое положение в пространстве. В этом случае на волчок не действуют гравитационные моменты относительно его центра тяжести, и поэтому вектор его кинетического момента остается постоянным. Если гироскопу будет сообщена угловая скорость вокруг собственной оси и эта ось будет вначале неподвижной (и поэтому будет совпадать по направлению с вектором кинетического момента), то в дальнейшем она будет все время сохранять свое направление в пространстве. Поэтому такой гироскоп можно использовать в качестве указателя неизменного направления, так как движение экипажа, несущего гироскол, не будет влиять на направление его оси.

Значительно более сложно действие так называемого гирокомпаса. В этом приборе ось волчка ограничена в своем движении и может поворачиваться только в горизонтальной плоскости. Но так как вследствие вращения Земли эта плоскость все время меняет свою ориентацию в негюдвижном пространстве, то под действием реакций связей гироскоп вынужден прецессировать с периодом одни сутки вокруг земной оси. Ось такого гироскопа стремится сохранить свое направление в пространстве, но так как установка гирокомпаса препятствует ему прецессировать относительно горизонтальной плоскости, то появляются реакции подшипников, действующие на этот гироскоп. Можно показать, что эти силы стремятся установить ось гироскопа параллельно оси прецесии, в даннсм случае параллельно оси вращения Земли. Поэтому такое устройство может служить для указания направления меридиана, т. е. может быть использовано в качестве «гирокомпаса».