Преобразование Лоренца получено нами для замены преобразования Галилея, так как последнее нельзя считать правильным. Теперь мы можем перейти ко второй части нашего исследования и рассмотреть вопрос о принципе эквивалентности, требующем, чтобы законы механики (и вообще законы физики) имели одинаковую форму во всех равномерно движущихся системах. Таким образом, мы должны исследовать законы фнзики в отношении инвариантности их формы при преобразованиях Лоренца. Эта задача сильно облегчается, если, формулируя эти законы, пользоваться понятием четырехмерного пространства Минковского, введенного в предыдущем параграфе. Мы увидим, что инвариантность данных уравнений относительно преобразований Лоренца тогда можно будет установить непосредственным путем.

Инвариантность формы уравнения относительно преобразований Лоренца не является единственной инвариантностью, накладываемой на законы физики. Ясно, например, что физическое содержание любого закона не должно изменяться при изменении ориентации выбранной системы координат. Следовательно, законы физики должны также быть инвариантными и относительно поворотов системы координат, т. е. относительно ортогональных преобразований пространства. Эта инвариантность является более простой и исследование ее сделает более ясным тот метод, которого следует придерживаться при исследовании инвариантности относительно преобразований Лоренца.

Мы не беспокоимся обычно об инвариантности наших законов относительно поворотов системы координат. Это связано с тем, что при составлении какого-либо уравнения всегда требуется, чтобы его слагаемые были либо все скалярами, либо все векторами, либо все тензорами одного ранга, а это автоматически обеспечивает инвариантность относительно поворотов координатной системы. Так, например, скалярное равенствоимеет вид
\[
a=b \text {, }
\]

а так как обе части его являются скалярами, то они инвариантны относительно координатной системы и, следовательно, это равенство остается справедливым во всех системах координат. Рассмотрим теперь векторное равенство
\[
\boldsymbol{F}=\boldsymbol{G},
\]

эквивалентное трем равенствам
\[
F_{i}=G_{i},
\]

связывающим составляющие этих векторов. Значения этих составляющих не являются, конечно, инвариантными относительне поворотов системы координат, и поэтому в результате такого поворота они примут значения $F_{i}^{\prime}$ и $G_{i}^{\prime}$, которые являются составляющими преобразованных векторов $\boldsymbol{F}^{\prime}$ и $\boldsymbol{G}^{\prime}$. Но так как обе части равенств, связывающих эти составяяющие, преобразуются идентичным образом, то будут иметь место равенства
\[
F_{i}^{\prime}=G_{i}^{\prime} .
\]

Следовательно, равенство, связывающее два вектора, остается справедливым при любом повороте системы координат, и в новой системе мы будем иметь:
\[
\boldsymbol{F}^{\prime}=\boldsymbol{G}^{\prime} .
\]

Следует заметить, что инвариантность этого равенства есть следствие того факта, что обе его части преобразуются как векторы. В таких случаях говорят, что рассматриваемое равенство является ковариантным. Аналогично, всякое равенство
\[
C=D \text {, }
\]

связывающее тензоры второго ранга, означает также равенство
\[
\mathrm{C}^{\prime}=\mathrm{D}^{\prime},
\]

связывающее преобразованные тензоры, так как при повороте системы координат тензоры преобразуются ковариантно. В противоположность этому уравнение, связывающее составляющую вектора с составляющей тензора, очевидно, не может оставаться инвариантным при трехмерном ортогональном преобразовании. Инвариантность физического закона относительно поворота пространственной системы координат требует ковариантности выражающего его уравнения.

Преобразование Лоренца можно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о скалярах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобразования, которые мы имели для аналогичных величин в трехмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п. Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в ковариантной четырехмерной форме; все члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму. Следовательно, характер преобразования (в четырехмерном пространстве) членов равенства, выражающего физический закон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона.

Важным примером 4-вектора является вектор, определяющий положение точки в пространстве Минковского. Составляющие этого вектора равны $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$, и во избежание путаницы с обычными векторами мы для обозначения 4-вектора будем пользоваться только одной из его составляющих; поэтому символ $x_{\mu}$ будет означать у нас вектор, составляющие которого равны $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$. Кроме того, мы часто будем пользоваться следующим условным способом для обозначения суммирования: если в каком-нибудь члене будут встречаться одинаково обозначенные индексы, то это будет означать, что указанный член суммируется по всем значениям этого индекса (даже если знак суммы отсутствует). Например; символ $x_{\mu} x_{\mu}$ мы будем употреблять для суммы
\[
\sum_{\mu=1}^{4} x_{\mu}^{2} .
\]

Когда материальная точка движется в обычном трехмерном пространстве, соответствующая ей точка в пространстве Минковского описывает траекторию, известную под названием мировой линии. 4-вектор $d x_{\mu}$, очевидно, есть вектор бесконечно малого перемещения вдоль этой линии. Умножив вектор $d x_{\mu}$ скалярно на самого себя и разделив полученное число на – $c^{2}$, мы можем образовать мировой скаляр (и, следовательно, инвариант Лоренца). Обозначив его через $d \tau^{2}$, будем иметь
\[
(d \tau)^{2}=-\frac{1}{c^{2}} \sum_{\mu}\left(d x_{\mu}\right)^{2} .
\]

Физический смысл величины $d \tau$ станет ясным, если вычислить сумму (6.21) в системе, относительно которой рассматриваемая точка в данный момент неподвижна. В этой системе мы будем иметь дело с преобразованным вектором $d x_{\mu}^{\prime}$, составляющие которого равны $\left(0,0,0, i c d t^{\prime}\right)$. Следовательно, инвариант $d \tau^{2}$ равен
\[
(d \tau)^{2}=-\frac{1}{c^{2}} \sum_{\mu}\left(d x_{\mu}^{\prime}\right)^{2}=\left(d t^{\prime}\right)^{2} .
\]

Таким образом, $d \tau$ есть интервал времени, измеренный по часам, движущимся вместе с рассматриваемой точкой *); поэтому его можно назвать собственным временем этой материальной точки.

Связь между $d \tau$ и интервалом времени в данной системе Лоренца можно получить, раскрывая равенство (6.21). Проделав
*) Под $d \tau$ мы понимаем положительный корень из правой части (6.21).
это, будем иметь
\[
(d \tau)^{2}=-\frac{1}{c^{2}}\left[(d x)^{2}+(d y)^{2}+(d z)^{2}-c^{2}(d t)^{2}\right],
\]

или
\[
d \tau=d t \sqrt{1-\frac{1}{c^{2}}\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}\right]} .
\]

что эквивалентно равенству
\[
\frac{d \tau}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=d t
\]

Равенство (6.22) вытекает также и из формулы (6.19), если $d \tau$ интерпретировать как интервал времени, измеряемый по часам, связанным с точкой, а $d t$ – как соответствующий интервал, измеряемый наблюдателем, движущимся относительно этой точки.

Так как одна из составляющих 4-вектора является мнимой, то квадрат его не обязательно будет числом положительным. Те 4 -векторы,\”квадраты которых неотрицательны, называются пространственно-подобными, а те, квадраты которых имеют отрицательную величину, называются временно-подобными векторами. Заметим, что принадлежность вектора к тому или иному из этих классов сохраняется при любом преобразовании Лоренца, так как величина вектора является мировым скаляром. Названия пространственно-подобный и временно-подобный связаны с тем, что квадрат обычного вектора трехмерного пространства является величиной положительной. Кроме того, пространственно-подобный 4-вектор всегда можно так преобразовать, чтобы его четвертая составляющая обратилась в нуль.

Разность векторов, определяющих две точки пространства Минковского, может быть либо пространственно-подобной, либо временно-подобной. Обозначая эту разность через $X_{\mu}$, будем иметь:
\[
X_{\mu}=x_{1 \mu}-x_{2 \mu},
\]

где индексы 1 и 2 обозначают первую и вторую из рассматриваемых точек. Но величина вектора $X_{\mu}$ равна
\[
X_{\mu} X_{\mu}=\left|r_{1}-r_{2}\right|^{2}-c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2} .
\]

Следовательно, вектор $X_{\mu}$ будет пространственно-подобным, если
\[
\left|r_{1}-r_{2}\right|^{2} \geqslant c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2},
\]

и временно-подобным, если
\[
\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|^{2}<c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2} .
\]

Отсюда видно, что если вектор $X_{\mu}$ является временно-подобным, то рассматриваемые точки пространства Минковского можно соединить световым сигналом; если же он является пространственно-подобным вектором, то их нельзя связать волной, распространяющейся со скоростью $c$.

Выберем оси $x_{1} x_{2} x_{3}$ таким образом, чтобы разность $\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}$ была направлена вдоль оси $x_{3}$. Тогда $\left|\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{2}\right|$ будет равно $z_{1}-z_{2}$. Рассмотрим теперь преобразование Лоренца, соответствующее скорости $v$, направленной вдоль оси $z$. Четвертая составляющая вектора $X_{\mu}$ будет при этом преоб́разовываться согласно равенству
\[
c\left(t_{1}^{\prime}-t_{2}^{\prime}\right)=\frac{c\left(t_{1}-t_{2}\right)-\frac{v}{c}\left(z_{1}-z_{2}\right)}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
\]
[см. последнее уравнение (6.17)]. Отсюда видно, что если вектор $X_{\mu}$ является пространственно-подобным и, следовательно,
\[
c\left(t_{1}-t_{2}\right)<z_{1}-z_{2},
\]

то можно найти такую скорость $v<c$, что $i c\left(t_{1}^{\prime}-t_{2}^{\prime}\right) \equiv X_{4}^{\prime}$ будет равно нулю (как указывалось выше). Этот результат можно интерпретировать следующим образом. Точку пространства Минковского можно рассматривать как определяющую некоторое событие, происходящее в данный момент $t$ в данной точке $\boldsymbol{r}$. Короче можно сказать, что точка пространства Минковского описывает событие. Поэтому полученный результат можно сформулировать следующим образом: если расстояние между двумя событиями является пространственно-подобным, то можно найти такую систему Лоренца, в которой эти события происходят одновременно.

Одним из примеров 4 -вектора может служить так называемый вектор 4-скорости. Он по определению равен
\[
u_{v}=\frac{d x_{v}}{d \tau},
\]

где $x_{v}$ – 4-вектор данной материальной точки, а $\tau$ – ее собственное время. Пространственная и временна́я составляющие вектора $u_{v}$ равны:
\[
u_{i}=\frac{v_{i}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \quad \text { и } \quad u_{4}=\frac{i c}{\sqrt{1-\beta^{2}}} .
\]

Величина 4-скорости является постоянной, так как сумма $u_{v} u_{v}$ равна
\[
u_{v} u_{v}=\frac{v^{2}}{1-\beta^{2}}-\frac{c^{2}}{1-\beta^{2}}=-c^{2} .
\]

Отсюда видно, что вектор $u_{v}$ также является временно-подобным.
В качестве иллюстрации ковариантной четырехмерной формулировки физического закона рассмотрим волновое уравнение
\[

abla^{2} \psi-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=0,
\]

где $\psi$ – некоторый скаляр. Введем теперь по аналогии с трехкомпонентным оператором $
abla$ четырехкомпонентный дифференциальный оператор $\square$, понимая под ним векторный оператор, составляющие которого равны
\[
\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}, \frac{\partial}{\partial x_{3}}, \frac{\partial}{\partial x_{4}} .
\]

Легко показать, что вектор $\square$ преобразуется по правилам преобразования 4-векторов. Действительно, согласно правилам дифференцирования частная производная по преобразованной координате $x_{\mu}^{\prime}$ равна
\[
\frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\prime}}=\sum_{v} \frac{\partial x_{v}}{\partial x_{\mu}^{\prime}} \frac{\partial}{\partial x_{v}} .
\]

Но на основании формул обратного преобразования (от $x_{\mu}^{\prime} \mathrm{k} x_{v}$ ) имеем
\[
x_{v}=\sum_{\mu} a_{\mu v} x_{\mu}^{\prime}
\]

Следовательно,
\[
\frac{\partial x_{v}}{\partial x_{\mu}^{\prime}}=a_{\mu v}
\]

и поэтому формула (6.27) принимает вид
\[
\frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\prime}}=\sum_{
u} a_{\mu
u} \frac{\partial}{\partial x_{v}},
\]

что совпадает с формулой для преобразования составляющих 4 -вектора. Скалярное произведение вектора $\square$ на самого себя мы будем обозначать через $\square^{2}$. Это есть так называемый oneратор Даламбера. Из предыдущего следует, что он является инвариантным скалярным оператором. В развернутой форме он имеет вид
\[
\square^{2}=\sum_{\mu} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{\mu}^{2}}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} .
\]

Сравнивая теперь полученное выражение с левой частью уравнения (6.26), мы видим, что это уравнение можно записать в виде
\[
\square^{2} \psi=0 \text {. }
\]

Отсюда следует, что если $\psi$ есть истинный скаляр пространства Минковского, то волновое уравнение (6.26) будет иңвариантно относительно преобразований Лоренца.