Принцип Гамильтона можно обобцить, по крайней мере формально, и на неконсервативные системы; при этом мы придем к уравнениям Лагранжа в форме (1.50). Обобщенный таким путем принцип записывается следующим образом:
\[
\delta I=\delta \int_{1}^{2}(T+W) d t=0,
\]

причем конечные точки 1 и 2 , как и ранее, должны быть фиксированными. Величина $W$ определяется здесь равенством
\[
W=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \boldsymbol{r}_{i}
\]

Вариация $\delta W$ имеет важный физический смысл. Уже отмечалось, что вариации $\delta q_{i}$ или $\delta r_{j}$ подобны виртуальным перемещениям координат системы, так как время при этом не варьируется. Поэтому варьируемую нами в пространстве конфигураций траекторию можно мыслить как траекторию, получающуюся посредством ряда виртуальных перемещений точек истинной траектории $C$ (рис. 13). Қаждое такое виртуальное перемещение происходит в данный момент времени, и силы, действующие в этот момент на систему, имеют определенные значения. Поэтому $\delta W$ является работой сил, действующих на систему во время виртуального перемещения от истинной траектории к соседней, получаемой в результате вариации. Следовательно, принцип Гамильтона в форме (2.17) можно сформулировать следуюцим образом: интеграл от суммы вариации кинетической энергии и виртуальной работы, обусловленной вариацией. должен равняться нулю.

Рис. 13. Варьирование траектории в пространстве кон фигураций.
Вариации $\delta \boldsymbol{r}_{i}$ можно выразить через $\delta q_{j}$, пользуясь уравнениями, связывающими $\boldsymbol{r}$ и $q$, причем каждое значение $q$ будет связано с выбранной траекторией посредством параметра $\alpha$ :
\[
r_{i}=r\left[q_{j}(\alpha, t), t\right] .
\]

Однако, воспользовавшись эквнвалентностью вариаций $\delta \boldsymbol{r}_{i}$ и соответствующих виртуальных перемещений, можно эту процедуру сократить. Действительно, ранее было показано, что
\[
\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i} \cdot \delta r_{i}=\sum_{j} Q_{j} \delta q_{j}
\]

Следовательно, уравнение (2.17) можно записать в виде
\[
\delta \int_{i}^{2} T d t+\int_{1}^{2} \sum_{j} Q_{j} d t=0 .
\]

Можно показать, что в случае, когда силы $Q_{j}$ имеют обобщенный потенциал, уравнение (2.19) приводится к принципу Гамильтона в обычной форме. Действительно, интеграл от виртуальной работы будет тогда равен
\[
\int_{i}^{2} \sum_{j} Q_{j} \delta q_{j} d t=-\int_{i}^{2} \sum_{j} \delta q_{j}\left(\frac{\partial V}{\partial q_{j}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial \dot{q}_{j}}\right) d t,
\]

и, интегрируя по частям, будем иметь
\[
-\int_{1}^{2} \sum_{j}\left(\frac{\partial V}{\partial q_{j}} \delta q_{j}+\frac{\partial V}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q}_{j}\right) d t=-\delta \int_{i}^{2} V d t .
\]

Уравнение (2.19) принимает вид
\[
\delta \int_{1}^{2} T d T-\delta \int_{1}^{2} V d t=\delta \int_{1}^{2} L d t=0,
\]

который совпадает с принципом Гамильтона в форме (2.2).
Перейдем теперь к более общему случаю. Так как кинетическая энергия $T$, подобно лагранжиану $L$ консервативной системы, является функцией $q_{j}$ и $\dot{q}_{j}$, то первый интеграл в левой части равенства (2.19) можно записать в виде
\[
\delta \int_{i}^{2} T d T=\int_{i}^{2} \sum_{j}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{j}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right) \delta \gamma_{j} d t .
\]

Объединяя два интеграла, получаем принцип Гамильтона в виде
\[
\int_{i}^{2} \sum_{j}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{j}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}+Q_{i}\right) \delta q_{j} d t=0 .
\]

Отсюда следует, что в случае голономных связей рассматриваемый интеграл будет равен нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты при $\delta q_{j}$ будут равны нулю. Таким образом, получаем:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}
\]

Отсюда видно, что уравнение (2.17) представляет обобщение принципа Гамильтона в форме (2.2), приводящее к уравнениям Лагранжа для случая неконсервативных сил.

Принцип Гамильтона можно распространить и на неголономные системы. При выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона или из принципа Даламбера мы использовали требование голономности связей только на последнем этапе, когда считали вариации $\delta q_{j}$ независимыми. В случае неголономной системы ее обобщенные координаты не являются независимыми и не могут быть связаны друг с другом уравнениями связи вида $f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t\right)=0$. Однако рассмотрение неголономных систем оказывается возможным, если уравнения их связей можно представить в виде
\[
\sum_{k} a_{l k} d q_{k}+a_{l t} d t=0,
\]
т. е. в виде равенств, связывающих дифференциалы координат $q$. Заметим, что вариации, содержащиеся в принципе Гамильтона, являются такими, при которых время остается постоянным (для каждой точки траектории). Следовательно, содержащиеся в вариациях виртуальные перемещения $\delta q$ должны удовлетворять уравнениям связи
\[
\sum_{k} a_{l k} \delta q_{k}=0 .
\]

Индекс $l$ появляется здесь потому, что таких уравнений может быть несколько; мы будем считать, что имеется $m$ подобных уравнений, т. е. что $l=1,2, \ldots, m$.

Теперь мы можем воспользоваться уравнениями (2.23) и сократить число виртуальных перемещений, оставив только независимые вариации $\delta q$. Исключение этих лишних виртуальных перемещений мы проведем по так называемому методу неопределенных множителей Лагранжа.
Из уравнения (2.23) следует равенство
\[
\lambda_{l} \sum_{k} a_{l k} \delta q_{k}=0,
\]

где $\lambda_{l}(l=1,2, \ldots, m)$ – некоторые пока не определенные величины, в общем случае функции времени. Эти $m$ уравнений мы рассмотрим совместно с уравнением (2.20), которое в случае консервативных систем имеет вид
\[
\int_{i}^{2} d t \sum_{k}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\right) \delta q_{k}=0 .
\]

C этой целью просуммируем уравнения (2.24) по $l$, а затем проинтегрируем полученную сумму от точки 1 до точки 2:
\[
\int_{i}^{2} \sum_{k, l} \lambda_{l} a_{l k} \delta q_{k} d t=0
\]

Складывая это равенство с уравнением (2.20′), получаем соотношение
\[
\int_{1}^{2} d t \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}+\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}\right) \delta g_{k},
\]

в котором вариации $\delta q_{k}$ не являются еще независимыми, так как они связаны $m$ соотношениями (2.23). Можно сказать, что первые $n-m$ из этих вариаций могут быть выбраны произвольно и тогда последние $m$ вариаций определятся уравнениями (2.23). Однако величинами $\lambda_{l}$ мы можем распоряжаться по своему усмотрению. Предположим теперь, что мы: выбрали их так, что выполняются равенства
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}+\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}=0 \quad(k=n-m+1, \ldots, n),
\]

имеющие структуру уравнений движения для $m$ последних переменных $q_{k}$. Тогда, считая, что $\lambda_{l}$ удовлетворяют уравнениям (2.27), мы можем записать равенство (2.26) в виде
\[
\int_{1}^{2} d t \sum_{k=1}^{n \rightarrow m}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}+\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}\right) \delta f_{k}=0 .
\]

В этом равенстве независимыми являются все входящие в него вариации $\delta q_{k}$. Следовательно,
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{k}}-\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}+\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}=0 \quad(k=1,2, \ldots, n-m) .
\]

Объединяя уравнения (2.27) и (2.29), мы окончательно получаем полную систему уравнений Лагранжа для неголономных систем
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k} \quad(k=1,2, \ldots, n) .
\]

Однако эти уравнения еще не решают задачи, так как теперь мы имеем $n+m$ неизвестных: $n$ координат $q_{k}$ и $m$ коэффициентов $\lambda_{l}$, тогда как система (2.30) дает нам только $n$ уравнений. Недостающими уравнениями здесь, очевидно, будут сами уравнения связи, т. е. уравнения (2.22), связывающие координаты $q_{k}$. Однако теперь их следует рассматривать как дифференциальные уравнения и писать в виде
\[
\sum_{k} a_{l k} \dot{q}_{k}+a_{l t}=0 .
\]

Уравнения (2.30) и (2.31) образуют систему $n+m$ уравнений относительно $n+m$ неизвестиых.

Следует заметить, что в процессе проведенных рассуждений мы получили больше результатов, чем предполагали, так как мы определили не только $n$ координат $q_{k}$, но и $m$ коэффициентов $\lambda_{l}$. Каков же физический смысл этих коэффициентов? Предположим, что мы освобождаем нашу систему от наложенных на нее связей и вместо этого прикладываем к ней внещние силы $Q_{k}^{\prime}$ делая это так, чтобы не изменить движения системы. Тогда и уравнения движения останутся теми же самыми, и ясно, что силы $Q_{k}^{\prime}$ будут равны реакциям связеӥ, так как они являются силами, заставляющими систему двигаться в соответствии с условиями связей. При наличии сил $Q_{2}^{\prime}$ уравнения движения будут записываться в виде
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=Q_{k}^{\prime},
\]

но они должны совпадать с уравнениями (2.30). Следовательно, сумму $\sum \lambda_{l} a_{l k}$ мы можем считать равной $Q_{k}$ (обобщенная сила реакции связи). Таким образом, в задачах этого типа мы в сущности не исключаем силы реакции, а получаем их как часть решения.

Заметим, что связь (2.22) не является неголономной связью самого общего типа. Так, например, этим путем нельзя задаті связь, выражаемую неравенствами. С другой стороны, она включает и голономные связи. Уравнение голономной связи вида
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}, t\right)=0
\]

эквивалентно дифференциальному уравнению
\[
\sum_{k} \frac{\partial f}{\partial q_{k}} d q_{k}+\frac{\partial f}{\partial t} d t=0,
\]

которое будет совпадать с уравнением (2.22), если положить:
\[
a_{l k}=\frac{\partial f}{\partial q_{k}}, \quad a_{l t}=\frac{\partial f}{\partial t} .
\]

Таким образом, метод множителей Лагранжа можно использовать и в случае голономных связей. Это целесообразно делать в двух случаях: 1) когда оказывается неудобным сводить все координаты $q$ к одним только независимым, 2) когда мы желаем определить реакции связей.
В качестве иллюстрации изложенного метода рассмотрим следующий довольно тривиальный пример (рис. 14). Круглый обруч скатывается без скольжения по ґаклонной плоскости, образующей угол $\varphi$ с горизонтом. Получим уравнения движения этого обруча. (Следует заметить, что связь «качения» является в данном случае голономной, однако этот факт для нас несущєствен.)

Обобщенными координатами здесь будут $x$ и $\theta$, как показано на рис. 14. Уравнение связи в данном случае имеет вид
\[
r d \theta=d x \text {. }
\]

Раскладывая кинетическую энергию этой системы на кинетическую энергию центра масс и кинетическую энергию вращения вокруг ценіра масс, получаем
\[
T=\frac{1}{2} M \dot{x}^{2}+\frac{1}{2} M r^{2} \dot{\theta}^{2},
\]

Потенциальная энергия этой системы равна
\[
V=M g(l-x) \sin \varphi
\]

где $l$-длина наклонной плоскости. Поэтому лагранжиан системы будет иметь вид
\[
L=T-V=\frac{M \dot{x}^{2}}{2}+\frac{M r^{2} \dot{\theta}^{2}}{2}-M g(l-x) \sin \varphi .
\]

Так как здесь имеется только одно уравнение связи, то нам нужен лишь один множитель Лагранжа. Коэффициентами уравнения связи здесь будут:
\[
\begin{array}{l}
a_{\theta}=r, \\
a_{x}=1,
\end{array}
\]

и поэтому два уравнения Лагранжа будут иметь вид:
\[
\begin{aligned}
M \ddot{x}-M g \sin \varphi+\lambda & =0, \\
M r^{2} \ddot{\theta}-\lambda r & =0 .
\end{aligned}
\]

Вместе с уравнением связи
\[
r \dot{\theta}=\dot{x}
\]

они образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными: $\theta, x, \lambda$.
Дифференцируя уравнение (2.36) по времени, получаем
\[
r \ddot{\theta}=\ddot{x}
\]

и, подставляя в уравнение (2.35), будем иметь
\[
M \ddot{x}=\lambda \text {. }
\]

Уравнение (2.34) принимает вид
\[
\ddot{x}=\frac{g \sin \varphi}{2} .
\]

Далее находим:
\[
\begin{array}{l}
\lambda=\frac{M g \cdot \sin \varphi}{2}, \\
\ddot{\theta}=\frac{g \sin \varphi}{2 r} .
\end{array}
\]

Таким образом, ускорение обруча, катящегося по наклонной плоскости, оказывается вдвое меньше того, которое он имел бы, если бы скользил по плоскости без трения. Развиваемая при этом связью сила трения равна $\lambda=\frac{1}{2} M g \sin \varphi$.

Из равенства $\ddot{x}=v \frac{d v}{d s}$ получаем, что конечная скорость этого обруча равна $v=\sqrt{g l \sin \varphi}$. Этот результат можно, конечно, получить и элементарными методами.