Для общности будем пользоваться пространственными координатами, т. е. не будем априори считать рассматриваемое движение плоским.
В сферических координатах кинетическая энергия равна
\[
T=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right),
\]

а канонические импульсы имеют вид:
\[
p_{r}=m \dot{r}, \quad p_{\theta}=m r^{2} \dot{\theta}, \quad p_{\varphi}=m r^{2} \cos ^{2} \theta \dot{\varphi} .
\]

Поэтому гамильтониан этой системы равен
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2} \sin ^{2} \theta}\right)-\frac{k}{r} .
\]

Коэффициент $k$ будем считать положительным, так как при $k<0$ орбита планеты не является ограниченной и, следовательно, движение не может быть периодическим. Из равенства (9.60) видно, что характеристическая функция $W$ определяется здесь уравнением
\[
\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}\right]-\frac{k}{r}=\alpha_{1}=E,
\]

где $\alpha_{1}$ – постоянная, равная полной энергии. Переменные уравнения (9.61) можно разделить, полагая
\[
W=W_{r}(r)+W_{\theta}(\theta)+W_{\varphi}(\varphi) .
\]

Подставим это выражение в (9.61). Тогда, учитывая, что $\varphi$ появится при этом лишь в члене
\[
\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2} \text {, }
\]

мы видим, что равенство (9.61) будет справедливо для всех $\varphi$ лишь при условии
\[
\frac{\partial W_{\varphi}}{\partial \varphi}=\alpha_{\varphi}
\]

где $\alpha_{\varphi}$ – постоянная. Поэтому уравнение (9.61) можно записать в виде
\[
\frac{1}{2 m}\left\{\left(\frac{\partial W_{r}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left[\left(\frac{\partial W_{\theta}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}\right]\right\}-\frac{k}{r}=E .
\]

Но так как выражение в квадратных скобках содержит только $\theta$, то
\[
\left(\frac{\partial W_{\theta}}{\partial \theta}\right)^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{?}}{\sin ^{2} \theta}=\alpha_{\theta}^{2},
\]

где $\alpha_{\theta}$ – еще одна постоянная. Таким образом, уравнение (9.61) принимает вид
\[
\left(\frac{\partial W_{r}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{\alpha_{\theta}^{2}}{r^{2}}=2 m\left(E+\frac{k}{r}\right) .
\]

Қаждое из равенств (9.63) выражает некоторую теорему о сохранении. Рассмотрим, например, первое из них. Оно показывает, что величина $p_{\varphi}$ является постоянной. Следовательно, это равенство выражает закон о сохранении кинетического момента относительно оси $z$. Рассмотрим теперь равенство (9.63b), записав его в виде
\[
p_{\theta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}=\alpha_{\theta}^{2} \text {. }
\]

Заметим, что в плоских полярных координатах гамильтониан равен
\[
H=\frac{1}{2 m}\left[p_{r}+\frac{p^{2}}{r^{2}}\right]-\frac{k}{r},
\]

где $p$-величина полного кинетического момента. Сравнение этого выражения с гамильтонианом (9.60) показывает, что $\alpha_{\theta}$ следует считать равным $p$. Поэтому равенство (9.63b) выражает закон о сохранении полного кинетического момента. Что касается равенства (9.63c), то оно выражает закон о сохранении энергии.

Уравнения (9.63) можно проинтегрировать и получить производящую функцию. Однако мы не будем этого делать, так как нас интересуют главным образом переменные действие – угол $(J, w)$. В данном случае имеется три переменных $J$, определяемых равенствами:
\[
\begin{array}{l}
J_{1} \equiv J_{\varphi}=\oint p_{\varphi} d \varphi=\oint \frac{\partial W_{\varphi}}{\partial \varphi} d \varphi, \\
J_{2} \equiv J_{\theta}=\oint p_{\theta} d \theta=\oint \frac{\partial W_{\theta}}{\partial \theta} d \theta, \\
J_{3} \equiv J_{r}=\oint p_{r} d r=\oint \frac{\partial W_{r}}{\partial r} d r .
\end{array}
\]

С помощью соотношений (9.63) их можно записать в виде:
\[
\begin{aligned}
J_{\varphi} & =\oint \alpha_{\varphi} d \varphi, \\
J_{\theta} & =\oint \sqrt{\alpha_{\theta}^{2}-\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}} d \theta, \\
J_{r} & =\oint \sqrt{2 m E+\frac{2 m k}{r}-\frac{\alpha_{\theta}^{2}}{r^{2}}} d r .
\end{aligned}
\]

Первый из этих интегралов является тривиальным; так как за один оборот $\varphi$ изменяется на $2 \pi$, то
\[
J_{\varphi}=2 \pi \alpha_{\varphi}=2 \pi p_{\varphi} .
\]

Этот результат можно было предвидеть заранее, так как $\varphi$ является циклической координатой гамильтониана K. Поэтому равенство (9.66) является частным случаем равенства (9.34′), справедливого для любой циклической координаты.

Интеграл (9.65b) также можно вычислить без особого труда, что проще всего сделать с помощью процедуры, которую предложил ван Флек (J. H. Van Vleck). Вспомним, что если равенства, связывающие декартовы координаты с обобщенными, не содержат времени, то
\[
2 T=\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}
\]
(см. §2.6). Выражая кинетическую энергию в сферических и в плоских полярных координатах, будем иметь
\[
p_{r} \dot{r}+p_{\theta} \dot{\theta}+p_{\varphi} \dot{\varphi}=p_{r} \dot{r}+p \dot{\psi},
\]

где $\psi$ – полярный угол точки в плоскости ее траектории. Поэтому $p_{\theta} d \theta$ в интеграле (9.64b) можно заменить разностью $p d \psi-p_{\varphi} d \varphi$. В результате получим
\[
J_{\theta}=\oint p d \psi-\oint p_{\varphi} d \varphi .
\]

Когда $\theta$ совершает полный цикл либрации, $\varphi$ и $\psi$ изменяются на $2 \pi$ и, следовательно,
\[
J_{\theta}=2 \pi\left(p-p_{\varphi}\right)=2 \pi\left(\alpha_{\theta}-\alpha_{\varphi}\right) .
\]

Интеграл $J_{r}$ можно записать теперь в виде
\[
J_{r}=\oint \sqrt{2 m E+\frac{2 m k}{r}-\frac{\left(J_{\theta}+J_{\varphi}\right)^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}}} d r .
\]

После выполнения интегрирования это равенство можно разрешить относительно энергии $E \equiv H$, что даст нам $H$ как функцию переменных $J_{\varphi}, J_{\theta}, J_{r}$. Следует заметить, что переменные $J_{\varphi}$ и $J_{\theta}$ войдут при этом в $E$ в виде суммы $J_{\theta}+J_{\mathscr{q}}$, что указывает на равенство частот $v_{\varphi}$ и $v_{\theta}$, т. е. на вырождение. Заметим, что, делая это утверждение, мы не пользуемся тем фактом, что сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Следовательно, движение под действием центральной силь всегда имеет, по крайней мере, одну степень вырождения.

Интеграл (9.68) может быть вычислен элементарными методами, однако особенно быстро и изящно это можно сделать с помощью теории вычетов, что было впервые проделано Зоммерфельдом. Рассмотрим в общих чертах этот способ. Прежде всего заметим, что $E$ следует считать отрицательным, так как только тогда движение рассматриваемой точки будет ограниченным (см. § 3.3). Далее, так как интегрируемая функция равна здесь $p_{r}=m \dot{r}$, то пределы изменения $r$ определяются корнями выражения, стоящего под знаком радикала. Пусть $r_{1}$ – меньший из этих корней, а $r_{2}$ – больший (см. рис. 24). Тогда полный цикл изменения $r$ будет состоять из двух частей: сначала $r$ будет увеличиваться от значения $r_{1}$ до значения $r_{2}$, а затем будет вновь уменьшаться до первоначального значения $r_{1}$. В первой фазе этого изменения $p_{r}$ будет положительным, и радикал (9.68) нужно будет брать со знаком плюс, а во второй фазе, когда $p_{r}$ отрицательно, его нужно будет брать со знаком минус. Следовательно, нам нужно будет произвести интегрирование двузначной функции, двигаясь на участке от $r_{1}$ до $r_{2}$ по одной ветви, а на участке oт $r_{2}$ до $r_{1}$ – по другой. Так как точками разветвления этой функции являются точки $r_{1}$ и $r_{2}$, то комплексную плоскость этой функции можно рассматривать как один из листов римановой поверхности, разрезанной вдоль вещественной оси на участке от $r_{1}$ до $r_{2}$, как показано на рис. 65 .

Так как путь интегрирования охватывает здесь линию между точками разветвления, то непосредственное применение теории вычетов оказывается невозможным. Однако его можно рассматривать как путь, окружающий точку $\infty$, и в соответствии с этим нужно будет изменить направление интегрирования на противоположное (т. е. по ходу часовой стрелки)*). Интегрируемая функция будет тогда однозначной функцией, заданной в области вне контура, охватывающего точки $r_{1}$ и $r_{2}$, и мы сможем применить теорию вычетов. В этой области будут лишь две особые

точки: начало координат и бесконечность, и поэтому путь интегрирования нужно будет заменить на две окружности, по которым эти точки обходятся в направлении движения часовой стрелки. При вещественных $r$, меньших, чем $r_{1}$, знак корня (9.68) должен быть отрицательным, в чем можно убедиться, исследуя поведение рассматриваемой функции вблизи $r_{1}$. Поэтому, записывая интегрируемую функцию в виде

получаем
\[
-\sqrt{A+\frac{2 B}{r}-\frac{C}{r^{2}}},
\]
\[
R_{0}=-\sqrt{-C} \text {, }
\]

где $R_{0}$ – вычет этой функции относительно начала координат.
При вещественном $r$, большем, чем $r_{2}$, знак рассматриваемого корня должен быть положительным, и поэтому вычет,интегрируемой функции относительно точки $\infty$ можно получить с помощью обычного приема замены переменной. Полагая $z=r^{-1}$, будем иметь
\[
-\oint \frac{1}{z^{2}} \sqrt{A+2 B z-C z^{2}} d z
\]
*) Для того чтобы представить себе это яснее, можно воспользоваться стереографической проекцией и перейти от комплексной плоскости к сфере Римана. Тогда началу координат плоскости $r$ будет соответствовать южный полюс этой сферы, а точке $\infty$ – ее северный полюс. (Вещественной оси будет соответствовать один из меридианов.) Любая замкнутая кривая $C$ делит поверхность этой сферы на две части, и поэтому кривую $C$ можно рассматривать-как охватывающую любую из этих частей в зависимости от направления движения вдоль $C$.

и, разлагая этот радикал в ряд около точки $z=0$, получаем
\[
R_{\infty}=-\frac{B_{1}}{\sqrt{A}} .
\]

Интересующий нас интеграл равен сумме вычетов, умноженной на $-2 \pi i$, следовательно,
\[
J_{r}=2 \pi i\left(\sqrt{-C}+\frac{B}{\sqrt{A}}\right) .
\]

Подставляя сюда значения коэффициентов $A, B, C$, получаем
\[
J_{r}=-\left(J_{\theta}+J_{\varphi}\right)+\pi k \sqrt{\frac{2 m}{-E}} .
\]

Равенство (9.69) позволяет найти $H$ как функцию переменных $J$, так как, разрешая его относительно $E$, будем иметь
\[
H \equiv E=-\frac{2 \pi^{2} m k^{2}}{\left(J_{r}+J_{\theta}+J_{\varphi}\right)^{2}} .
\]

Ранее мы говорили, что переменные $J_{\theta}$ и $J_{\varphi}$ должны входить сюда в виде комбинации $J_{\theta}+J_{\varphi}$. Теперь мы видим, что все три переменные $J$ входят сюда в виде комбинации $J_{r}+J_{\theta}+J_{\varphi}$. Следовательно, все частоты этого движения одинаковы и оно является полностью вырождающимся.

Полученный результат следовало ожидать заранее, так как мы знаем, что в случае силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, траектория движущейся точки является замкнутой (при $E<0$ ). Поэтому изучаемое движение должно быть строго периодическим и, следовательно, полностью вырождающимся. Если бы центральная сила содержала член $r^{3}$ (вносимый релятивистскими поправками), то траектория была бы незамкнутой, а движение было бы непериодическим (оно совершалось бы по прецессирующему эллипсу). Одно из вырождений было бы в этом случае уничтожено, но движение все еще было бы вырождающимся, так как равенство $v_{\theta}=v_{\varphi}$ справедливо для всех центральных сил.

Частота рассматриваемого движения определяется равенством
\[
v=\frac{\partial H}{\partial J_{r}}=\frac{\partial H}{\partial J_{\theta}}=\frac{\partial H}{\partial J_{\varphi}}=\frac{4 \pi^{2} m k^{2}}{\left(J_{r}+J_{\theta}+J_{\varphi}\right)^{3}} .
\]

Подставляя сюда сумму $J_{r}+J_{\theta}+J_{\varphi}$ из равенства (9.70) и вычисляя затем период $\tau$, получаем:
\[
\tau=\pi k \sqrt{\frac{m}{-2 E^{3}}},
\]

что совпадает с третьим законом Кеплера, выражаемым равенством (3.54) (если учесть, что $a=-k / 2 E$ ).

Вырождающиеся частоты можно исключить с помощью канонического преобразования, коротко описанного в предыдущем параграфе. Записывая условия вырождения в виде
\[
v_{\varphi}-v_{\theta}=0, \quad v_{\theta}-v_{r}=0,
\]

мы получаем образующую функцию

откуда
\[
F=\left(w_{\varphi}-w_{\theta}\right) J_{1}^{\prime}+\left(w_{\theta}-w_{r}\right) J_{2}^{\prime}+w_{r} J_{3}^{\prime},
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
w_{1}^{\prime}=w_{\varphi}-w_{\theta}, \\
w_{2}^{\prime}=w_{\theta}-w_{r}, \\
w_{3}^{\prime}=w_{r} .
\end{array}\right\}
\]

Қак и следовало ожидать, новые частоты $v_{1}^{\prime}$ и $v_{2}^{\prime}$ получаются равными нулю. Переменные $J_{i}^{\prime}$ можно получить, решая уравнения
\[
\begin{array}{l}
J_{\varphi}=J_{1}^{\prime}, \\
J_{\theta}=J_{2}^{\prime}-J_{1}^{\prime}, \\
J_{r}=J_{3}^{\prime}-J_{2}^{\prime} .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\left.\begin{array}{l}
J_{1}^{\prime}=J_{\varphi}, \\
J_{2}^{\prime}=J_{\varphi}+J_{\theta}, \\
J_{3}^{\prime}=J_{\varphi}+J_{\theta}+J_{r .}
\end{array}\right\}
\]

Выражая теперь гамильтониан $H$ через новые переменные, получаем
\[
H=-\frac{2 \pi^{2} m k^{2}}{J_{3}^{\prime 2}},
\]

причем сюда входит лишь та из переменных $J_{i}^{\prime}$, для которой частота $v_{i}^{\prime}$ отлична от нуля.

Вычисление угловых переменных $w_{i}$ можно произвести с помощью уравнений
\[
w_{i}=\frac{\partial W}{\partial J_{i}} .
\]

Интегрируя для этого уравнения (9.63), мы можем получить $W$ как функцию констант $p, p_{\varphi}$ и $E$ и, следовательно, как функцию переменных $J$. Подставив эту функцию в равенство (9.76), мы можем получить затем соотношение между w и константами движения, чем и определится физический смысл величин $ш$. Практически, однако, этот путь оказывается весьма длинным. K счастью, здесь можно высказать некоторые качественные соображения, достаточные для выяснения смысла постоянных угловых координат $w_{1}^{\prime}$ и $w_{2}^{\prime}$. Мы знаем, что действие $J_{1}^{\prime}$ равно произведению $2 \pi$ на составляющую кинетического момента вдоль полярной оси $z$, и, следовательно, соответствующая ему угловая переменная должна быть некоторым фиксированным углом в экваториальной плоскости. Одним из таких углов является угол, определяющий положение линии узлов (линия пересечения плоскости орбиты с экваториальной плоскостью), и поэтому ${ }_{1}^{\prime}$ может отличаться от него только на некоторую постоянную. (Значение этой постоянной может быть найдено с помощью непосредственного интегрирования.)

Аналогично, $J_{2}^{\prime}=J_{\theta}+J_{\varphi}=2 \pi p$ и, следовательно, эта величина пропорциональна полному кинетическому моменту. Поэтому $w_{2}^{\prime}$ будет некоторым фиксированным углом в плоскости орбиты, таким, как, например, угол между перигелием и линией узлов. Следует заметить также, что отношение $J_{1}^{\prime} / J_{2}^{\prime}$ должно равняться косинусу угла между осью $z$ и вектором кинетического момента. Таким образом, величины $w_{1}^{\prime}$, $w_{2}^{\prime}$ и $J_{1}^{\prime} / J_{2}^{\prime}$, в сущности, являются углами Эйлера, определяющими ориентацию орбиты в пространстве.

Введение переменных действие – угол не приводит, конечно, к наиболее быстрому решению задачи Кеплера, и с этой точки зрения практическая польза этого метода представляется спорной. Однако система переменных $w^{\prime}, J^{\prime}$ может служить для того, чтобы определить положение орбиты в пространстве. Кроме того, с помощью переменных $J_{l}^{\prime}$ можно указать также размер орбиты и ее форму (т. е. длину главной полуоси и величину эксцентриситета). Поэтому рассматриваемые переменные особенно удобны при изучении орбит планет, в связи с чем они находят применение в астрономии, где переменные $w^{\prime}, J^{\prime}$ известны под названием элементов Делоне орбиты (Delaunay elements). Когда в движении участвуют только два тела, то эти элементы являются константами движения (за исключением $w_{3}^{\prime}$ ). Но если имеются небольшие возмущения, вызванные, например, другими планетами или спутниками данной планеты, то движение получается более сложным, хотя часто можно считать, что рассматриваемое движение характеризуется этими же элементами, но медленно изменяющимися во времени. В этих случаях переменные $w^{\prime}, J^{\prime}$ оказываются весьма полезным инструментом для изучения таких возмущений.

В течение долгого времени переменные действие – угол применялись только в астрономии. Однако положение резко изменилось с появлением квантовой теории атома Бора, так как при этом было установлено, что квантовые соотношения проще всего получаются как раз с помощью переменных $J$.

В классической механике значения переменных $J$ могут изменяться в непрерывном диапазоне. Однако в квантовой механике это не имеет места, так как квантовые условия Зоммерфельда и Вильсона требуют, чтобы движение ограничивалось теми орбитами, для которых «истинные» переменные $J$ имеют значения $n h$, где $h$ – квант действия, а $n$-любое целое число. (Переменные $J$ считаются «истинными», если соответствующие частоты не вырождаются и отличны от нуля; такой переменной является, например, $J_{3}^{\prime}$.) Как показал Зоммерфельд, переменные действие – угол \”открывают широкие возможности для квантования, так как при этом требуется лишь решить соответствующую задачу классической механики и, заменяя затем $J$ на $n h$, произвести квантование.

В качестве примера мы рассмотрим квантование энергетических уровней атома водорода. Оно сразу получается из равенства (9.75), если положить там $k=Z e^{2}$ и $J_{3}^{\prime}=n h$ :
\[
E=-\frac{2 \pi^{2} m Z^{2} e^{4}}{n^{2} h^{2}},
\]

где $n$-так называемое главное квантовое число. В случае полностью вырождающейся системы оно является единственным квантовым числом. Положение, однако, изменится, если ввести релятивистские поправки, учитывающие прецессию перигелия в плоскости орбиты. Тогда угол $w_{2}^{\prime}$, определяющий положение этого перигелия, будет изменяться со временем, и переменная $J_{2}^{\prime}$ станет «истинной», вследствие чего ее тоже нужно будет квантовать, полагая
\[
J_{2}^{\prime}=k h,
\]

где $k$-радиальное квантовое число. Так как частоты $\boldsymbol{v}_{3}^{\prime}$ и $\boldsymbol{v}_{2}^{\prime}$ отличны от нуля, то энергия $E$ будет теперь зависеть как от $J_{3}^{\prime}$, так и от $J_{2}^{\prime}$, т. е. от $n$ и от $k$. Таким путем можно построить известную релятивистскую теорию энергетических уровней атома водорода.

Для того чтобы полностью устранить вырождение, можно ввести однородное магнитное поле, направленное вдоль произвольной оси, скажем, оси $z$. Плоскость орбиты будет тогда совершать прецессию Лармора (Larmor) вокруг этой оси, и угол $w_{1}^{\prime}$ будет равномерно увеличиваться. Поэтому $J_{1}^{\prime}$ будет «истинной» переменной действия, и должно будет выполняться равенство
\[
J_{1}^{\prime}=m h,
\]

где $m$-магнитное квантовое число. Поэтому энергия будет теперь зависеть от всех трех квантовых чисел, в результате чего мы получим эффект Зеемана, состоящий в расщеплении спектральных линий*).
*) Получаемое таким способом расщепление представляет лишь нормальный эффект Зеемана. Аномальный эффект Зеемана требует, конечно, учета влияние «спина».

В период развития старой квантовой теории переменным действие – угол уделялось много внимания, так как они представляли эффективный метод теоретического исследования. Но когда после атома водорода стали рассматривать более сложные системы, положение изменилось, так как пришлось учитывать много дополнительных сил. С этой целью-из классической механики был заимствован метод расчета малых возмущений, и поэтому между классическими и квантовыми методами расчета таких возмущений имеется много сходства. Следует, однако, отметить, что методы классической механики являются значительно более сложными, особенно в случаях вырождения.

Скоро, однако, стало ясно, что, помимо математических трудностей, здесь имеются и принципиальные, так как квантовая теория Бора недостаточно правильно отражает физическую природу явлений. Қак известно, выход был найден благодаря созданию (почти одновременно) волновой механики и матричной механики. Но так как методы решения квантовых задач были в этих теориях совершенно различными, то интерес к переменным действие – угол резко уменьшился. В настоящее время они употребляются только в астрономии (т. е. в классической механике); в квантовой механике сохранились лишь некоторые из понятий, связанных с этими переменными, такие, например, как вырождение.

Хотя это может показаться странным, но новая волновая механика также связана с теорией Гамильтона – Якоби. Подобно тому как зародышем матричной механики являются классические скобки Пуассона, зародыш волновой механики можно увидеть в связи метода Гамильтона – Якоби с геометрической оптикой. $\mathrm{K}$ рассмотрению этой связи мы сейчас и перейдем.