Равенство (4.102) является основным кинематическим уравнением, служащим для получения динамических уравнений движения твердого тела. Однако оно применимо не только к движению твердого тела, но и к движению материальной точки или системы материальных точек во вращающейся системе координат. Одной из наиболее важных задач этого рода является задача о движении материальной точки относительно системы, связанной с вращающейся Землей.

В классической механике постулируется, что второй закон движения Ньютона [уравнение (1.1)] справедлив в системе координат с началом в центре Солнца – в так называемой инерциальной системе координат. Наземные же измерения обычно производятся в системе координат, связанной с Землей, которая вращается относительно инерциальной системы с постоянной угловой скоростью $\boldsymbol{1}$. Уравнение (4.102) позволяет так модифицировать уравнения движения, чтобы они были справедливыми в этой неинерциальной системе отсчета.

Прежде всего применим уравнение (4.102) к радиусу-вектору данной точки. Проведя этот вектор из начала координат системы, связанной с Землей, получим:
\[
v_{s}=v_{r}+\omega \times r,
\]

где $\boldsymbol{v}_{s}$ и $\boldsymbol{v}_{r}$-скорости данной точки относительно нелодвижной и вращающейся систем координат. Применим теперь уравнение (4.102) к вычислению скорости изменения вектора $\boldsymbol{v}_{s}$. Проделав это и подставив в полученный результат $v_{s}$ из (4.104), будем иметь:
\[
\left(\frac{d v_{s}}{d t}\right)_{s}=a_{s}=\left(\frac{d v_{s}}{d t}\right)_{r}+\omega \times v_{s}=a_{r}+2\left(\omega \times v_{r}\right)+\omega \times(\omega \times r),(4.105)
\]

где через $a_{s}$ и $a_{r}$ обозначены ускорения точки в двух координатных системах. Поэтому уравнение движения, которое в инерциальной системе координат имеет вид
\[
\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}_{s},
\]

будет во вращающейся системе записываться в виде
\[
\boldsymbol{F}-2 m\left(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{r}\right)-m \omega \times(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})=m \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{r}} .
\]

Следовательно, наблюдателю, находящемуся во вращающейся системе, будет казаться, что рассматриваемая точка движется под действием некоторой эффективной силы $\boldsymbol{F}_{\text {эф }}$, равной
\[
\boldsymbol{F}_{\text {эф }}=\boldsymbol{F}-2 m\left(\omega \times \boldsymbol{v}_{r}\right)-m \omega \times(\omega \times \boldsymbol{r}) .
\]

Исследуем члены, входящие в уравнение (4.107). Последний из них представляет собой вектор, перпендикулярный к $\boldsymbol{\omega}$ и направленный от оси вращения. Величина его, как легко видеть, равна $m \omega^{2} r \sin \theta$ и, следовательно, он представляет собой обычную центробежную силу. Если рассматриваемая точка находится в покое относительно подвижной системы, то центробежная сила является единственной добавочной силой, входящей в выражение эффективной силы. Однако если эта точка движется, то появляется третий, в нашем уравнении средний, член, известный как сила Кориолиса. Порядок величины каждой из этих сил легко оценить, если рассмотреть точку, находящуюся на поверхности Земли. Если смотреть с Северного полюса, то вращение Земли будет казаться происходящим против хода часовой стрелки, и угловая скорость этого вращения будет равна
\[
\omega=\frac{2 \pi}{24 \cdot 3600}=7,29 \cdot 10^{-5} \text { ceк }^{-1} .
\]

При этом значении $\omega$ и при $r$, равном радиусу Земли, центростремительное ускорение будет иметь максимальную величину, равную
\[
\omega^{2} r=3,38 \mathrm{~cm} / \mathrm{ce}^{2},
\]
т. е. приблизительно $0,3 \%$ от ускорения силы тяжести. Хотя это ускорение и мало, однако не всегда им можно пренебречь. Центробежная сила всегда направлена от оси Земли, и на экваторе она параллельна радиусу-вектору $r$. Однако на других широтах эта сила не параллельна $r$, и так как отвесное направление определяется силой тяжести и центробежной силой, то всюду, кроме экватора, отвес устанавливается не точно вдоль радиуса-вектора, хотя отклоняется от него весьма мало. При определении вертикали с помощью отвеса поправка на это явление не вводится, так как истинной вертикалью принято считать не направление радиуса-вектора, а направление отвеса*).

Так как кажущаяся сила тяжести, действующая на маятник, есть сумма гравитационной и центробежной сил, то $g$ будет изменяться с широтой, и на экваторе оно будет иметь наименьшее значение, а у полюсов – наибольшее. Приплюснутость земного шара лишь увеличивает этот эффект.

Центробежной силой, вызванной движением Земли вокруг Солнца, мы здесь пренебрегаем, так как она мала по сравнению с центробежной силой, вызванной собственным вращением Земли**). Действительно, угловая скорость вращения Земли вокруг Солнца в 365 раз меньше скорости ее суточного вращения, т. е. отношение этих скоростей равно $2,7 \cdot 10^{-3}$. С другой стороны, отношение радиуса земной орбиты к радиусу Земли, как известно, приблизительно равно $\left(1,5 \cdot 10^{8} \kappa м\right):\left(6 \cdot 10^{3} \kappa м\right)=1 / 4 \cdot 10^{5}$. Следовательно, центробежная сила, вызванная вращением Земли вокруг Солнца, будет меньше центробежной силы, вызванной ее суточным вращением, и отношение этих сил будет приблизительно равно
\[
1 / 4 \cdot 10^{5} \cdot\left(2,7 \cdot 10^{-3}\right)^{2} \approx 0,2,
\]
т. е. будет, как мы видим, не настолько велико, чтобы его стоило
Рис. 49. Отклонение точки, движущейся в Северном полушарии, вследствие силы Кориолиса. учитывать.
Действующая на движущуюся точку сила Кориолиса перпендикутор $\boldsymbol{\omega}$ направлен от поверхности Земли, и так как сила Кориолиса равна $2 m(v \times \boldsymbol{\omega})$, то, действуя на снаряд, летящий вдоль земной поверхности, она отклоняет его вправо (рис. 49). В Южном полушарии это отклонение направлено в противоположную сторону, а на экваторе, где вектор $\boldsymbol{- 1}$ горизонтален, оно
*) Вертикаль можно также определить как нормаль к поверхности покоящейся жидкости.
**) Здесь неточность. Центробежной силой не пренебрегают – просто в системе отсчета, движущейся поступательно вместе с Землей вокруг Солнца, эта сила (переносная сила инерции) уравновешивается силой притяжения Солнца. (Прим. перев.)
***) Индекс $r$ у скорости $v$ мы в дальнейшем будем опускать, так как все скорости мы будем рассматривать только относительно вращающейся системы координат.

равно нулю. Величина ускорения Кориолиса никогда не бывает больше, чем
\[
2 \omega v \approx 1,5 \cdot 10^{-4} v,
\]

что при скорости $10^{5}$ см/сек ( 3600 км/час) дает величину $15 \mathrm{~cm} /$ сек $^{2}$ или около $0,015 \mathrm{~g}$. Қак правило, такое ускорение следует рассматривать как весьма малое, однако в некоторых случаях оно становится существенным. Для иллюстрации рассмотрим следующий, несколько искусственный пример. Предположим, что с корабля, находящегося на Северном полюсе, производится выстрел в горизонтальном направлении. Ускорение Кориолиса будет иметь величину $2 \omega v$, и линейное отклонение снаряда от его первоначального направления будет по истечении времени $t$ равно $\omega v t^{2}$, угловое же отклонение этого снаряда будет равно его линейному отклонению, деленному на пройденный им путь. Следовательно, оно равно
\[
\theta=\frac{\omega v t^{2}}{v t}=\omega t,
\]
т. е. имеет такую же величину, как угол поворота земного шара за время $t$. Физический смысл этого становится ясным, если учесть, что снаряд, выстреливаемый с Северного полюса, не имеет начального вращательного движения и, следовательно, в инерциальной системе отсчета он должен двигаться по прямолинейной траектории. Поэтому должно наблюдаться кажущееся отклонение снаряда вследствие вращения Земли. Количествен ную оценку рассмотренного эффекта можно получить, если задаться определенным временем полета, например 100 сек, что для крупных снарядов можно считать нормальным временем. Подставив в (4.108) $t=100$ сек, мы для углового отклонения $\theta$ получим величину порядка $7 \cdot 10^{-3} \approx 0,4^{\circ}$, что уже нельзя считать пренебрежимо малым. Ясно, что для управляемых снарядов, таких, например, как Фау-2, этот эффект будет еще более заметным, так как время их полета значительно больше.

Еще большее значение получает сила Кориолиса в метеорологической задаче о циркуляции воздуха, так как «продолжительность полета» [уравнение (4.108)] будет в этом случае намного больше, чем при движении снаряда. Ветер представляет собой движение воздушных масс, и если бы силы Кориолиса отсутствовали, то это движение совершалось бы вдоль градиента давления, т. е. от большего давления к меньшему. Следовательно, оно было бы перпендикулярно к изобарам. Однако в Северном полушарии силы Кориолиса отклоняют воздушные массы от этого направления вправо, как показано на рис. 50 . При установившемся состоянии движения скорости частиц воздуха не возрастают и не убывают, и силы, действующие на воздушные массы, обращаются в нуль. В этом случае сила Кориолиса должна быть равна и противоположна силе, вызванной градиентом давления, а это возможно только тогда, когда направление ветра параллельно изобарам. Область низкого

Рис. 50. Отклонение воздушного потока от направления вследствие силы Кориолиса (для Северного полушария).
тер от направления изобар. В северных широтах это отклонение составляет приблизительно $20-30^{\circ}$ (рис. 51 ).

Другим классическим примером заметного проявления сил Кориолиса является отклонение свободно падающих тел от вертикали. Так как скорость падающего тела является почти вертикальной, а вектор о лежит в северо-южной вертикальной плоскости, то отклоняющая сила $2 m(v \times \omega)$ будет всегда иметь
Рис. 51. Схема циклона в Северном полушарии: a) при отсутствии сил Кориолиса, b) с учетом сил Қориолиса.

восточное или западное направление. В Северном полушарии, например, свободно падающее тело отклоняется к востоку. Вычисление этого отклонения сильно упрощается, если ось $z$ системы, связанной с Землей, направить по вертикали. Центробежная сила играет в данном случае лишь роль незначительной поправки к вектору $m g$, и если в качестве плоскости $y z$ выбрать северо-южную вертикальную плоскость, то уравнение движения в направлении оси $x$ запишется в виде
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-2 m(\omega \times v)_{x}=-2 m \omega v_{z} \sin \theta,
\]

где $\theta$-широта, отсчитываемая от Северного полюса. Если бы мы учли влияние силы Кориолиса на скорость $v_{z}$, то это внесло бы некоторую, очень малую поправку в величину отклонения. Поэтому вертикальную скорость, входящую в уравнение (4.109), можно вычислять без учета сил Кориолиса. Следовательно, можно принять:

а также
\[
v_{2}=g t
\]
\[
t=\sqrt{\frac{2 z}{g}} .
\]

Тогда уравнение (4.109) легко проинтегрировать. Проделав это, получим
\[
x=-\frac{\omega g}{3} t^{3} \sin \theta,
\]

или
\[
x=-\frac{\omega}{3} \sqrt{\frac{(2 z)^{3}}{g}} \sin \theta .
\]

Порядок величины отклонения можно получить, положив, например, $\theta=\frac{\pi}{2}$ (экватор) и $z=50$ м. Тогда будем иметь $x \approx$ $\approx 8$ мм. Проверить этот результат экспериментально, однако, довольно трудно, гак как вследствие малости этого отклонения оно может оказаться поглощенным возмущающим влиянием воздушных потоков, вязкостью или другими случайными факторами.

Более удобен для наблюдения известный эксперимент с маятником Фуко. Если поместить маятник на Северном полюсе и дать ему качаться в некоторой плоскости неподвижного пространства, то проекция его количества движения на перпендикуляр к этой плоскости будет равна нулю, и он будет продолжать качаться в этой неизменной плоскости, хотя Земля будет под ним поворачиваться. Поэтому наблюдателю, находящемуся на Земле, плоскость его колебания будет казаться поворачивающейся со скоростью одного оборота в сутки. На других широтах это явление будет протекать более сложно, однако качественная картина останется такой же. Более подробное исследование этого явления мы предоставляем читателям в качестве упражнения.

Сила Кориолиса сказывается и на некоторых явлениях атомной физики. Так, например, в многоатомной молекуле можег одновременно иметь место движение двух типов: вращение молекулы как неизменяемой системы и колебание ее агомов около своих положений равновесия. Таким образом, здесь возникает движение атомов относительно вращающейся системы координат, связанной с молекулой. При этом возникают силы Кориолиса, заставляющие атомы двигаться в направлениях, перпендикулярных к их колебаниям. Возмущения, вызываемые в молекулярных спектрах этими силами, носят характер взаимодействия вращательных и вибрационных уровней молекулы.
ЗА д А ч
1. Доказать, что умножение матриц ассоциативно. Показать, что произведение двух ортогональных матриц есть также ортогональная матрица.
2. Доказать следующие свойства транспонированной и эрмитовски сопряженной матриц:
\[
\begin{aligned}
\widetilde{\mathrm{AB}} & =\widetilde{\mathrm{B}} \tilde{\mathrm{A}}, \\
(\mathrm{AB})^{+} & =\mathrm{B}^{+} \mathrm{A}^{+} .
\end{aligned}
\]
3. Показать, что след матрицы инвариантен относительно любого подобного преобразования. Показать также, что антисимметричная матрица остается антисимметричной при любом ортогональном подобном преобразовании, а матрица Эрмита – при любом унитарном подобном преобразовании.
4. Выразить элементы матрицы вращения A через углы Эйлера [формула (4.46)], выполнив для этого умножение матриц последовательных поворотов. Убедиться с помощью непосредственной проверки, что элементы матрицы удовлетворяют условиям ортогональности.
5. Показать, что составляющие угловой скорости по осям неподвижной системы координат выражаются через углы Эйлера следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{x}=\dot{\theta} \cos \varphi+\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi, \\
\omega_{y}=\dot{\theta} \sin \varphi-\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi . \\
\omega_{z}=\dot{\psi} \cos \theta+\dot{\varphi} .
\end{array}
\]
6. Шар имеет возможность двигаться по плоскости без скольжения. Выразите условия, накладываемые этой связью, через углы Эйлера. Покажите, что эти условия неинтегрируемы и, следовательно, связь неголономна.
7. Покажите, что комплексные собственные значения ортогональной матрицы, описывающей собственное вращение, равны $e^{ \pm i \Phi}$, где $\Phi-$ угол поворота.
8. Докажите, что угол поворота Ф выражается через углы Эйлера следующим образом:
\[
\cos \frac{\Phi}{2}=\cos \frac{\varphi+\psi}{2} \cos \frac{\theta}{2} .
\]
9. Покажите, что три спиновые матрицы Паули антикоммутативны друг относительно друга, т. е. что имеют место равенства
\[
\sigma_{i} \sigma_{j}=-\sigma_{j} \sigma_{i} \quad(i
eq j) .
\]

Покажите, кроме того, что
\[
\sigma_{i} \sigma_{j}-\sigma_{j} \sigma_{i}=2 i \sigma_{k} \quad(i, j, k-\text { в циклическом порядке })
\]

н что $\sigma_{i}^{2}=1$ при всех $i$.
10. Покажите, что $\mathrm{Q}_{\theta}$ можно символически записать в следующем виде:
\[
\mathrm{Q}_{\theta}=e^{i \sigma_{v} \frac{\theta}{2}},
\]

где правая часть написанного равенства рассматривается как степенной ряд, первый член которого равен единичной матрице 1 .
11. Снаряд вылетает в горизонгальном направлении и летит вдоль поверхности Земли. Покажите, что в результате действия силы Кориолиса вектор его скорости будет отклоняться от первоначального направления, причем угол этого отклонения будет в первом приближении пропорционален времени. Докажите, что коэффициент этой пропорциональности равен
\[
\omega \cos \theta \text {, }
\]

где $\omega$ – угловая скорость вращения Земли, а $\theta$-широта, отсчитываемая от полюса. (В Северном полушарии рассматриваемое отклонение направлено вправо.)
12. В опыте Фуко маятник подвешивается на длинной нити и колебания его происходят около точки, связанной с поверностью вращающейся Земли. Вектор его начального количества движения лежит в вертикальной плоскости, проходящей через нить маятника. Показать, что его движение можно представить как колебания в плоскости, равномерно вращающейся со скоростью $2 \pi \cos \theta$ радиан в сутки, где $\theta$ – широта, отсчитываемая от полюса. Каково направление этого вращения? (Если нужно, то можно колебания этого маятника приближенно считать малыми.)