Мы видели, что циклическая координата отсутствует не только в $L$, но и в $H$. Поэтому теоремы о сохранении обобщенных импульсов, полученные нами в $\$ 2.6$, можно было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были высказаны нами в главе 2. Пусть, например, некоторая система будет симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать, что функция $H$ инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому не может содержать угла поворота. Следовательно, этот угол является циклической координатой, и поэтому соответствующий ему кинетический момент будет оставаться постоянным.

О физическом смысле $H$ мы уже говорили в § 2.6. Там было показано, что если $L$ [а согласно уравнению (7.13) также и $H$ ] не является явной функцией $t$, то $H$ есть некоторая постоянная движения. Этот результат можно получить и непосредственно из уравнений (7.12), вычисляя с их помощью производную
\[
\frac{d H}{d t}=\sum_{i}\left(\frac{\partial H_{-}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \dot{p}_{i}\right)+\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Подставив сюда $\dot{q}_{i}$ и $\dot{p}_{i}$ из уравнений (7.12), получим:
\[
\frac{d H}{d t}=\sum_{i}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Отсюда
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} .
\]

Кроме того, в § 2.6 было показано, что если потенциал не зависит от скорости, а уравнения
\[
\boldsymbol{r}_{m}=\boldsymbol{r}_{m}\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, t\right),
\]

описывающие переход к обобщенным координатам, не содержат явно $t$, то $H$ есть полная энергия $T+V$. (Эта теорема верна и в релятивистской механике; см. § 6.5.) Следует, однако, иметь в виду, что условия, когда $H$ является некоторой постоянной и когда $H$ является полной энергией, не тождественны, ибо можег случиться, что уравнения (1.36) будут содержать явно время, а $H$ не будет его содержать. В этом случае $H$ будет некоторой константой движения, но не будет полной энергией.

Во многих задачах механики выражения для обобщенных импульсов легко получить непосредственно из физических соображений. Если, кроме того, гамильтониан будет при этом полной энергией, то можно будет избежать многих формальных процедур, нужных для составления уравнений движения. Рассмотрим простой пример. Пусть требуется составить уравнения движения точки, находящейся в поле центральных сил. Функция $H$ будет тогда полной энергией

а $T$ будет равно
\[
H=T+V(r),
\]
\[
T=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}\right) .
\]

Чтобы получить теперь уравнения Гамильтона, нужно выразить $H$ через обобщенные импульсы, соответствующие координатам $r$ и $\theta$. Обобщенные импульсы будут, очевидно, иметь следующие выражения:
\[
\begin{array}{l}
p_{r}=m v_{r}=m \dot{r}, \\
p_{\theta}=m r v_{\theta}=m r^{2} \dot{\theta} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что
\[
\dot{r}=\frac{p_{r}}{m}, \quad \dot{\theta}=\frac{p_{\theta}}{m r^{2}}
\]

и, следовательно,
\[
H=\frac{p_{r}^{2}}{2 m}+\frac{p_{\theta}^{2}}{2 m r^{2}}+V(r)
\]

Таким образом, мы получили гамильтониан, не составляя сначала лагранжиана. В данном случае мы будем иметь четыре уравнения Гамильтона. Два первых из них будут иметь вид:
\[
\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}, \quad \dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta}}=\frac{p_{\theta}}{m r^{2}}
\]

и не дадут нам ничего нового; два других запишутсл в виде:
\[
\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\theta}^{2}}{m r^{3}}-\frac{\partial V}{\partial r}, \quad \dot{p}_{\theta}=0,
\]
т. е. будут совпадать с уравнениями (3.7) и (3.10).

В качестве другого примера того же рода рассмотрим релятивистский гамильтониан частицы, потенциал которой не зависит от скорости (см, $\S 6.5$ ). В данном случае гамильтониан также будег равен полной энергии, и поэтому можно будет написать:
\[
H=T+V,
\]

где кинегическая энергия $T$ должна быть выражена через количество движения $p$, что легко сделать с помощью равенства (6.44), согласно которому
\[
T^{2}=p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4} .
\]

Таким образом, будем иметь
\[
H=\sqrt{p^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}}+V .
\]

Введение в метод Гамильтона потенциалов, зависящих от скорости, не представляет никаких формальных трудностей, однако при этом априори не ясно, является ли $H$ полной энергией. Мы рассмотрим здесь лишь тот частный случай, когда действующие силы являются электромагнитными. Лагранжиан (нерелятивистский) точки, движущейся в электромагнитном поле, имеет вид
\[
L=\frac{m v^{2}}{2}-q \varphi+\frac{q}{c} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v} .
\]

Отсюда следует, что обобщенные импульсы этой точки равны
\[
p_{i}=m v_{i}+\frac{q}{c} A_{i} .
\]

Далее, по определению $H$ [см. уравнение (7.8)] имеем:
\[
H=\sum_{i} p_{i} v_{i}-L=m v^{2}+\frac{q}{c} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v}-L,
\]

или
\[
H=\frac{m v^{2}}{2}+q \varphi=T+q \varphi .
\]

Таким образом, гамильтониан равен в данном случае полной энергии частицы. Выраженный через обобщенные импульсы (7.21), он будет иметь вид
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(\boldsymbol{p}-\frac{q}{\boldsymbol{c}} \boldsymbol{A}\right)^{2}+q \varphi .
\]

Аналогичный результат получается и для релятивистского гамильтониана частицы, движущейся в электромагнитном поле. Обобщенные импульсы (6.52) будут здесь, так же как и в классическом случае, содержать дополнительные слагаемые $\frac{q A_{i}}{c}$, которые в конечном счете исчезнут вследствие сокращения членов с векторным потенциалом. Поэтому гамильтониан здесь опять будет равен полной энергии
\[
H=T+q \varphi .
\]

Для окончательного вычисления гамильтониана заметим, что четвертая составляющая 4 -импульса [см. уравнение (6.58)] равна здесь $\frac{i H}{c}$, а релятивистская кинетическая энергия можег быть выражена равенством (6.59). Поэтому $H$ будет в данном случае иметь вид
\[
H=\sqrt{\left(\boldsymbol{p}-\frac{q \boldsymbol{A}}{c}\right)^{2} c^{2}+m^{2} c^{4}}+q \varphi .
\]

Интересно сравнить гамильтонианы (7.22) и (7.23)’ с соответствующими гамильтонианами в случае потенциалов, не зависящих от скорости. Если потенциал $V$ не зависит от скорости, то р равно
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+V,
\]

где $m$-масса частицы. Отсюда видно, что для того, чтобы эта формула совпадала с формулой (7.22), достаточно заменить $V$ на $q \varphi$, а импульс $\boldsymbol{p}$ на $\boldsymbol{p}-\frac{\boldsymbol{q}}{\boldsymbol{c}} \boldsymbol{A}$. Точно таким же путем можно образовать релятивистский гамильтониан (7.23) из гамильтониана (7.20); этот способ часто применяется в квантовой механике.

Гамильтонианы (7.20) и (7.23) являются релятивистскими лишь в том смысле, что они приводят к правильным релятивистским уравнениям движения. Однако они не являются ковариантными. Ковариантный гамильтониан $H^{\prime}$ можно получить, применяя преобразования Лежандра к ковариантному лагранжиану $L^{\prime}$, рассмотренному в предыдущей главе. При этом вместо времени $t$ следует пользоваться инвариантным временем $\tau$ и вместо обобщенного 3 -импульса рассматривать обобщенный 4 -импульс. В релятивистских обозначениях ковариантный гамильтониан частицы запишется в виде
\[
H^{\prime}=p_{\lambda} u_{\lambda}-L^{\prime},
\]

а соответствующие восемь уравнений движения будут иметь вид:
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{\lambda}}=\frac{d x_{\lambda}}{d \tau}, \quad \frac{\partial H^{\prime}}{\partial x_{\lambda}}=-\frac{d p_{\lambda}}{d \tau} .
\]

В частном случае, когда действующие на частицу силы являются электромагнитными, лагранжиан $L^{\prime}$ равен
\[
L^{\prime}=\frac{1}{2} m u_{\lambda} u_{\lambda}+\frac{q}{c} A_{\lambda} u_{\lambda}
\]
[см. уравнение (6.57)], а соответствующие импульсы равны
\[
p_{\lambda}=m u_{\lambda}+\frac{q}{c} A_{\lambda}
\]
[см. уравнение (6.58)]. Тогда согласно (7.24) будем иметь
\[
H^{\prime}=m u_{\lambda} u_{\lambda}+\frac{q}{c} A_{\lambda} u_{\lambda}-\frac{1}{2} m u_{\lambda} u_{\lambda}-\frac{q}{c} A_{\lambda} u_{\lambda}=\frac{1}{2} m u_{\lambda} u_{\lambda},
\]

или, вводя сюда $p_{\lambda}$, получаем
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2 m} \sum_{\lambda}\left(p_{\lambda}-\frac{q}{c} A_{\lambda}\right)^{2} .
\]

Если пользоваться полученным ковариантным гамильтонианом, то пространственная часть уравнений (7.25) приведет нас, очевидно, к пространственным уравнениям движения. Однако, кроме того, появятся еще два уравнения, получающиеся при $\lambda=4$. Одно из них устанавливает тот факт, что $p_{4}$ пропорционально полной энергии. Действительно, полагая в первом уравнении (7.25) $\lambda=4$, будем иметь:
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{4}}=\frac{p_{4}-\frac{q}{c} A_{4}}{m}=u_{4},
\]

или
\[
p_{4}=\frac{i}{c}(T+q \varphi)=\frac{i E}{c} .
\]

Этот результат уже отмечался нами ранее. Другое из этих уравнений можно записать в виде
\[
\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \frac{d p_{4}}{d t}=-\frac{1}{i c} \frac{\partial H^{\prime}}{\partial t},
\]

или
\[
\frac{d H}{d t}=\sqrt{1-\beta^{2}} \frac{\partial H^{\prime}}{\partial t} .
\]

Но из сравнения формул (7.26) и (7.23) следует, что
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial t}=\frac{T}{m c^{2}} \frac{\partial H}{\partial t},
\]

и поэтому предыдущее равенство принимает вид
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t},
\]

что мы уже имели раньше в равенстве (7.19).

Ковариантный гамильтониан, так же как ковариантный лагранжиан, можно образовать только в том случае, когда потенциалы всех действующих сил выражаются ковариантным образом. Мы знаем, однако, что это возможно не всегда и что в настоящее время электромагнитные силы представляют единственный простой пример, когда ковариантная формулировка оказывается возможной.

Таким образом, мы видим, что принципиально релятивистская механика также может быть построена на основе метода Гамильтона. Однако для упрощения изложения мы бо́льшую часть последующих рассуждений будем проводить в рамках нерелятивистской механики.