Материал предыдущих параграфов дает нам необходимый математический аппарат для описания движения твердого тела. Мы знаем, что ориентация твердого тела в некоторый момент времени может быть задана посредством ортогонального преобразования, элементы которого можно выразить через подходящую систему параметров. С течением времени ориентация этого тела будет меняться и, следовательно, матрица преобразования будет функцией времени, что можно записать в виде равенства $\mathrm{A}=\mathrm{A}(t)$. Если оси, связанные с телом, выбраны так, что при $t=0$ они совпадают с неподвижными осями, то в этот момент преобразование будет тождественным, и мы будем иметь:
\[
\mathrm{A}(0)=1 \text {. }
\]

В каждый следующий момент времени преобразование $\mathbf{A}(t)$ будет, вообще говоря, нетождественным, и так как физически реальное движение должно быть непрерывным, то матрица $\mathrm{A}(t)$ будет непрерывной функцией времени. Таким образом, рассматриваемое преобразование будет начинаться с тождественного и затем непрерывно изменяться.

При таком методе описания движения мы можем получить важные его характеристики, пользуясь лишь развитым выше математическим аппаратом. Одной из основных теорем здесь является так называемая теорема Эйлера, согласно которой произвольное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси. Перейдем к ее доказательству.

Если названную неподвижную точку принять за начало системы, связанной с телом, то перемещение твердого тела не вызовег смещения связанных с ним осей, а лишь изменит их ориентацию. Тогда согласно этой теореме систему осей, связанных с телом, можно в каждый момент времени $t$ получить посредством одного поворота начальной системы осей (которая совпадает с неподвижной системой координат). Иначе говоря, oneрация, которую выражает матрица A, описывающая перемещение этого твердого тела, является вращением. Но характерной чертой вращения является то, что при этой операции не изменяется одно из направлений, именно направление оси вращения. Поэтому любой вектор, направленный вдоль оси вращения, должен в начальной и конечной системах координат иметь пропорциональные составляющие. Другое необходимое условие, характеризующее вращение, состоит в том, что величины преобразуемых векторов при этом не изменяются. Это условие автоматически обеспечивается условиями ортогональности и, следовательно, для доказательства теоремы Эйлера достаточно показать, что существует вектор $\boldsymbol{R}$, имеющий одинаковые составляющие в обеих системах координат. Пользуясь матричной символикой, можно, таким образом, написать
\[
\mathrm{R}^{\prime}=\mathrm{AR}=\mathrm{R} .
\]

Это уравнение является частным случаем более общего уравнения
\[
\mathrm{R}^{\prime}=\mathrm{AR}=\lambda \mathrm{R},
\]

в котором $\lambda$-некоторая постоянная, возможно комплексная. Значения $\lambda$, при которых уравнение (4.74) имеет отличные от нуля решения, называются характеристическими или собственными значениями матрицы А. Поэтому задачу об отыскании векторов, удовлетворяющих уравнению (4.74), называют задачей о собственных значениях данной матрицы. Векторы, удовлетворяющие этому уравнению, называют собственными векторами матрицы А. Таким образом, теорему Эйлера можно сформулировать в виде следующего утверждения: одним из собственных значений вещественной ортогональной матрицы, определяющей движение твердого тела с одной неподвижной точкой, всегда является +1 .
Уравнение (4.74) можно записать в виде

или
\[
(\mathrm{A}-\lambda 1) \mathrm{R}=0,
\]
\[
\left.\begin{array}{rl}
\left(a_{11}-\lambda\right) X+a_{12} Y+a_{13} Z=0, \\
a_{21} X+\left(a_{22}-\lambda\right) Y+a_{23} Z=0, \\
a_{31} X+a_{32} Y+\left(a_{33}-\lambda\right) Z=0 .
\end{array}\right\}
\]

Уравнения (4.76) представляют систему трех однородных уравнений относительно составляющих $X, Y, Z$ собственного вектора $\boldsymbol{R}$. Поэтому они определяют эти составляющие лишь с точностью до их отношений. Физический смысл этого состоит в том, что однозначно определенным является только направление собственного вектора, а не его величина, так как при умножении собственного вектора на любую постоянную получается опять собственный вектор. Во всяком случае, будучи однородными, уравнения (4.76) могут иметь нетривиальное решение только тогда, когда детерминант, составленный из их коэффициентов, равен нулю. Таким образом, мы получаем уравнение
\[
|\mathrm{A}-\lambda 1|=\left\|\begin{array}{ccc}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{32}-\lambda
\end{array}\right\|=0 .
\]

Уравнение (4.77) известно под названием характеристического или векового уравнения матрицы $\mathbf{A}$; корнями его являются искомые собственные значения. Следовательно, теорема Эйлера сводится к утверждению, что для рассматриваемых вещественных ортогональных матриц характеристическое уравнение должно иметь корень $\lambda=+1$.

В общем случае характеристическое уравнение имеет три корня, и им соответствуют три собственных вектора. Мы часто будем для удобства писать $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ вместо $X, Y, Z$. В этих обозначениях составляющие собственных векторов можно записать в виде $X_{i k}$, где первый индекс обозначает номер составляющей собственного вектора, а второй – номер самого собственного вектора. Тогда каждое из уравнений (4.76) можно будет записать в виде
\[
\sum_{j} a_{i j} X_{j k}=\lambda_{k} X_{i k}
\]

или
\[
\sum_{j} a_{i j} X_{j k}=\sum_{j} X_{i j} \delta_{j} \lambda_{k} .
\]

Каждая часть уравнения (4.78) имеет вид элемента матрицы, являющейся произведением двух матриц: левая часть – произведением матрицы $\mathbf{A}$ на матрицу $\mathbf{X}$ с элементами $X_{j h}$, а правая – произведением матрицы $X$ на матрицу с элементами $\delta_{j k} \lambda_{l}$. Последняя матрица является диагональной и ее элементы суть собственные значения матрицы А. Обозначив эту матрицу через $\lambda$, будем иметь:
\[
\lambda=\left\|\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3}
\end{array}\right\|,
\]

и тогда уравнения (4.78) можно будет записать в виде матричного уравнения
\[
\mathrm{AX}=\mathrm{X} \lambda \text {, }
\]

или, умножая слева на $\mathbf{X}^{-1}$,
\[
\mathrm{X}^{-1} \mathrm{AX}=\lambda \text {. }
\]

Левая часть этого уравнения написана в форме матрицы, подобной матрице А. [Чтобы привести ее к виду (4.41), нужно обозначить $X^{-1}$ через Y.] Таким образом, уравнение (4.80) позволяет следующим образом сформулировать задачу об отыскании собственных значений матрицы: нужно найти такую матрицу, которая преобразовывает данную матрицу А в диагональную. Элементы полученной диагональной матрицы будут тогда искомыми собственными значениями.

Докажем теперь несколько́ простых лемм, касающихся собственных значений матрицы.
1. Модуль каждого собственного значения равен единице.
Это утверждение следует из ортогональности матрицы А Следует заметить, что, хотя все элементы матрицы А являются вещественными, однако корни. характеристического уравнения могут, очевидно, быть комплексными. В этом случае соответствующие собственные векторы также будут комплексными, и в реальном физическом пространстве такому вектору не будет соответствовать никакой образ. Величина комплексного вектора определяется не суммой квадратов его составляющих, а суммой квадратов модулей его составляющих. Поэтому можно написать:
\[
|X|^{2}+|\boldsymbol{Y}|^{2}+|Z|^{2}=\boldsymbol{R}^{*} \cdot \boldsymbol{R}=|\boldsymbol{R}|^{2} .
\]

Но вследствие ортогональности рассматриваемой матрицы модуль комплексного вектора $\boldsymbol{R}$ не должен изменяться во время преобразования. Поэтому будем иметь:
\[
\boldsymbol{R}^{*^{\prime}} \cdot \boldsymbol{R}^{\prime}=\boldsymbol{R}^{*} \cdot \boldsymbol{R}
\]

Но если $\boldsymbol{R}$ является собственным вектором, то

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{R}^{*^{\prime}} \cdot \boldsymbol{R}^{\prime}=\lambda^{*} \lambda \boldsymbol{R}^{*} \cdot \boldsymbol{R},
\]
\[
\lambda^{*} \lambda=1,
\]

что и требовалось доказать. Конечно, эта лемма ничего не говорит об аргументе числа $\lambda$.
2. Если ортогональная квадратная матрица третьего порядка является вещественной, то по крайней мере одно из ее собственных значений также является вещественным.

Характеристическое уравнение (4.77) является кубическим уравнением вида
\[
\lambda^{3}+b \lambda^{2}+c \lambda+d=0,
\]

и так как матрица $\mathbf{A}$ является вещественной, то все его коэффициенты тоже будут вещественными. Но при больших отрицательных $\lambda$ левая часть уравнения (4.83) будет отрицательной, а при больших положительных $\lambda$ она будет положительной. Следовательно, график функ-
Рис. 43. График функцни, стоящей в левой части уравнения $(4.83)$.

ции, изображаемой этим кубическим полиномом, должен по крайней мере один раз пересекать ось абсцисс между $\lambda=$ $=-\infty$ и $\lambda=+\infty$, что и доказывает данную лемму. Согласно лемме 1 этот вещественный корень может быть равен только +1 или -1 .

Детерминант матрицы $\lambda$ равен произведению трех собственных значений $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$. Но так как детерминант любой матрицы инвариантен в отношении подобных преобразований, то это произведение равно также детерминанту матрицы $\mathrm{A}$ :
\[
\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3}=|\mathrm{A}| \text {. }
\]

Следовательно, оно может иметь только два значения: +1 или -1 Лемма 3 , когорую мы сейчас докажем, устанавливает, что значение -1 должно быть исключено.
3. Произведение корней векового детерминанта должно при всех возможных перемещениях твердого тела быть равным +1 .

Рассмотрим простейшую матрицу с детерминантом, равным -1:
\[
S=\left\|\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right\|=-1 .
\]

Преобразование $S$ изменяет знак каждой из составляющих вектора. Можно также сказать, что оно изменяет направления координатных осей на противоположные (рис. 44) и превращает правую систему координат в левую; оно известно как инверсия.
Так как эта операция преобразует правую систему координат в левую, то ясно, что инверсия не может быть осуществлена посредством поворота системы координатных осей как твердого тела. ПоэтоРис. 44. Инверсия координатрых осей.
ных осей как твердого тела. Поэтому инверсия не соответствует никакому реальному физическому перемещению твердого тела.

Bсе то, что верно для матрицы $S$, в равной мере верно и для любой матрицы, детерминант которой равен – 1 , так как каждую такую матрицу можно представить как произведение матрицы S на некоторую матрицу, детерминант которой равен +1 . Следовательно, такая матрица включает в себя операцию инверсии и поэтому не может описывать поворот системы координат как твердого тела. Стало быть, преобразования, описывающие движение твердого тела, должны быть ограничены матрицами, имеющими детерминант, равный +1 .

Другое доказательство этой леммы основывается на том факте, что матрица рассматриваемого преобразования может быть получена посредством непрерывного изменения единичной матрицы, детерминант которой, разумеется, равен +1 . Поэтому было бы несовместимо с непрерывностью движения, если бы детерминант этой матрицы изменялся в некоторый момент времени скачком, от значения +1 до значения $-1^{*}$ ).
*) Ортогональные преобразования с детерминантом, равным -1 , называют несобственными вращениями в отличие от преобразований с детерминантом +1 , которые согласно теореме Эйлера являются собственными вращениями.

Теперь нам потребуется еще одна лемма.
4. Число, комплексно сопряженное собственному значению, есть также собственное значение.

Это утверждение непосредственно следует из вещественности коэффициентов векового уравнения (4.83). Действительно, если $\lambda$ есть некоторое решение уравнения (4.83), то, образовав уравнение, комплексно́ сопряженное уравнению (4.83), мы увидим, что $\lambda^{*}$ есть решение того же самого уравнения. Таким образом, комплексные собственные значения всегда входят попарно и являются комплексно сопряженными по отношению друг к другу.

Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1 . Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или -1 . Далее, если все эти корни будут веществснными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1 , так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1 . Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны +1 (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно +1 . Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1 , так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение +1 , что и утверждает теорема Эйлера.

Направляющие косинусы оси вращения можно получить теперь, полагая в уравнениях (4.76) $\lambda=1$ и разрешая их относительно $\left.X, Y, Z^{*}\right)$. Угол поворота Ф также может быть найден без особого труда. Для этого представим себе, что мы перешли к системе координат, в которой ось $z$ направлена вдоль оси вращения. В этой системы мы вместо матрицы А будем иметь
*) Если некоторые корни векового уравнения являются кратными, то соответствующие собственные векторы нельзя найти таким простым путем (см. $\S \$ 5.4$ и 10.2). Действительно, если не все собственные значения матрицы сбщего вида являются различными, то ее не всегда можно диагонализировать. Однако здесь нас это не должно беспокоить, потому что, как показывает теорема Эйлера, у каждой нетривиальной ортогональной матрицы корень +1 является простым.

матрицу $\mathrm{A}^{\prime}$, описывающую поворот оси $z$ на угол Ф. Эта матрица имеет вид:
\[
A^{\prime}=\left\|\begin{array}{ccc}
\cos \Phi & \sin \Phi & 0 \\
-\sin \Phi & \cos \Phi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right\| .
\]

След матрицы $\mathbf{A}^{\prime}$ (см. §4.5) равен
\[
1+2 \cos \Phi
\]

и так как след матрицы инвариантен относительно подобных преобразований, то матрица А должна иметь тот же след. Таким образом, мы получаем равенство
\[
\sum_{i} a_{i l}=1+2 \cos \Phi,
\]

определяющее угол поворота через элементы матрицы. Выражая, например, элементы $a_{i i}$ через углы Эйлера, мы можем получить угол поворота Ф как функцию углов $\varphi, \theta, \psi$, являющихся углами последовательных вращений.

Непосредственным следствием теоремы Эйлера является теорема Шаля, согласно которой произвольное перемещение твердого тела в пространстве является поступательным перемещением плюс вращение. Подробное доказательство этой теоремы вряд ли является необходимым. Она вытекает из того простого факта, что в случае уничтожения связи, удерживающей одну точку тела неподвижной, появляются три степени свободы для начала координат системы, связанной с телом.