Константы движения и свойства симметрии. В связи с дальнейшим рассмотрением скобок Пуассона мы введем понятие бесконечно малых канонических преобразований. Қак и в случае бесконечно малых поворотов, это будут такие-преобразования, при которых переменные $q, p$ изменяются на бесконечно малые величины. (Поэтому все расчеты мы будем производить лишь с точностью до членов первого порядка малости относительно этих величин.) Уравнения такого преобразования можно записать в виде:
\[
\begin{array}{l}
Q_{i}=q_{i}+\delta q_{i}, \\
P_{i}=p_{i}+\delta p_{i},
\end{array}
\]

где $\delta q_{i}$ и $\delta p_{i}$ – бесконечно малые приращения координат и импульсов (а не виртуальные изменения этих величин). Ясно, что производящая функция такого преобразования будет бесконечно мало отличаться от функции (8.18), осуществляющей тождественное преобразование. Поэтому производящую функцию рассматриваемого преобразования можно записать в виде
\[
F_{2}=\sum_{i} q_{i} P_{i}+\varepsilon G(q, P),
\]

где $\varepsilon$-бесконечно малый параметр преобразования. Тогда согласно равенствам (8.11a) будем иметь
\[
\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}=p_{i}=P_{i}+\varepsilon \frac{\partial G}{\partial q_{i}},
\]

или
\[
P_{i}-p_{i}=\delta p_{i}=-\varepsilon \frac{\partial G}{\partial q_{i}} .
\]

Аналогично из равенств (8.11b) получим
\[
Q_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{i}}=q_{i}+\varepsilon \frac{\partial G}{\partial P_{i}} .
\]

Второй член этой суммы является величиной первого порядка малости относительно $\varepsilon$. Но так как $P_{i}$ бесконечно мало отличается от $p_{i}$, то с точностью до величин первого порядка малости
*) Этот результат иногда называют теоремой IIуассона.

можно $G(q, P)$ заменить на $G(q, p)$, а $\frac{\partial G}{\partial P_{i}}-$ на $\frac{\partial G}{\partial p_{i}}$. Поэтому последнее равенство можно записать в виде
\[
\delta q_{i}=\varepsilon \frac{\partial G}{\partial p_{i}} .
\]

Хотя, строго говоря, термин «производящая функция» применим лишь к функции $F$, однако его обычно применяют и к функции $G$. Мы также будем этому следовать.

Интересным примером бесконечно малого канонического преобразования является такое преобразование, при котором $G=H(q, p)$, а $\varepsilon$ есть бесконечно малый интервал времени $d t$. Тогда для $\delta q_{i}$ и $\delta p_{i}$ будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
\delta q_{i}=d t \frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\dot{q}_{i} d t=d q_{i}, \\
\delta p_{i}=-d t \frac{\partial H}{\partial q_{i}}=\dot{p}_{i} d t=d p_{i} .
\end{array}
\]

Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом таким образом, что вместо значений $q(t)$ и $p(t)$ они приобретают значения, равные $q(t+d t)$ и $p(t+d t)$. Следова гельно, изменение состояния системы за время $d t$ можно получить посредством бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого гамильтонианом $H$. Отсюда следуст, что изменение состояния системы за время от $t_{0}$ до $t$ можно получить с помощью последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Но так как два последовательных канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому преобразованию, то переход от $q\left(t_{0}\right), p\left(t_{0}\right)$ к $q(t), p(t)$ можно получить с помощью канонического преобразования, зависящего от $t$. Таким образом, движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является гамильтониан.

Ясно, что существует и обратное каноническое преобразование, превращающее координаты $q(t)$ и импульсы $p(t)$ в постоянные величины $q\left(t_{0}\right)$ и $p\left(t_{0}\right)$. Получение такого преобразования, очевидно, эквивалентно полному решению задачи о движении данной системы. В начале этой главы указывалось, что решение задачи о движении системы можно свести к нахождению такого канонического преобразования, при котором все импульсы получаются постоянными. Сейчас мы видим, что, кроме того, возможно такое каноническое преобразование, при котором постоянными величинами становятся не только импульсы, но и координаты. В следующей главе мы рассмотрим каждую из этих возможностей и покажем, как таким путем можно получить формальное решение каждой механической задачи.

Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции $u(q, p)$ в результате такого преобразования. Здесь необходимо объяснить, что́ мы понимаем под словом «изменение» функции. Раньше, когда мы «преобразовывали» величину $u(q, p)$ к новым переменным, мы вместо $q$ и $p$ подставляли в $u$ выражения $q(Q, P)$ и $p(Q, P)$. Таким путем мы получали зависимость $и$ от новых переменных. При этом функциональная зависимость $u$ от $Q$ и $P$ оказывается в общем случае не такой, как зависимость $u$ от $q$ и $p$. Однако численное значение $u$, соответствующее данному состоянию системы, при этом не изменяется, так как $u(q, p)$ есть функция точек фазового пространства и ее значения, конечно, не зависят от вида координат, которыми мы задаем эти точки. Теперь же мы будем рассматривать «изменение» функции и и в другом смысле этого слова. Мы будем понимать под ним численное изменение величины $u$ в результате замены аргумента $q$ на $Q$ и аргумента $p$ на $P$. Функциональная зависимость $u$ от старых и новых переменных будет при этом одной и той же, но точка фазового пространства, в которой мы вычисляем $u$, будет при этом изменяться. Рассмотрим, например, бесконечно малое преобразование (8.65). В этом случае мы, подставляя в функцию $u(q, p)$ переменные $Q$ и $P$ вместо $q$ и $p$, переходим от значения $u(t)$ к значению $u(t+d t)$.

Таким образом, мы под изменением функции и в результате бесконечно малого канонического преобразования будем понимать
\[
\delta u=u\left(q_{i}+\delta q_{i}, p_{i}+\delta p_{i}\right)-u\left(q_{i}, p_{i}\right) .
\]

Раскладывая эту разность в ряд Тейлора и ограничиваясь членами первого порядка малости, мы будем иметь
\[
\delta u=\sum_{i}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\frac{\partial u}{\partial p_{i}} \delta p_{i}\right) .
\]

Подставляя сюда $\delta q_{i}$ и $\delta p_{i}$ из равенств (8.64), получаем
\[
\delta u=\varepsilon \sum_{i}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}-\frac{\partial u}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}\right),
\]

или окончательно:
\[
\delta u=\varepsilon[u, G] .
\]

Положив здесь $u=H$, мы получим следующую формулу для изменения гамильтониана при бесконечно малом каноническом преобразовании:
\[
\delta H=\varepsilon[H, G] .
\]

Мы уже говорили, что если функция $G(q, p)$ есть первый интеграл уравнений движения, то
\[
[H, G]=0 .
\]

Но из равенства (8.67) можно заключить, что бесконечно малое каноническое преобразование, осуществляемое такой пройзводящей функцией, не изменяет величины гамильтониана $H$, Поэтому можно высказать следующее утверждение:

Все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан.

Что касается преобразований, не изменяющих величины $H$, то их можно найти, если обратиться к свойствам симметрии системы, так как если физическая система симметрична относительно определенных изменений ее конфигурации, то гамильтониан ее должен при соответствующем преобразовании оставаться неизменным. Поэтому все функции, остающиеся в процессе движения постоянными (все первые интегралы уравнений движения), можно получить путем исследования свойств симметрии гамильтониана, что равносильно полному решению задачи о движении системы. С этой связью между константами движения и свойствами симметрии мы уже встречались в $\$ 2.6$, когда говорили о сохранении обобщенных импульсов. Однако результат, полученный нами теперь, является более изящным и болееполным, так как сейчас речь идет о всех константах движения, а не только об обобщенных импульсах.

Теоремы о сохранении, полученные нами ранее, будут теперь частными случаями того общего положения, которое мы сейчас высказали. Пусть, например, координата $q_{i}$ является циклической. Тогда гамильтониан ее не будет зависеть от $q_{i}$ и, следовательно, не будет изменяться при бесконечно малом каноническом преобразовании, изменяющем только $q_{i}$. Уравнения такого преобразования будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\delta q_{j}=\varepsilon \delta_{i j} \\
\delta p_{j}=0
\end{array}\right\}
\]

где $\varepsilon$ – бесконечно малое изменение координаты $q_{i}$. Но из формул (8.64) видно, что единственной функцией $G$, осуществляющей такое преобразование, является функция
\[
G=p_{i},
\]

представляющая обобщенный импульс, соответствующий координате $q_{i}$. Таким образом, мы получили известную теорему о сохранении обобщенного импульса, согласно которой импульс, соответствующий циклической координате, есть величина постоянная.

В качестве еще одной иллюстрации рассмотрим бесконечно малое каноническое преобразование, соответствующее повороту системы в целом на угол $d \theta$. Физический смысл производящей функции этого преобразования, очевидно, не зависит от выбора канонических координат, и поэтому мы будем пользоваться декартовыми координатами точек системы. Кроме того не уменьшая общности, можно считать, что рассматриваемый поворот совершается вокруг оси $z$. Тогда координаты каждой точки будут изменяться так, как будто система остается в покое, а координатные оси поворачиваются на угол $-d \theta$. Поэтому с точностью до величин первого порядка относительно $d \theta$ мы будем иметь следующие выражения для новых координат:
\[
\begin{array}{l}
X_{i}=x_{i}-y_{i} d \theta, \\
Y_{i}=y_{i}+x_{i} d \theta, \\
Z_{i}=z_{i}
\end{array}
\]
[см. формулы (4.90)]. Отсюда видно, что бесконечно малые изменения координат будут равны:
\[
\delta x_{i}=-y_{i} d \theta, \quad \delta y_{i}=x_{i} d \theta, \quad \delta z_{i}=0 .
\]

Аналогичные соотношения мы, очевидно, будем иметь и для компонент импульсов $p_{i}$, так как при повороте системы они преобразуются так же, как и координаты. Сравнивая теперь равенства (8.70) с равенствами (8.64), мы видим, что производящей функцией данного преобразования является функция
\[
G=\sum_{i}\left(x_{i} p_{i y}-y_{i} p_{i x}\right),
\]

а роль бесконечно малого параметра $\varepsilon$ играет угол $d \theta$. Убедиться в этом можно непосредственной проверкой, которая показывает, что при этом имеют место равенства:
\[
\begin{array}{ll}
\delta x_{i}=d \theta \frac{\partial G}{\partial p_{i x}}=-y_{i} d \theta, \quad \delta p_{i x}=-d \theta \frac{\partial G}{\partial x_{i}}=-p_{i y} d \theta, \\
\delta y_{i}=d \theta \frac{\partial G}{\partial p_{i y}}=x_{i} d \theta, \quad \delta p_{i y}=-d \theta \frac{\partial G}{\partial y_{i}}=p_{i x} d \theta,
\end{array}
\]

совпадающие с равенствами (8.70). Производящая функция (8.71) имеет простой физический смысл: она представляет собой $z$-компоненту кинетического момента системы
\[
C=L_{z} \text {. }
\]

Так как ось $z$ может иметь произвольное направление, то мы приходим к выводу, что производящая функция, осуществляющая любой бесконечно малый поворот, имеет вид
\[
G=\boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{n},
\]

где $\boldsymbol{n}$ – единичный вектор вдоль оси этого поворота. Таким образом, кинетический момент является производящей функцией вращательного движения системы (подобно тому, как гамильтониан является производящей функцией ее фактического движения).

Этот результат следует, конечно, и непосредственно из равенства (8.69). Если в качестве одной из канонических координат взять угол, характеризующий поворот системы в целом, то соответствующий канонический импульс будет, как мы знаем, составляющей кинетического момента вдоль оси вращения (см. § 2.6). Таким образом, равенство (8.72) является частным случаем равенства (8.69).