Свободные колебания возникают в том случае, когда систему выводят из положения равновесия и затем предоставляют самой себе. Однако часто наблюдаются такие колебания, при которых внешние силы действуют на систему не только в момент $t=0$, но и в дальнейшем. Частота такого вынужденного колебания определяется тогда не собственными частотами системы, а частотой возмущающей силы. Что же касается вычисления амплитуд таких колебаний, то эта задача сильно упрощается, если гользоваться главными координатами, полученными при исследовании свободных колебаний.

Обозначим через $F_{j}$ обобщенную силу, соответствующую координате $\eta_{j}$. Тогда согласно (1.46) обобщенная сила $Q_{i}$, соответствующая главной координате $\zeta_{i}$, будет равна
\[
Q_{i}=\sum_{j} a_{i} F_{j} .
\]

В главных координатах уравнения движения системы будут иметь вид
\[
\ddot{\zeta}_{i}+\omega_{i}^{2} \zeta_{i}=Q_{i},
\]
т. е. будут представлять систему, состоящую из $n$ неоднородных дифференциальных уравнений. Зная функции $Q_{i}(t)$, мы можем решить ее, и хотя это решение будет сложнее, чем в случае свободных колебаний, однако преимущество главных координат сохраняется и здесь, так как каждое из уравнений (10.58) содержит лишь одну координату.

Изменение возмущающей силы со временем часто совершается по синусоидальному закону. Примером может служить возмущающая сила в виде давления звуковой волны, действующей на систему, так как $Q_{i}$ будет иметь тогда ту же частоту, что и звуковая волна. Другой пример дает нам многоатомная молекула, на которую падает пучок монохроматического света. В этом случае на каждый атом молекулы будет действовать возмущающая электрическая сила, изменяющаяся по синусоидальному закону с частотой падающего света. Во всех таких случаях сила $Q_{i}$ может быть записана в виде
\[
Q_{i}=Q_{0 i} \cos \left(\omega t+\delta_{i}\right),
\]

а уравнения (10.58), в виде
\[
\ddot{\zeta}_{i}+\omega_{i}^{2} \zeta_{i}=Q_{\theta i} \cos \left(\omega t+\delta_{i}\right)
\]

где $\omega$ – круговая частота возмущающей силы. Общее решение каждого уравнения (10.60) состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения (свободное колебание) плюс частное решение данного неоднородного уравнения. Однако при соответствующих начальных условиях первое из них обращается в нуль*). Поэтому мы сосредоточим свое внимание на частных решениях уравнений ( 10.60 ), которые будут иметь вид
\[
\zeta_{i}=B_{i} \cos \left(\omega t+\delta_{i}\right)
\]

Амплитуды $B_{i}$ определяются здесь посредством подстановки частных решений (10.61) в уравнения (10.60):
\[
B_{i}=\frac{Q_{0 i}}{\omega_{i}^{2}-\omega^{2}},
\]

откуда
\[
\eta_{i}=\sum_{i} a_{j i} \zeta_{i}=\sum_{i} \frac{a_{j l} Q_{0 i} \cos \left(\omega t+\delta_{i}\right)}{\omega_{i}^{2}-\omega^{2}} .
\]

Таким образом, полное колебание будет здесь тоже линейной комбинацией главных колебаний, но каждое главное колебание будет иметь теперь одну и ту же частоту, равную частоте возмущающей силы.

Амплитуда каждого колебания определяется двумя факторами. Первый из них – это амплитуда возмущающей силы, т. е. $Q_{0 i}$. Если сила, действующая на точку, не имеет составляющей
*) Свободные колебания являются, в сущности, временными. Если к системе, находящейся в равновесии, приложить возмущающие силы, медленно изменяющиеся от нуля, то свободные колебания вообще не возникнут. Другим аргументом в пользу игнорирования свободных колебаний является наличие диссипативных сил (см. следующий параграф), которые уменьшают амплитуду свободных колебаний до нуля.

в направлении некоторого главного колебания, то, очевидно, соответствующая обобщенная сила будет равна нулю и $Q_{0 i}$ обратится в нуль. Другими словами, внешняя сила может возбудить главное колебание только в том случае, если она стремится двигать точку в направлении этого колебания.

Вторым фактором является близость частот возмущающей силы и свободного колебания. Как видно из формулы (10.62), амплитуда $B_{i}$ будет по сравнению с другими амплитудами тем больше, чем ближе $\omega$ к $\omega_{i}$. Формально мы получаем при $\omega=\omega_{i}$ даже бесконечно большую амплитуду, что представляет хорошо известное явление резонанса. В действительности, конечно, формула (10.62) справедлива только при малых отклонениях от равновесия. В дальнейшем увидим, что в реальных колебаниях амплитуда остается конечной и при резонансе. Заметим, что фаза вынужденного колебания совпадает с фазой возмущающей силы только при $\omega<\omega_{i}$, а при $\omega>\omega_{i}$ эти фазы отличаются на $\pi$.

Bсе наши рассуждения были до сих пор не вполне реальными, так как мы не учитывали диссипативных сил (сил трения). В большинстве физических систем эти силы пропорциональны скоростям движущихся точек и поэтому могут быть получены с помощью диссипативной функции $\mathfrak{F}$ (см. § 1.5). Рассмотрим сейчас влияние этих сил на свободные колебания:

По определению $\mathfrak{F}$ представляет собой однородную квадратичную функцию скоростей. Поэтому
\[
\mathfrak{F}=\frac{1}{2} \sum_{i, j} \mathfrak{F}_{i j} \dot{\eta}_{i} \dot{\eta}_{j},
\]

где коэффициенты $\mathfrak{F}_{i j}=\mathfrak{F}_{j i}$ являются некоторыми функциями координат. Однако, так как мы рассматриваем только малые отклонения от положения равновесия, то, раскладывая $\mathfrak{F}_{i j}$ в степенные ряды в окрестности этого положения, мы можем ограничиться лишь первыми членами этих рядов, т. е. считать коэффициенты $\mathfrak{F}_{i j}$ постоянными (подобно тому, как мы это делали для кинетической энергии). Заметим, что функция $2 \mathfrak{F}$ выражает скорость рассеивания энергии вследствие трения и поэтому она не может быть отрицательной.

Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений Лагранжа:
\[
\sum_{j} T_{i j} \ddot{\eta}_{j}+\sum_{j} \Im_{i j} \dot{\eta}_{j}+\sum_{j} V_{i j} \eta_{j}=0
\]
(cм. $\S 1.5)$.
Иногда преобразование, диагонализирующее $T$ и $V$, диагонализирует и $\mathfrak{F}$. Это, в частности, имеет место в том случае, когда диссипативная сила пропорциональна не только скоростям частиц, но и их массам. В этих исключительных случаях уравнения движения в главных координатах будут иметь вид
\[
\ddot{\zeta}_{i}+\mathfrak{F}_{i} \dot{\zeta}_{i}+\omega_{i}^{2} \zeta_{i}=0,
\]

где $\mathfrak{F}_{i}$ – положительные коэффициенты диагонализированной формы $\mathfrak{F}$. Уравнения (10.66) образуют систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, и их решения можно записать в виде
\[
\xi_{i}=C_{i} e^{-i \omega_{i}^{\prime} t},
\]

причем $\omega_{i}^{\prime}$ должны удовлетворять уравнениям
\[
\omega_{i}^{\prime 2}+i \omega_{i}^{\prime \prime \mathfrak{\mho}_{i}}-\omega_{i}^{2}=0 .
\]

Каждое из этих уравнений имеет корни
\[
\omega_{i}^{\prime}= \pm \sqrt{\omega_{i}^{2}-\frac{\mathfrak{F}_{i}^{2}}{4}}-i \frac{\mathfrak{F}_{i}}{2}
\]

откуда видно, что функции $\zeta_{i}$ не являются строго периодическими, так как числа $\omega_{i}^{\prime}$ содержат мнимые части. Вследствие этого функции $\zeta_{i}(t)$ будут содержать непериодические множители $e^{-\widetilde{\mathscr{E}}_{i} t / 2}$, и так как $\mathfrak{F}_{i}>0$, то при $t \rightarrow \infty$ они будут стремиться к нулю. Этот результат следовало, конечно, ожидать, так, как, совершая колебания, рассматриваемая система производит работу против сил трения, что приводит к непрерывному уменьшению ее энергии (а следовательно, и амплитуды колебаний). Частота изменения функции $\zeta_{i}(t)$ определяется вещественной частью равенства (10.68), и, как видно из этого равенства, трение уменьшает частоту $\omega_{i}$ до величины $\sqrt{\omega_{i}^{2}-\frac{\mathfrak{F}_{i}^{2}}{4}}$. Однако если рассеивание мало, то квадратным членом $\mathfrak{F}_{i}^{2}$ можно пренебречь, и частоту колебания можно считать равной собственной частоте при отсутствии трения. Тогда колебание, описываемое функцией $\zeta_{i}(t)$, можно будет рассматривать как экспоненциально демпфированное свободное колебание. В этом случае будем иметь
\[
\zeta_{i}=C_{i} e^{-\mathfrak{\mho}_{i} t_{i}{ }^{2}} e^{-i \omega_{i} t} .
\]

Если функцию рассеивания нельзя диагонализировать одновременно с $T$ и $V$, то процедура решения уравнений (10.65) становится более сложной. Однако общий характер решения остается при этом в основном тем же. Будем искать решение уравнений (10.65) в виде
\[
\eta_{j}=C a_{j} e^{-i \omega t}=C a_{j} e^{x^{t}} e^{-2 \pi i v t} .
\]

Подставив эти выражения в (10.65), получим
\[
\sum_{j} V_{i j} a_{j}-i \omega \sum_{j} \mathfrak{F}_{i j} a_{j}-\omega^{2} \sum_{j} T_{i j} a_{j}=0,
\]

или, полагая $\omega=i \gamma$ :
\[
\sum_{j} V_{i j} a_{j}+\gamma \sum_{j} \mathfrak{F}_{i j} a_{j}+\gamma^{2} \sum_{j} T_{i j} a_{j}=0 .
\]

У’равнения (10.71) или (10.71′) являются линейными однородными уравнениями относительно $a_{j}$ и имеют нетривиальные решения лишь при определенных комплексных значениях $\omega$ (или $\gamma$ ). При этом можно показать, что мнимая часть $\omega$ (или вещественная часть $\gamma$ ) должна быть отрицательной. Чтобы доказать это, умножим (10.71′) на $a_{i}^{*}$ и просуммируем по $i$. Проделав это, получим:
\[
\sum_{i, j} V_{i j} a_{i}^{*} a_{j}+\gamma \sum_{i, j} \mathfrak{F}_{i j} a_{i}^{*} a_{j}+\gamma^{2} \sum_{j} T_{i j} a_{i}^{*} a_{j}=0,
\]

причем из симметричности коэффициентов $V_{i j}, \mathfrak{F}_{i j}$ и $T_{i j}$ следует, что каждая из этих сумм является вещественной (см. $\S 10.2$ ). Полагая теперь $a_{j}=\alpha_{j}+i \beta_{j}$ и подставляя это выражение в (10.72), получаем:
\[
\begin{aligned}
\sum_{i, j} V_{i j}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}+\beta_{i} \beta_{j}\right)+\gamma \sum_{i, j} \tilde{F}_{i j}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}+\beta_{i} \beta_{j}\right)+ \\
+\gamma^{2} \sum_{i, j} T_{i j}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}+\beta_{i} \beta_{j}\right)=0,
\end{aligned}
\]

что представляет собой квадратное уравнение относительно $\gamma$. Корнями его будут комплексно сопряженные числа $\gamma$ и $\gamma^{*}$ и поэтому сумма их будет равна удвоенной вещественной части числа $\gamma$. Но так как сумма корней квадратного уравнения известным образом выражается через его коэффициенты, то можно написать:
\[
\gamma+\gamma^{*}=-2 x=-\frac{\sum \mathfrak{F}_{i j}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}+\beta_{i} \beta_{j}\right)}{\sum T_{i j}\left(\alpha_{i} \alpha_{j}+\beta_{i} \beta_{j}\right)} .
\]

Но диссипативная функция $\mathfrak{F}$ не может быть отрицательной, а функция $T$ является определенно положительной. Следовательно, $x$ есть число положительное или равное нулю.

Таким образом, колебания системы могут только уменьшаться со временем по экспоненциальному закону. Заметим, что если функция $\mathfrak{F}$ является определенно положительной, то $x$ должно быть строго положительным, и каждая функция (10.70) будет иметь экспоненциальный демпфирующий коэффициент.

Частота рассматриваемого колебания определяется вещественной частью $\omega$ и зависит от степени рассеивания энергии, однако если демпфирование не очень велико, то она мало отличается от соответствующей собственной частоты.

Перейдем теперь к последнему вопросу – к исследованию вынужденных колебаний при наличии диссипативных сил. Уравнения этих колебаний имеют вид
\[
\sum_{i} V_{i j} \eta_{j}+\sum_{i} \mathfrak{F}_{i j} \dot{\eta}_{j}+\sum_{j} T_{i j} \ddot{\eta}_{j}=F_{0 i} e^{-i \omega t},
\]

где $F_{0 i} e^{-i \omega t}=F_{i}$ – возмущающая сила, причем $F_{0 j}$ может быть комплексным. Разыскивая часгное решение этих уравнений в виде
\[
\eta_{j}=A_{j} e^{-i \omega t},
\]

получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд $A_{j}$ :
\[
\sum_{j} A_{j}\left(V_{i j}-i \omega \mathfrak{F}_{i j}-\omega^{2} T_{i j}\right)-F_{0 i}=0 .
\]

Решая ее, находим
\[
A_{i}=\frac{D_{l}(\omega)}{D(\omega)},
\]

где $D(\omega)$ – детерминант, составленный из коэффициентов при $A_{j}$, а $D_{j}(\omega)$ получается из $D(\omega)$ посредством замены $j$-го столбца на $F_{01}, \ldots, F_{0 n}$. Нас будет интересовать знаменатель этой дроби, так как именно им определяется резонансная характеристика системы. Поскольку он представляет детерминант векового уравнения, его можно представить в виде
\[
D(\omega)=G\left(\omega-\omega_{1}\right)\left(\omega-\omega_{2}\right)\left(\omega-\omega_{3}\right) \ldots\left(\omega-\omega_{n}\right),
\]

где $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ – комплексные частоты свободных колебаний, a $G$ – некоторая постоянная. Это выражение можно записать также в виде
\[
D(\omega)=G \prod_{i=1}^{n}\left[2 \pi\left(v-v_{i}\right)+i x_{i}\right] .
\]

Желая теперь разделить вещественную и мнимую части $A_{j}$, мы должны будем умножить числитель и знаменатель (10.76) на $D^{*}(\omega)$. Тогда новый знаменатель будет равен
\[
D^{*}(\omega) D(\omega)=G G^{*} \prod_{i=1}^{n}\left[4 \pi^{2}\left(v-v_{i}\right)^{2}+x_{i}^{2}\right],
\]

откуда видно, что резонанс будет иметь место в том случае, когда частота $v$ будет совпадать с одной из резонансных частот $v_{i}$. Однако вследствие наличия постоянных $x_{i}$ знаменатель (10.78) уже не будет обращаться при этом в нуль. Это связано с тем, что возмущающая сила должна теперь совершать работу против сил трения, и поэтому резонансные амплитуды уже не получаются бесконечными.

Колебания, которые мы рассматривали в этой главе, относились к механическим системам. Однако легко видеть, что здесь имеется много сходства с теорией колебания электрических систем. Так, например, уравнения (10.65) можно рассматривать как относящиеся к $n$ электрическим контурам, взаимодействующим друг с другом. Тогда коэффициенты $V_{i j}$ будут играть. роль соответствующих электрических емкостей, коэффициенты $\mathscr{F}_{i j}$ – роль сопротивлений, а коэффициенты $T_{i j}$ – роль индуктивностей. Возмущающие силы $F_{0 i} e^{-i \omega t}$ заменятся тогда электродвижущими силами с частотой $\omega$, приложенными к одному или нескольким контурам, а уравнения (10.74) будут играть роль уравнений (2.39) главы 2.

Изложенные нами здесь методы представляют лишь часть тех методов, которые применяются при исследовании малых колебаний. Однако дальнейшее исследование этого вопроса скорее относится к теории взаимодействия электрических контуров, чем к механике.

Вместо этого мы обратим наше внимание на теорию колебаний непрерывных систем. Исторически переход от дискретных систем к непрерывным (осуществленный Рэлеем и другими) был сделан для исследования колебаний струн, мембран и балок. Другим примером непрерывной системы может служить одна или несколько величин, являющихся функциями $x, y, z$ и $t$ – другими словами, переменное поле. Поэтому, методы изучения непрерывных механических систем могут быть применены и к изучению полей, например к электромагнитному полю. В современной теоретической физике эти методы приобрели важное значение при квантовом исследовании полей элементарных частиц, обнаруженных в последнее время в большом количестве.

В следующей главе мы кратко изложим основные вопросы классической механики непрерывных систем.
З А д ч и
1. Определите главные колебания двойного маятника, изображенного на рис. 5 , считая длины его нитей равными, а массы различными. Покажите, что если нижняя масса мала по сравнению с верхней, то собственные частоты этой системы почти одинаковы. Рассмотрите случай, когда этот маятник приводится в движение посредством небольшого отклонения верхней массы от вертикали. Покажите, что в дальнейшем амплитуда каждой из его масс будет периодически уменьшаться до нуля, а амплитуда другой будет достигать при этом максимума («биение»).
2. Для сведе́ния задачи о линейной трехатомной молекуле к двум степеням свободы можно ввести координаты $y_{1}=x_{2}-x_{1}, y_{2}=x_{3}-x_{2}$ и исключить $x_{2}$ с помощью условия о неподвижности центра масс. Получите частоты главңых колебаний в этих координатах и покажите, что они совпадают с полученными в § 10.4. (Расстояния $y_{1}$ и $y_{2}$ называют внутренними координатами молекулы.)

3. Пусть средний атом молекулы, рассмотренной в § 10.4, будет связан с началом координат пружиной жесткостью $k$. Найдите частоты продольных колебапий этой системы и покажите, что в этом случае не будет частоты $\omega=0$.
4. Молекула состоит из трёх одинаковых атомов, расположенных в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника и связанных пружинами равной жесткости. Получить детерминант векового уравнения, определяющего частоты ее плоских колебаний. Преобразуя столбцы этого детерминанта, покажите, что он имеет трехкратный корень $\omega=0$, и найдите остальные его корни.
5. Пусть молекула, указанная в задаче 4 , совершает одно из следующих движений: а) равномерное поступательное движение в направлении оси $\boldsymbol{x}$, b) равномерное поступательное движение в направлении оси $y$, с) равномерное вращение вокруг оси $z$. Покажите, что в каждом из этих случаев удовлетворяются уравнения ее движения.
6. Покажите, что если возмущающие силы $Q_{i}$ не являются синусоидальными и демпфирование отсутствует, то главные колебания определяются формулами
\[
\zeta_{i}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{G_{i}(\omega)}{\omega_{i}^{2}-\omega^{2}} e^{-i \omega t} d \omega,
\]

где $G_{i}(\omega)$ связано с $Q_{i}$ преобразованием Фурье
\[
Q_{i} \cdot(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} G_{i}(\omega) e^{-i \omega t} d \omega .
\]

Покажите также, что если диссипативная функция диагонализируется одновременно с $T$ и $V$, то вынужденные колебания определяются формулой
\[
\zeta_{i}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{G_{i}(\omega)\left(\omega_{i}^{2}-\omega^{2}+i \omega \Im_{i}\right)}{\left(\omega_{i}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\omega^{2} \widetilde{\mho}_{i}^{2}} e^{-i \omega t} d \omega .
\]
(Знаменатель написанной дроби имеет типичную «резокансную форму». Эти формулы могут служить нллюстрацией эффективности операторного исчисления при изучении переходных процессов в линейных системах.)
7. Точка движется по круговой орбите под действием силы, направленной к центру этого круга. Исследуйте движение этой точки после небольшого начального возмущения, введя для этого разностные координаты $\rho=r-r_{0}$ и $\varphi=\theta-\omega t$, где $r_{0}$ – радиус круговой орбиты, а $\omega$ – угловая скорость установившегося движения. Выразите $T$ и. $V$ в этих координатах, пренебрегая членами выше второго порядка малости относительно $\rho$ и ф. Получите таким способом уравнения движения и выведите условия устойчивости первоначального движения. Покажите, что если $V$ пропорционально $r^{-n+1}$, то оно будет устойчивым лишь при $n<3$. Покажите также, что одна из частот полученного возмущенного движения равна нулю (что соответствует переходу на новую круговую орбиту).