Понятие бесконечно малого поворота дает мощный инструмент для описания движения твердого тела. Рассмотрим какой-нибудь вектор $\boldsymbol{G}$, например радиус-вектор материальной точки или вектор кинетического момента. В процессе движения такой вектор обычно изменяется и изменение его часто зависит от координатной системы, в которой производится наблюдение этого вектора. Возьмем, например, систему координат, связанную с твердым телом, и рассмотрим вектор, идущий из начала координат этой системы в некоторую точку тела. Ясно, что в системе координат, связанной с этим телом, такой вектор будет постоянным. Однако наблюдатель, связанный с неподвижной системой координат, будет считать, что составляющие этого вектора изменяются в процессе движения тела.

Рассмотрим приращения, которые получают за время $d t$ составляющие произвольного вектора $\boldsymbol{G}$. В системе координат, связанной с телом, эти приращения будут отличаться от соответствующих приращений в неподвижной системе координат, и это отличие вызывается только вращением системы, связанной с телом. Символически это можно записать так:
\[
(d \boldsymbol{G})_{\text {тело }}=(d \boldsymbol{G})_{\text {пространство }}+(d \boldsymbol{G})_{\text {вращение }} .
\]

Но приращения составляющих вектора вследствие бесконечно малого вращения координатных осей определяются равенством (4.94). Следовательно,
\[
(d \boldsymbol{G})_{\text {вращение }}=\boldsymbol{G} \times d \boldsymbol{\Omega},
\]

откуда получаем следующее соотношение между дифференциалом $d \boldsymbol{G}$ в неподвижной системе координат и дифференциалом $d \boldsymbol{G}$, наблюдаемым в системе, связанной с телом:
\[
(d \boldsymbol{G})_{\text {пространство }}=(d \boldsymbol{G})_{\text {тело }}+d \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{G} .
\]

Скорость измененія вектора $\boldsymbol{G}$ получается посредством деления (4.99) на дифференциал времени $d t$ :
\[
\left(\frac{d \boldsymbol{G}}{d t}\right)_{\text {пространство }}=\left(\frac{d \boldsymbol{G}}{d t}\right)_{\text {тело }}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{G} .
\]

Здесь $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость тела
\[
\omega=\frac{d \Omega}{d t},
\]
т. е. мгновенная угловая скорость вращения тела. Вектор о направлен вдоль оси бесконечно малого поворота, совершающегося в момент $t$. Эта ось называется мгновенной осью вращения.

Равенство (4.100) следует рассматривать не как формулу, относящуюся к какому-нибудь конкретному вектору $\boldsymbol{G}$, а скорее как уравнение преобразования производной по времени при переходе от одной системы координат к другой. На вектор $\boldsymbol{G}$, который мы здесь дифференцируем, не было наложено никаких условий. Произвольность этого вектора можно подчеркнуть, записав уравнение (4.100) в операторной форме
\[
\left(\frac{d}{d t}\right)_{\text {пространство }}=\left(\frac{d}{d t}\right)_{\text {тело }}+\omega \times .
\]

Қак и всякое векторное равенство, уравнение (4.100) можно спроектировать на оси любой системы координат. Рассмотрим, например, вектор
\[
\boldsymbol{F}=\left(\frac{d \boldsymbol{G}}{d t}\right)_{\text {пространство }} .
\]

Он представляет скорость изменения вектора $\boldsymbol{G}$, наблюдаемую $\boldsymbol{\beta}$ неподвижной системе координат. Но если вектор $\boldsymbol{F}$ уже получен, то его составляющие можно вычислить для любой системы осей, даже для движущейся, что часто оказывается удобным. Однако здесь следует соблюдать осторожность: когда производится проектирование на движущиеся оси, проекция $F_{x}$ оказывается неравной производной
\[
\left(\frac{d G_{x}}{d t}\right)_{\text {пространство }} .
\]

Например, скорость изменения вращающегося вектора $\boldsymbol{r}$, наблюдаемая в неподвижной системе координат, есть некоторый вектор $v$, определяемый равенством (4.94). При этом составляющие вектора $v$ по осям системы, вращающейся вместе с $\boldsymbol{r}$, будут, вообще говоря, отличными от нуля. С другой стороны, составляющие самого вектора $r$ будут в этой системе постоянны и их производные по времени будут равны нулю (независимо от того, в какой сисгеме находится наблюдатель). Таким образом, если производную вектора по времени мы берем в одной системе координат, то вычислять ее составляющие в другой системе нужно лишь после того, как будет выполнено дифференцирование этого вектора.

Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с $\boldsymbol{~}$, следует рассматривать как совокупность трех последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями $\omega_{\varphi}=\dot{\varphi}, \omega_{\theta}=\dot{\theta}, \omega_{\psi}=\dot{\psi}$. Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать $\omega$ ‘ууммой трех отдельных векторов угловых скоростей. $\mathrm{K}$ сожалению, векторы $\boldsymbol{\omega}_{\varphi}, \boldsymbol{\omega}_{\theta}, \boldsymbol{\omega}_{\psi}$ расположены несимметрично: вектор $\boldsymbol{\omega}_{\varphi}$ направлен вдоль неподвижной оси $z$, вектор $\boldsymbol{\omega}_{\theta}$ – вдоль линии узлов, а $\boldsymbol{\omega}_{\psi}$ – вдоль подвижной оси $z^{\prime}$, связанной с телом. Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В, C, D (см. § 4.4).

При рассмотрении уравнений движения особенно удобна система осей, связанных с движущимся телом. Поэтому мы получим составляющие вектора о именно в этой системе. Так как вектор $\omega_{\varphi}$ параллелен неподвижной оси $z$, то его составляющие по осям, связанным с телом, можно получить посредством применения полного ортогонального преобразования $\mathrm{A}=\mathrm{BCD}[$ формула (4.46)]:
\[
\left(\omega_{\varphi}\right)_{x^{\prime}}=\dot{\varphi} \sin \theta \sin \psi, \quad\left(\omega_{\varphi}\right)_{y^{\prime}}=\dot{\varphi} \sin \theta \cos \psi, \quad\left(\omega_{\varphi}\right)_{z^{\prime}}=\dot{\varphi} \cos \theta .
\]

Что касается вектора $\omega_{\theta}$, то он идет по линии узлов, являющейся осью $\xi^{\prime}$. Поэтому составляющие вектора $\boldsymbol{\omega}_{\theta}$ по осям, связанным с телом, могут быть найдены посредством применения только одного ортогонального преобразования B [формула (4.45)]:
\[
\left(\omega_{\theta}\right)_{x^{\prime}}=\dot{\theta} \cos \psi, \quad\left(\omega_{\theta}\right)_{y^{\prime}}=-\dot{\theta} \sin \psi, \quad\left(\omega_{\theta}\right)_{z^{\prime}}=0 .
\]

Наконец, составляющие вектора $\omega_{\psi}$ вообще не требуют преобразования, так как этот вектор направлен вдоль оси $z^{\prime}$. Складывая соответствующие составляющие отдельных угловых скоростей, мы получаем составляющие полного вектора $\boldsymbol{\omega}$ по осям, связанным с телом:
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega_{x^{\prime}}=\dot{\varphi} \sin \theta \sin \psi+\dot{\theta} \cos \psi, \\
\omega_{y^{\prime}}=\dot{\varphi} \sin \theta \cos \psi-\dot{\theta} \sin \psi, \\
\omega_{z^{\prime}}=\dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi} .
\end{array}\right\}
\]

Тот же прием позволяет выразить через углы Эйлера и составляющие а по неподвижным осям.