В предыдущем параграфе мы видели, что решения вида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты $\omega$, а в общем случае при $n$ различных значениях. Поэтому решение јравнений движения представляет суперпозицию нескольких колебаний с частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$. Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного колебания или собственными частотами системы.

Общее решение уравнений движения можно теперь записать в виде
\[
\eta_{i}=\sum_{k} C_{k} a_{i k} e^{-i \omega_{k} t}
\]

где $C_{k}$ – комплексный масштабный коэффициент, соответствующий данной собственной частоте. Здесь, однако, можно сделать возражение, состоящее в следующем. Так как $\lambda_{k}=\omega_{k}^{2}$, то каждому решению векового уравнения соответствуют две собственные частоты: $+\omega_{k}$ и – $\omega_{k}$. И хотя собственный вектор $a_{k}$ будет для них одним и тем же, однако масштабные коэффициенты $C_{k}^{+}$и $C_{k}^{-}$могут иметь при этом любые различные значения. Поэтому решение рассматриваемых уравнений должно описываться не формулой (10.28), а формулой
\[
\eta_{i}=\sum_{k} a_{i k}\left(C_{k}^{+} e^{-i \omega_{k} t}+C_{k}^{-} e^{-i \omega_{k} t}\right) .
\]

Ответом на это возражение служит то, что интересующее нас движение описывается не комплексным решением, а лишь его вещественной частью, которая в формулах (10.28) и (10.29) имеет вид
\[
\eta_{i}=\sum_{k} f_{k} a_{i k} \cos \left(\omega_{k} t+\delta_{k}\right)
\]

где амплитуда $f_{k}$ и фаза $\delta_{k}$ определяются начальными условиями. Поэтому мы можем пользоваться как формулой (10.28), так и формулой (10.29), однако первая из них является, конечно, более удобной.

Ортогональность матрицы А сильно облегчает определение коэффициентов $C_{k}$ по заданным начальным условиям. При $t=0$ вещественная часть выражения (10.28) будет равна
\[
\eta_{i}(0)=\sum_{k}\left(\operatorname{Re} C_{k}\right) a_{i k},
\]

где символ $\operatorname{Re} C_{k}$ означает вещественную часть $C_{k}$. Аналогично будем иметь
\[
\dot{\eta}_{i}(0)=-\sum_{k}\left(\operatorname{Im} C_{k}\right) a_{i k} \omega_{k},
\]

где $\operatorname{Im} C_{k}$ обозначает мнимую часть $C_{k}$. Из этих $2 n$ уравнений можно определить вещественные и мнимые части всех $n$ констант $C_{k}$. Чтобы решить, например, уравнения (10.31), их можно умножить на $T_{i j} a_{j l}$ и просуммировать по $i$ и $j$. Тогда согласно (10.21) будем иметь
\[
\sum_{i, j} T_{i j} \eta_{i}(0) a_{i l}=\sum_{i, j, k}\left(\operatorname{Re} C_{k}\right) T_{i j} a_{i k} a_{j l}=\sum_{k}\left(\operatorname{Re} C_{k}\right) \delta_{k l},
\]

или, выполнив суммирование по $k$ :
\[
\operatorname{Re} C_{l}=\sum_{i, j} T_{i l} \eta_{i}(0) a_{j t} .
\]

Аналогичным путем можно получить формулу и для мнимых частей коэффициентов $C_{k}$, которая будет иметь вид
\[
\operatorname{Im} C_{l}=-\frac{1}{\omega_{l}} \sum_{i, j} T_{i j} \dot{\eta}_{i}(0) a_{i l} .
\]

Таким образом, формулы (10.33) и (10.34) позволяют с помощью матриц $\mathrm{T}$ и А вычислять комплексные коэффициенты $C_{l}$ непосредственно по начальным условиям.

Движение, описываемое уравнением (10.28), может служить примером много-периодического движения, рассмотренного в главе 9. Правда, оно является особенно простым движением этого типа, так как состоит только из основных частот и совершенно не содержит их линейных комбинаций. Однако, несмотря на это, рассматриваемое движение не является строго периодическим, так как при несоизмеримости собственных частот координаты $\eta_{i}$ никогда не примут своих начальных значений. Следовательно, координаты $\eta_{i}$ не будут в общем случае разделяющимися координатами, изменяющимися по строго периодическому закону. Однако мы сейчас увидим, что такие координаты можно получить с помощью точечного преобразования координат $\eta_{i}$.

Новые координаты $\zeta_{j}$ мы определим с помощью следующих уравнений, связывающих их с первоначальными координатами $\eta_{i}$ :
\[
\eta_{i}=\sum_{j} a_{i \xi_{j}}
\]

Если $\eta_{i}$ и $\zeta_{i}$ рассматривать как элементы матриц $\boldsymbol{\eta}$ и $\boldsymbol{\xi}$, состоящих из одного столбца, то эти уравнения будут иметь вид
\[
\eta=\mathbf{A} \zeta \text {. }
\]

Выведем теперь выражения для потенциальной и кинетической энергий системы в новых координатах. Согласно (10.4) потенциальная энергия $V$ равна
\[
V=\frac{1}{2} \sum_{i, j} \eta_{i} V_{i j} \eta_{i}
\]

что в матричной форме может быть записано в виде произведения
\[
V=\frac{1}{2} \tilde{\boldsymbol{\eta}} V \boldsymbol{\eta}
\]

Точно так же кинетическую энергию (10.6) можно записать в виде следующего матричного произведения:
\[
T=\frac{1}{2} \tilde{\eta} T \eta .
\]

Но транспонированная матрица $\tilde{\eta}$ (состоящая из одной строки) связана с $\widetilde{\zeta}$ соотношением
\[
\tilde{\boldsymbol{\eta}}=\widetilde{A} \tilde{\zeta}=\tilde{\zeta} \tilde{A}
\]
(см. задачу 2 гл. 4). Поэтому будем иметь:
\[
V=\frac{1}{2} \tilde{\xi} \tilde{A} \vee A \zeta
\]

или, учитывая (10.25),
\[
V=\frac{1}{2} \tilde{\zeta} \lambda \zeta,
\]
т. е.
\[
V=\frac{1}{2} \sum_{k} \omega_{k}^{2} \zeta_{k}^{2} .
\]

Что касается кинетической энергии, то она в новых координатах ьыражается еще проще. Так как скорости преобразуются так же, как координаты, то $T$ можно записать в виде
\[
T=\frac{1}{2} \tilde{\xi} \tilde{A} T A \dot{\xi} .
\]

Но так как матрица А является «ортогональной» [см. (10.21′)], то это выражение принимает вид
\[
T=\frac{1}{2} \tilde{\zeta} \dot{\xi}
\]

или
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{k} \dot{\zeta}_{k}^{2}
\]

Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что $T$ и $V$ в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат какихлибо смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица $A$ осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллипсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причем обе они диагонализируются матрицей А. Таким образом, применяемое здесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного приєедения двух квадратичных форм к сумме квадратов.

Уравнения движения в новых координатах тоже становятся более простыми. Лагранжиан системы будет теперь равен
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{k}\left(\dot{\zeta}_{k}^{2}-\omega_{k}^{2} \zeta_{k}^{2}\right)
\]

и поэтому уравнения Лагранжа примут вид
\[
\ddot{\zeta}_{k}+\omega_{k}^{2} \zeta_{k}=0 .
\]

Решая эти уравнения, будем иметь
\[
\zeta_{k}=C_{k} e^{-i \omega_{k} t} ;
\]

что можно, конечно, получить и непосредственно из равенств (10.28). Следовательно, каждая из новых координат является строго периодической функцией с частотой, равной одной из собственных частот. Поэтому координаты $\zeta$ обычно называют главными координатами системы. Очевидно, они являются также разделяющимися координатами, а величины $\omega_{k} t / 2 \pi$ представляют собой угловые переменные.

Как показывают равенства (10.35), каждой главной координате соответствует колебание системы с определенной частотой. Қаждое из таких колебаний называется главным. При любом таком колебании все координаты $\eta_{i}$ изменяются с одной частотой и имеют в каждый момент одинаковые фазы ); относительные амплитуды этих координат определяются матричными элементами $a_{i k}$. Полное движение системы получается при этом в результате суперпозиции главных колебаний с учетом их амплитуд и фаз, определяемых коэффициентами $C_{k}$.

Из изложенного видно, что полное колебание системы не со-, держит частот, кратных основным. Причина этого заключается в том, что мы считали колебания малыми. Именно поэтому мы могли потенциал системы представить в виде квадратичной формы, что характерно для гармонического движения. Кроме того, переходя к нормальным координатам, мы получили вследствие этого лагранжиан (10.43) в виде суммы лагранжианов нескольких гармонических осцилляторов (с частотами $\omega_{k}$ ). Таким образом, малые колебания системы можно рассматривать как результат возбуждения различных гармонических осцилляторов, колеблющихся с различными амплитудами и фазами **).