Условие инвариантности суммы якобианов (8.34) может быть записано в виде
\[
\sum_{i}\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial u} \frac{\partial p_{i}}{\partial v}-\frac{\partial p_{i}}{\partial u} \frac{\partial q_{i}}{\partial v}\right)=\sum_{i}\left(\frac{\partial Q_{i}}{\partial u} \frac{\partial P_{i}}{\partial v}-\frac{\partial P_{i}}{\partial u} \frac{\partial Q_{i}}{\partial v}\right) .
\]

Каждая часть этого равенства имеет вид так называемых скобок Лагранжа. Под скобками Лагранжа относительно переменных $u$ и $v$ понимается сумма
\[
\{u, v\}_{q, p}=\sum_{i}\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial u} \frac{\partial p_{i}}{\partial v}-\frac{\partial p_{i}}{\partial u} \frac{\partial q_{i}}{\partial v}\right) .
\]

Равенство (8.38) показывает, что скобки Лагранжа представляют собой инвариант канонических преобразований. Поэтому не существенно, какая именно система канонических переменных применяется при вычислении этих скобок. Это дает нам право опускать индексы $q, p$, и поэтому в дальнейшем мы будем писать скобки Лагранжа в виде $\{u, v\}$. Заметим попутно, что
\[
\{u, v\}=-\{v, u\} .
\]

Параметры $u$ и $v$ являются координатами точек некоторого двумерного многообразия в фазовом пространстве. Возьмем в качестве такого многообразия плоскость $q_{i} q_{j}$ и вычислим скобку Лагранжа $\left\{q_{i}, q_{j}\right\}$. При этом можно, конечно, пользоваться любой системой канонических переменных, например переменными $q, p$, которые, очевидно, наиболее удобны. Тогда скобка $\left\{q_{i}, q_{j}\right\}$ примет вид
\[
\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=\sum_{k}\left(\frac{\partial q_{k}}{\partial q_{i}} \frac{\partial p_{k}}{\partial q_{j}}-\frac{\partial q_{k}}{\partial q_{j}} \frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right) .
\]

Но так как величины $q$ и $p$ являются независимыми, то

и, следовательно,
\[
\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}=0=\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{j}}
\]
\[
\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0 .
\]

Точно так же доказывается и равенство
\[
\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0 .
\]

Пусть теперь $u=q_{i}$ и $v=p_{j}$. Тогда скобка Лагранжа будет иметь вид
\[
\left\{q_{l}, p_{j}\right\}=\sum_{k}\left(\frac{\partial q_{k}}{\partial q_{i}} \frac{\partial p_{k}}{\partial p_{j}}-\frac{\partial q_{k}}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{k}}{\partial q_{l}}\right),
\]

причем так как
\[
\frac{\partial q_{k}}{\partial p_{j}}=\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}=0,
\]

то второй член разности, стоящей в скобках, обращается в нуль. Однако первый член этой разности будет отличен от нуля, так как
\[
\frac{\partial p_{k}}{\partial p_{j}}=\delta_{k j} \quad \text { и } \frac{\partial q_{k}}{\partial q_{i}}=\delta_{k t} .
\]

Поэтому рассматриваемая скобка Лагранжа принимает вид
\[
\left\{q_{i}, p_{j}\right\}=\sum_{k} \delta_{j \xi} \delta_{k i}=\delta_{i j} \text {. }
\]

Равенства (8.41), очевидно, справедливы для любой системы канонических переменных. Фигурирующие в них скобки часто называют фундаментальными скобками Лагранжа.

Более удобными являются так называемые скобки Пуассона, которые определяются следующим образом:
\[
[u, v]_{q, p}=\sum_{k}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{k}} \frac{\partial v}{\partial p_{k}}-\frac{\partial v}{\partial q_{k}} \frac{\partial u}{\partial p_{k}}\right),
\]

причем легко видеть, что
\[
[u, v]=-[v, u] .
\]

Между скобками Лагранжа и скобками Пуассона существует определенная связь, которую мы докажем, не опираясь на физический смысл входящих в них величин. Эта связь выражается следующей теоремой: если $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2 n}$ суть независимые функции переменных $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$, то справедливо равенство
\[
\left.\sum_{l=1}^{2 n}\left\{u_{l}, u_{l}\right\}\left[u_{l}, u_{j}\right]=\delta_{l j}^{*}\right) .
\]
*) Из равенства (8.42) видно, что скобки Пуассона являются как бы «обратными величинами» скобок Лагранжа. Равенство (8.44) придает этому утверждению более точный смысл. Если символ $\left\{u_{l}, u_{i}\right\}$ рассматривать как элемент $L_{i l}$ квадратной матрицы $L$, а символ $\left[u_{l}, u_{j}\right]$ – как элемент $P_{l j}$ квадратной матрицы $\mathrm{P}$ (каждая из которых имеет порядок $2 n$ ), то равенство (8.44) можно будет записать в виде
\[
L P=1 \text {, }
\]

или
\[
P=L^{-1} \text {. }
\]

Доказательство этого тождества проводится непосредственно, однако оно несколько громоздко. Согласно равенствам (8.39) и (8.42) сумма (8.44) может быть записана следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{l}^{2 n}\left\{u_{l}, u_{i}\right\}\left[u_{l}, u_{j}\right]= \\
=\sum_{l}^{2 n} \sum_{k}^{n} \sum_{m}^{n}\left(\frac{\partial q_{k}}{\partial u_{l}} \frac{\partial p_{k}}{\partial u_{i}}-\frac{\partial q_{k}}{\partial u_{i}} \frac{\partial p_{k}}{\partial u_{l}}\right)\left(\frac{\partial u_{l}}{\partial u_{m}} \frac{\partial u_{l}}{\partial p_{m}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial q_{m}} \frac{\partial u_{l}}{\partial p_{m}}\right) .
\end{array}
\]

Перемножая написанные здесь скобки, мы получаем четыре суммы, первая из которых равна
\[
\begin{array}{l}
\sum_{k, m}^{n} \frac{\partial p_{k}}{\partial u_{i}} \frac{\partial u_{j}}{\partial p_{m}} \sum_{l}^{2 n} \frac{\partial q_{k}}{\partial u_{l}} \frac{\partial u_{l}}{\partial q_{m}}=\sum_{k, m} \frac{\partial p_{k}}{\partial u_{i}} \frac{\partial u_{j}}{\partial p_{m}} \frac{\partial q_{k}}{\partial q_{m}}= \\
=\sum_{k, m} \frac{\partial p_{k}}{\partial u_{i}} \frac{\partial u_{j}}{\partial p_{m}} \delta_{k m}=\sum_{k}^{n} \frac{\partial u_{j}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{k}}{\partial u_{i}} .
\end{array}
\]

Точно такой же вид будет иметь и последняя из этих четырех сумм, но вместо $p_{k}$ в ней будет стоять $q_{k}$. Поэтому, складывая эти суммы, получаем
\[
\sum_{k}^{n}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{k}}{\partial u_{i}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial u_{i}}\right)=\frac{\partial u_{i}}{\partial u_{i}} .
\]

Легко видеть, что каждая из двух оставшихся сумм равна нулю. Действительно, одна из них сводится к сумме членов, содержащих общий множитель
\[
\sum_{l} \frac{\partial q_{k}}{\partial u_{l}} \frac{\partial u_{l}}{\partial p_{m}}=\frac{\partial q_{k}}{\partial p_{m}},
\]

а вторая – к сумме, содержащей общий множитель
\[
\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{m}} .
\]

Но так как эти множители равны нулю, то и рассматриваемые суммы будут обращаться в нуль. Поэтому сумма (8.44) будет равна сумме (8.46), и, следовательно, можно написать
\[
\sum_{l}^{2 n}\left\{u_{l}, u_{i}\right\}\left[u_{l}, u_{j}\right]=\frac{\partial u_{j}}{\partial u_{i}}=\delta_{l j} .
\]

Таким образом, рассматриваемая теорема доказана.
Заметим, что частная система переменных $q, p$ была в наших рассуждениях совершенно несущественной и ее роль могла бы играть любая система $2 n$ независимых переменных $Q, P$. Поэтому равенство (8.44) сохраняется $n р и$ всех преобразованиях переменных, даже если они не являются каноническими. Этим можно воспользоваться для того, чтобы вычислить некоторые скобки Пуассона, не делая оговорок относительно частного вида системы переменных.

Возьмем в качестве независимых функций $u_{l}$ величины $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ и положим $u_{i}=q_{i}$, а $u_{j}=p_{j}$. Так как переменные $q_{i}$ и $p_{j}$ различны, то равенство (8.44) принимает вид
\[
\sum_{l}^{n}\left\{p_{l}, q_{i}\right\}\left[p_{l}, p_{j}\right]+\sum_{l}^{n}\left\{q_{l}, q_{i}\right\}\left[q_{l}, p_{j}\right]=0 .
\]

Но для всех канонических переменных
\[
\left\{p_{l}, q_{i}\right\}=-\delta_{i l} \quad \text { и }\left\{q_{l}, q_{i}\right\}=0,
\]

поэтому будем иметь
\[
\left[p_{i}, p_{j}\right]=0,
\]

что должно также иметь место для всех канонических переменных. Аналогичным образом получим
\[
\left[q_{i}, q_{j}\right]=0 .
\]

Положим теперь $u_{i}=q_{i}$ и $u_{j}=q_{j}$. Тогда сумма (8.44) примет вид
\[
\sum_{l}^{n}\left\{q_{l}, q_{i}\right\}\left[q_{l}, q_{j}\right]+\sum_{l}^{n}\left\{p_{l}, q_{i}\right\}\left[p_{l}, q_{j}\right]=\delta_{i j} .
\]

Отсюда получаем
\[
-\sum_{l} \delta_{i l}\left[p_{l}, q_{j}\right]=\delta_{i j}
\]

или
\[
\left[q_{i}, p_{j}\right]=\delta_{i j} .
\]

Равенства (8.47) дают нам значения фундаментальных скобок Пуассона [аналогично равенствам (8.41) для скобок Лагранжа]. Эти равенства было бы проще доказывать с помощью непосредственного вычисления, подобно тому как это делалось для скобок Лагранжа. Но весь смысл приведенного доказательства состоит в том, что вычисление фундаментальных скобок Пуассона получается здесь без ссылок на какую-либо частную систему канонических переменных. В этом состоит преимущество рассмотренного доказательства, из которого следует, что скобки (8.47) являются каноническими инвариантами.

Равенства (8.47) позволяют показать, что не только фундаментальные, но и любые скобки Пуассона не зависят от системы применяющихся канонических переменных. Пусть $F$ и $G$ будут две произвольные функции канонических переменных. Тогда будем иметь
\[
[F, G]_{q, p}=\sum_{j}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{j}} \frac{\partial G}{\partial p_{j}}-\frac{\partial F}{\partial p_{j}} \frac{\partial G}{\partial q_{j}}\right) .
\]

Рассматривая $q_{j}$ и $p_{j}$ как функции новых переменных $Q_{k}$ и $P_{k}$, можно уравнение (8.48) записать в виде
\[
\begin{aligned}
{[F, G]_{q, p}=\sum_{j, k}\left[\frac { \partial F } { \partial q _ { j } } \left(\frac{\partial G}{\partial Q_{k}} \frac{\partial Q_{k}}{\partial p_{j}}+\right.\right.} & \left.\frac{\partial G}{\partial P_{k}} \frac{\partial P_{k}}{\partial p_{j}}\right)- \\
& \left.-\frac{\partial F}{\partial p_{j}}\left(\frac{\partial G}{\partial Q_{k}} \frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{j}}+\frac{\partial G}{\partial P_{k}} \frac{\partial P_{k}}{\partial q_{j}}\right)\right],
\end{aligned}
\]

или после преобразования
\[
[F, G]_{q, p}=\sum_{k}\left(\frac{\partial G}{\partial Q_{k}}\left[F, Q_{k}\right]_{q, p}+\frac{\partial G}{\partial P_{k}}\left[F, P_{k}\right]_{q, p}\right) .
\]

Равенство (8.49) можно использовать для вычисления скобок Пуассона, содержащихся под знаком суммы. Если заменить в этом равенстве $F$ на $Q_{k}$, а $G$ на $F$, то оно примет вид
\[
\left[Q_{k}, F\right]_{q, p}=\sum_{j} \frac{\partial F}{\partial Q_{j}}\left[Q_{k}, Q_{j}\right]+\sum_{j} \frac{\partial F}{\partial P_{j}}\left[Q_{k}, P_{j}\right],
\]

причем мы опустили индексы у скобок Пуассона, стоящих в правой части этого равенства, так как они являются фундаментальными и, как было показано, являются каноническими инвариантами. В соответствии с формулами (8.47) равенство (8.50) принимает вид
\[
\left[Q_{k}, F\right]_{q, p}=\sum_{j} \frac{\partial F}{\partial P_{j}} \delta_{j k}
\]

или
\[
\left[F, Q_{k}\right]=-\frac{\partial F}{\partial P_{k}} .
\]

Полученное равенство является полезным соотношением, инвариантным относительно канонических преобразований. Аналогичным способом вычисляется другая скобка Пуассона. Для нее будем иметь
\[
\left[P_{k}, F\right]_{q, p}=\sum_{j} \frac{\partial F}{\partial Q_{j}}\left[P_{k}, Q_{j}\right]+\sum_{j} \frac{\partial F}{\partial P_{j}}\left[P_{k}, P_{j}\right],
\]

откуда
\[
\left[F, P_{k}\right]=\frac{\partial F}{\partial Q_{k}} .
\]

Подставляя (8.51) и (8.52) в (8.49), получаем
\[
[F, G]_{q, p}=\sum_{k}\left(\frac{\partial F}{\partial Q_{k}} \frac{\partial G}{\partial P_{k}}-\frac{\partial F}{\partial P_{k}} \frac{\partial G}{\partial Q_{k}}\right)=[F, G]_{Q, P} .
\]

Таким образом, инвариантность скобок Пуассона доказана. Поэтому в дальнейшем мы будем опускать индексы у этих скобок.

Остановимся теперь на некоторых простых свойствах скобок Пуассона, которыми нам придется в дальнейшем пользоваться. ГІрежде всего заметим, что из определения (8.43) следует равенство
\[
[u, u]=0 .
\]

Далее, если $c$ есть величина, не зависящая от $p$ и $q$, то будем иметь
\[
[u, c]=0 .
\]

Наконец, из элементарных правил дифференцирования вытекают равенства:

и
\[
[u+v, w]=[u, w]+[v, w]
\]
\[
\left.[u, v w]=[u, v] w+v[u, w]^{*}\right) \text {. }
\]