Хотя формально наша задача и решена, однако практически интегралы (3.18) и (3.20) обычно не выражаются в элементарных функциях, и поэтому в каждом отдельном случае часто оказывается удобным производить интегрирование какимлибо другим способом. Но, прежде чем переходить к решению этой задачи при тех или иных законах изменения силы, мы выясним, что́ можно сказать об исследуемом движении вообще, не требуя точного решения, а пользуясь лишь уравнениями движения и теоремами о сохранении.

Прежде всего заметим, что если энергия точки и ее кинетический момент известны, то величина и направление ее скорости могут быть выражены непосредственно через $r$. Действительно, из закона о сохранении энергии
\[
E=\frac{1}{2} m v^{2}+V(r)
\]

сразу получаем
\[
v=\sqrt{\frac{2}{m}[E-V(r)]},
\]

что дает нам величину вектора скорости. С другой стороны, радиальная скорость этой точки уже была нами найдена – она определяется формулой (3.16). Но в таком случае мы можем найти и направление скорости, так как для этого достаточно знать ее величину и радиальную составляющую *).

Эти результаты, а также многие другие можно получить другим путем, если рассмотреть эквнвалентную одномерную
*) Можно поступить и иначе. Из теоремы о сохранении кинетического момента мы можем найти угловую скорость $\dot{\theta}$, что вместе с $\dot{r}$ дает нам величину и направление $\dot{r}$.

задачу. Уравнение (3.12) содержит только величину $r$ и ее производные. Поэтому его можно трактовать как уравнение воображаемого одномерного движения, если считать массу движущейся точки равной $m$, а действующую на нее силу равной
\[
f^{\prime}=f+\frac{l^{2}}{m r^{3}} .
\]

Смысл добавочного члена $l^{2} / m r^{3}$ становится ясным, если записать его в виде
\[
m r \dot{\theta}^{2}=\frac{m v_{\theta}^{2}}{r},
\]

что представляет собой обычную центробежную силу. Соотношение (3.22) можно получить также из закона о сохранении энергии. Для этого надо обратиться к уравнению (3.15), согласно которому рассматриваемое одномерное движение есть движение с потенциальной энергией
\[
V^{\prime}=V+\frac{1}{2} \frac{l^{2}}{m r^{2}} .
\]

Тогда будем иметь
\[
f^{\prime}=-\frac{\partial V^{\prime}}{\partial r}=f(r)+\frac{l^{2}}{m r^{3}},
\]

что согласуется с формулой (3.22). Таким ‘образом, закон о сохранении энергии (3.15) можно записать в виде
\[
E=V^{\prime}+\frac{1}{2} m \dot{r}^{2} .
\]

В качестве иллюстрации этого метода рассмотрим график функции $V^{\prime}(r)$ для случая, когда сила $f$ является притягивающей и изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Такая сила выражается формулой
\[
f=-\frac{k}{r^{2}}
\]
(при $k>0$ знак минус означает, что сила направлена к центру притяжения). Соответствующая потенциальная энергия будет равна
\[
V=-\frac{k}{r} .
\]

Фиктивный потенциал $V^{\prime}$ будет тогда равен
\[
V^{\prime}=-\frac{k}{r}+\frac{l^{2}}{2 m r^{2}} .
\]

График зависимости $V^{\prime}$ от $r$ показан на рис. 21, где пунктирными линиями показаны функции $-\frac{k}{r}$ и $+\frac{l^{2}}{2 m r^{2}}$, а сплошной линией – их сумма $V^{\prime}$.

Рассмотрим теперь движение точки, обладающей энергией $E_{1}$ (рис. 21 и 22). Ясно, что эта точка никогда не сможет приблизиться к центру силы более, чем на $r_{1}$ (рис. 22), так как при $r<r_{1}$ величина $V^{\prime}$ была бы больше $E_{1}$, и тогда согласно выражению (3.15’) мы получили бы отрицательную кинетическую энергию, т. е. мнимую скорость. С другой стороны, здесь не

существует верхнего предела для возможных значений $r$, и поэтому орбита этой точки не будет замкнутой. Придя из бесконечности, она ударяется об «отталкивающий центробежный барьер» и уходит обратно в бесконечность (рис. 23). Расстояние между линиями $E$ и $V^{\prime}$ равно $\frac{1}{2} m \dot{r}^{2}$, т. е. пропорционально квадрату радиальной скорости, и поэтому обращается в нуль в точке, где $r$ имеет максимум или минимум. В то же время расстояние между линиями $E$ и $V$ на рис. 21 представляет кинетическую энергию $\frac{1}{2} m v^{2}$, соответствующую данному значению $r$. Следовательно, расстояние между кривыми $V$ и $V^{\prime}$ равно $\frac{1}{2} m r^{2} \dot{\theta}^{2}$. Поэтому при заданных значениях кинетической энергии и кинетического момента рассматриваемые кривые определяют скорость точки и ее составляющие для любого расстояния $r$. Этих данных достаточно, чтобы получить приближенное представление об орбите точки.

При энергии $E_{2}=0$ (см. рис. 21) имеет место аналогичная приближенная картина для орбиты рассматриваемой точки. Ho для любой меньшей энергии, такой, например, как $E_{3}$ на рис. 24 , дело уже обстоит иначе. На этот раз радиус-вектор $r$ будет иметь не только минимальное значение $r_{1}$, но и максимальное значение $r_{2}$, которого не было в случае положительной энергии. Поэтому рассматриваемое движение будет ограниченным и радиус-вектор $r$ здесь будет иметь два крайних значения: $r_{1}$ и $r_{2}$, известных под названием апсидальных расстояний. Отсюда, однако, не следует, что орбиты этих движений замкнуты. Можно лишь утверждать, что они ограничены и лежат между окружностями радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$, касаясь их в своих крайних точках (рис. 25).

Если энергия $E$ будет равна минимуму фиктивного потенциала (энергия $E_{4}$ на рис. 26 ), то $r_{1}$ будет равно
Рис. 23. Орбита гочки, эквивалентный одномерный потенциал которой изображен.на рис. 22.
$r_{2}$, и движение будет возможным только при одном значении $r$. Скорость $\dot{r}$ будет равна нулю, и орбита будет представлять собой окружность. Вспоминая, что «эффективная сила» $f^{\prime}$ равна тангенсу угла наклона кривой $V^{\prime}(r)$, взятому с обратным знаком, заключаем, что в данном случае $f^{\prime}$ будет равно нулю, т. е. будет иметь место равенство
\[
-f(r)=\frac{l^{2}}{m r^{3}}=m r \dot{\theta}^{2} .
\]

Таким образом, мы получили обычное элементарное условие для круговой орбиты, согласно – которому действующая сила должна уравновешиваться «силой инерции» от центростремительного ускорения *).
Рис. 24. Эквизалентный одномерный потенциал силы, обратно пропор циональной квадрату расстояния, при $\boldsymbol{E}=E_{3}<0$. В этом случае дви- жение точки будет ограниченным.

Следует подчеркнуть, что все наши рассуждения о характере орбит при различных значениях $E$ справедливы для любого
*) Случай $E<E_{4}$ является физически нереальным, так как при этом $\dot{r}^{2}$ должно быть отрицательным и, следовательно, $\dot{r}$ – мнимым.

значения кинетического момента. Изменение величины $l$ вызовет лишь количественное изменение кривой $V^{\prime}(r)$, но не повлияет на общую классификацию типов орбит.

Впоследствии мы увидим, что в рассмотренном нами случае притягивающей силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, орбита $E_{1}$ представляет гиперболу, орбита $E_{2}$ – параболу и орбита $E_{3}$ – эллипс. При других силах орбиты могут иметь более сложный характер. Однако качественная сторона
Pис. 25. Пример ограниченноด̆ орбнты.
Рис. 26. Эквнвалентный одномерный потенциал силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, при $E=E_{4}$. В этом случае точка 6 удет двигаться по круговой орбите.

проведенного сейчас исследования орбит (ограниченных, неограниченных и круговых) сохраняется для любого притягивающего потенциала, удовлетворяющего двум следующим требованиям:
1) при $r \rightarrow \infty$ он должен уменьшаться медленнее, чем $\frac{1}{r^{2}}$;
2) при $r \rightarrow 0$ он должен возрастать медленнее, чем $\frac{1}{r^{2}}$. Первое из этих требований обеспечивает преобладание потенциала над центробежным членом при больших $r$, а второе – преобладание центробежного члена над потенциалом при малых $r$.

Если потенциал не удовлетворяет этим требованиям, то качественная картина движения изменится, однако для общей характеристики орбит все еще можно будет пользоваться методом эквивалентного потенциала. Пусть, например, мы имеем притягивающий потенциал
\[
V(r)=-\frac{a}{r^{3}}
\]
(т. е. $\left.f=-\frac{3 a}{r^{4}}\right)$. Диаграмма энергии, соответствующая этому случаю, изображена на рис. 27. Для энергии $E$ здесь возможны два вида движения, зависящих от начального значения $r$. Если $r_{0}$ будет меньше чем $r_{1}$, то движение будет ограниченным, и $r$ все время будет оставаться меньше, чем $r_{1}$, так что в конце концов точка может пройти через центр силы. Если же $r$ будет в начале движения больше, чем $r_{2}$, то оно будет и все время больше, чем $r_{2}$. Движение будет тогда неограниченным, и точка никогда не сможет попасть внутрь «потенциального отверстия». Начальное условие $r_{1}<$ $<r_{0}<r_{2}$ является здесь физически невозможным.

Другой интересный пример дает нам линейно изменяющаяся восстанавливающая сила (гармоническое колебание). В этом случае
\[
f=-k r \quad \text { и } \quad V=\frac{1}{2} k r^{2} .
\]

Если кинетический момент $l$ равен нулю, то рассматриваемое движение будет прямолинейным, и тогда $V^{\prime}=$ $=V$. Этот случай представлен на рис. 28. Для любой положительной энергии движение является ограниченным и, как известно, представляет собой простое гармоническое колеба-
ние. Если $l
eq 0$, то мы получим картину, изображенную на рис. 29. При всех физически возможных значениях энергии это
Рис. 28.
Рис. 29.

цвижение будет ограниченным и не будет проходить через центр силы. Легко видеть, что орбитой этого движения является эллипс, так как при $f=-k r$ составляющие $f_{x}$ и $f_{y}$ равны соответственно
\[
f_{x}=-k x, \quad f_{y}=-k y .
\]

Отсюда следует, что рассматриваемое движение является суперпозицией двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты, что в общем случае приводит к эллиптической орбите. Известным примером такого движения служат малые колебания сферического маятника. Заметим, между прочим, что обычные фигуры Лиссажу получаются в результате сложения двух взаимно перпендикулярных синусоидальных колебаний, частоты которых относятся как целые числа. Следовательно, движение под действием центральной силы $f=-k r$ дает нам простейшую из фигур Лиссажу.