Целесообразно попытаться установить соответствие между векторами и конечными поворотами, описываемыми ортогональными матрицами. Вектор, который мы поставим в соответствие некоторому повороту, должен, конечно, иметь определенное направление – направление оси вращения и определенную величину, например равную углу поворота. Мы сейчас увидим, что успешно осуществить такое соответствие оказывается невозможным. Предположим, что $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ будут двумя такими «векторами», связанными с преобразованиями А и В. Тогда, поскольку это векторы, они должны обладать свойством коммутативности при сложении, т. е. для них должно выполняться равенство
\[
\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A} .
\]

Но сложение двух вращений, т. е. последовательное выполнение одного из них за другим, описывается, как мы знаем, произведением матриц $A B$, и это умножение не коммутативно, т. е. $\mathrm{AB}
eq \mathrm{BA}$. Следовательно, векторы $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ не будут обладать коммутативностью сложения и поэтому их нельзя будет считать в полном смысле слова векторами. Тот факт, что сумма конечных вращений зависит от их порядка, очень хорошо иллюстрируется простым примером, изображенным на рис. 45 и 46 . На первом из них показан поворот призмы на $90^{\circ}$ вокруг оси $z$, а затем на
Рис. 45. Госледовательные повороты вокруг осей $z$ и $y$.
$90^{\circ}$ вокруг оси $y$, а на втором – те же вращения, но совершаемые в обратном порядке. Конечные результаты, как видно из рис. 45 и 46 , получаются различными.

Хотя конечное вращение нельзя представить некоторым вектором, однако это препятствие отпадает, если рассматривать лишь бесконечно малые вращения. Бесконечно малый поворот
Рис. 46. Повороты вокруг осей $y$ и $z$, выполненные в порядке, обратном тому, который изображен на рис. 45.
(рис. 47) представляет собой такое ортогональное преобразование, при котором составляющие каждого вектора изменяются бесконечно мало. Так, например, если $r$-некоторый вектор, а $x_{1}$ – одна из его составляющих, то $x_{1}^{\prime}$ будет иметь практически такую же величину, как $x_{1}$, и поэтому можно написать:
\[
x_{1}^{\prime}=x_{1}+\varepsilon_{11} x_{1}+\varepsilon_{12} x_{2}+\varepsilon_{13} x_{3} .
\]

Матричные элементы $\varepsilon_{11}, \varepsilon_{12}$ и т. д. следует рассматривать как бесконечно малые, и во всех последующих выкладках следует ссохранить только те величины, которые не являются малыми более высокого порядка, нежели $\varepsilon_{i j}$. Уравнения бесконечно малого преобразования могут быть записаны в виде
\[
x_{i}^{\prime}=x_{i}+\sum_{i} \varepsilon_{i j} x_{i},
\]

или
\[
x_{i}^{\prime}=\sum_{j}\left(\delta_{i j}+\varepsilon_{i j}\right) x_{i} .
\]

Если величины $\delta_{i j}$ рассматривать как элементы единичной матрицы, то уравнения (4.86) можно будет записать в матричной форме
\[
\mathrm{x}^{\prime}=(1+\varepsilon) \mathrm{x} .
\]

Уравнение (4.87) показывает, что матрица бесконечно малого преобразования имеет вид $1+\varepsilon$, т. е. описывает почти тождественное преобразование, отличающееся от него лишь бесконечно малым оператором.
Теперь можно показать, что при бесконечно малых преобразованиях последовательность операций не существенна, т. е. что эти преобразования коммутативны. Пусть $1+\varepsilon_{1}$ и $1+\varepsilon_{2}$ суть два бесконечно малых преобразования. Тогда произведение $\quad\left(1+\varepsilon_{1}\right)\left(1+\varepsilon_{2}\right)$ будет равно
\[
\begin{aligned}
\left(1+\varepsilon_{1}\right)\left(1+\varepsilon_{2}\right) & =1^{2}+\varepsilon_{1} 1+ \\
+1 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} & =1+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}
\end{aligned}
\]

Рис. 47. Бесконечно малый поворот вокруг оси $z$.
(с точностью до малых более высокого порядка). Но произведение тех же преобразований, взятых в обратном порядке, можно получить из (4.88) посредством перемены мест $\boldsymbol{\varepsilon}_{1}$ и $\boldsymbol{\varepsilon}_{2}$, что не окажет влияния на окончательный результат, так как сложение матриц коммутативно. Следовательно, бесконечно малые преобразования являются коммутативными, что устраняет возражение против представления их с помощью векторов.

Если $\mathrm{A}=1+\boldsymbol{\varepsilon}$ есть матрица бесконечно малого преобразования, то обратная ей матрица будет равна
\[
\mathrm{A}^{-1}=1-\varepsilon \text {. }
\]

Доказательство этого положения следует из равенства
\[
\mathrm{AA}^{-1}=(1+\varepsilon)(1-\varepsilon)=1,
\]

согласующегося с определением обратной матрицы в форме (4.32).

Понятие бесконечно малого преобразования можно сделать более наглядным, если рассмотреть специальный случай такого преобразования – бесконечно малое вращение вокруг оси $z$. Для конечного вращения вокруг этой оси матрица преобразования имеет вид [см. (4.43)]
\[
A=\left\|\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\
-\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right\| \text {, }
\]

и, чтобы получить отсюда матрицу бесконечно малого вращения, нужно заменить угол $\varphi$ на бесконечно малый угол $d \varphi$ и пренебречь величинами выше первого порядка малости. Тогда получим:
\[
1+\varepsilon=\left\|\begin{array}{ccc}
1 & d \varphi & 0 \\
-d \varphi & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right\| .
\]

Отсюда для бесконечно малой матрицы $\varepsilon$ будем иметь:
\[
\varepsilon=\left\|\begin{array}{ccc}
0 & d \varphi & 0 \\
-d \varphi & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right\|=d \varphi\left\|\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right\| .
\]

Заметим, что диагональные элементы матрицы $\boldsymbol{\varepsilon}$ равны нулю, а отличные от нуля элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаютья друг от друга лишь знаком. Такие матрицы называются антисимметричными или кососимметричными. Это свойство присуще не только той частной матрице, которую мы сейчас рассматривали, а каждой матрице $\varepsilon$ бесконечно малого вращения. Действительно, согласно (4.89) матрица $A^{-1}$ равна 1 – . Но при ортогональном преобразовании обратная матрица $\boldsymbol{A}^{-1}$ совпадает с транспонированнөй матрицей $\tilde{\mathbf{A}}$, равной $1+\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}$. Следовательно,
\[
\boldsymbol{\varepsilon}=-\tilde{\boldsymbol{\varepsilon}}
\]

или
\[
\varepsilon_{i l}=-\varepsilon_{l l},
\]

что является определением антисимметричной матрицы *).
*) Мы считаем, не оговаривая этого спешиально, что бесконечно малое ортогональное преобразование является вращением. ГІо своему смыслу это утверждение является очевидным, так как «бесконечно малая инверсия» есть понятие, противоречащее \”самому себе. Формально указанное утверждение вытекает из антисимметричности матрицы $\varepsilon$, так как вследствие этого все диагональные элементы матрицы $1+\varepsilon$ будут с точностью до величин высшего порядка малости равны единице. Поэтому детерминант такого преобразования будет равен +1 , что является признаком вращения.

Так как диагональные элементы антисимметричной матрицы всегда равны нулю, то в такой матрице третьего порядка могут быть лишь три различных элемента. Следовательно, не нарушая общности, мы можем записать матрицу $\varepsilon$ в виде
\[
\boldsymbol{\varepsilon}=\left\|\begin{array}{ccc}
0 & d \Omega_{3} & -d \Omega_{2} \\
-d \Omega_{3} & 0 & d \Omega_{1} \\
d \Omega_{2} & -d \Omega_{1} & 0
\end{array}\right\| .
\]

Ясно, что величины $d \Omega_{1}, d \Omega_{2}, d \Omega_{3}$ можно рассматривать как три независимых параметра, определяющих рассматриваемое вращение. Покажем теперь, что эти три величины являются составляющими некоторого вектора.

Приращения, которые получают составляющие вектора при бесконечно малом преобразовании, определяются матричным уравнением
\[
\mathrm{x}^{\prime}-\mathrm{x}=d \mathrm{x}=\varepsilon \mathrm{x},
\]

которое после подстановки $\varepsilon$ из (4.91) приобретает следующий развернутый вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
d x_{1}=x_{2} d \Omega_{3}-x_{3} d \Omega_{2}, \\
d x_{2}=x_{3} d \Omega_{1}-x_{1} d \Omega_{3}, \\
d x_{3}=x_{1} d \Omega_{2}-x_{2} d \Omega_{1} .
\end{array}\right\}
\]

Правая часть каждого из написанных здесь равенств представляет одну из составляющих векторного произведения $\boldsymbol{r} \times d \boldsymbol{\Omega}$, где $d \boldsymbol{\Omega}$ – вектор, составляющие которого равны $d \Omega_{1}, d \Omega_{2}, d \Omega_{3}$. Поэтому соотношения (4.93) можно представить в виде векторного равенства
\[
d \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r} \times d \boldsymbol{\Omega} .
\]

Однако представления равенств (4.93) в векторной форме еще не достаточно для доказательства того, что $d \boldsymbol{\Omega}$ есть вектор. Основным аргументом здесь является наличие у $d \boldsymbol{\Omega}$ известных свойств при выполнении над ним ортогонального преобразования. Поэтому, если $d \boldsymbol{\Omega}$ действительно есть вектор, то под действием ортогональной матрицы В его составляющие должны преобразовываться согласно уравнениям
\[
d \Omega_{i}^{\prime}=\sum_{l} b_{i l} d \Omega_{l} .
\]

Но величины $d \Omega_{l}$ были введены нами как элементы антисимметричной матрицы, и совсем не очевидно, что элементы этой матрицы будут преобразовываться согласно уравнениям (4.95). Қак мы увидим позже, формальный вывод уравнений преобразования для составляющих $d \Omega_{l}$ оқазывается довольно сложным,

Однако имеется несколько простых соображений, ноказывающих, что $d \boldsymbol{\Omega}$ в основном «выдерживает» эти «испытания на вектор», хотя в одном отношении он здесь терпит неудачу.

При ортогональном преобразовании координат посредством матрицы В уравнение (4.92) принимает вид
\[
d \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{e}^{\prime} \mathbf{x}^{\prime}
\]

где $d \mathbf{x}^{\prime}$ и $\mathbf{x}^{\prime}$ – преобразованные матрицы, состоящие из одного столбца, а $\boldsymbol{\varepsilon}^{\prime}$-матрица, получающаяся из матрицы $\boldsymbol{\varepsilon}$ посредством подобного преобразования с помощью матрицы В:
\[
\boldsymbol{\varepsilon}^{\prime}=\mathrm{BeB}^{-1} \text {. }
\]

Можно доказать, что свойство антисимметричности сохраняется при подобном преобразовании посредством ортогональной матрицы (см. задачу 3 в конце этой главы). Следовательно, матрица $\boldsymbol{\varepsilon}^{\prime}$ также является антисимметричной с тремя элементами $d \Omega_{1}^{\prime}, d \Omega_{2}^{\prime}, d \Omega_{j}^{\prime}$. Поэтому равенство (4.92′) можно записать в таком же виде, как и равенство (4.93). Проделав это, мы придем к векторному соотношению
\[
d \boldsymbol{r}^{\prime}=\boldsymbol{r}^{\prime} \times d \mathbf{\Omega}^{\prime},
\]

аналогичному соотношению (4.94). Таким образом, элементы антисимметричной матрицы образуют вектор во всех декартовых системах координат, и поэтому они должны преобразовываться подобно составляющим вектора.

Посмотрим, однако, как ведут себя уравнения (4.93) при инверсии S (см. §4.6). Составляющие векторов $\boldsymbol{r}$ и $d \boldsymbol{r}$, очевидно, изменяют при этом свой знак, и если вектор $d \boldsymbol{\Omega}$ действительно является вектором, то то же самое должно произойти и с его составляющими Но уравнения (4.93) сохраняют свою форму во всех координатных системах, что может иметь место лишь в том случае, когда составляющие вектора $d \boldsymbol{\Omega}$ не меняют своего знака. Таким образом, $d \boldsymbol{\Omega}$ обладает всеми свойствами вектора, за исключением свойств, связанных с его поведением при несобственном вращении.

Этот вывод можно проверить с помощью уравнений преобразования для $d \boldsymbol{\Omega}$, которые мы сейчас получим. Формально величины $d \Omega_{i}$ связаны с элементами матрицы $\varepsilon$ соотношением
\[
d \Omega_{i}=\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^{3} \delta_{i / k} \varepsilon_{j k},
\]

где $\delta_{i j k}$-символ Леви-Чивита, равный нулю, если среди индексов $i, j, k$ имеются одинаковые, и равный +1 или -1 в зависимости от четности или нечетности перестановки
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
i & j & k
\end{array}\right) \text {. }
\]

Например, при $i=1$ все члены написанной суммы обращаются в нуль, за исключением членов, для которых $j=2, k=3$ или $j=3, k=2$. При этом значении $i$ формула (4.96) будет состоять только из двух членов и примет вид
\[
d \Omega_{1}=\frac{1}{2}\left(\delta_{12} \varepsilon_{23}+\delta_{132} \varepsilon_{32}\right) .
\]

Согласно определению здесь $\delta_{123}=1$, а $\delta_{132}=-1$. Но так как $\boldsymbol{\varepsilon}_{32}=-\boldsymbol{\varepsilon}_{23}$, то окончательно будем иметь:
\[
d \Omega_{1}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{23}+\varepsilon_{23}\right)=\varepsilon_{23},
\]

что согласуется с (4.91).
Аналогично, составляющие $d \Omega_{i}^{\prime}$, являющиеся составляющими вектора $d \boldsymbol{\Omega}$ в новой системе координат, можно записать в виде
\[
d \Omega_{i}^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{j, k} \delta_{i j k} \varepsilon_{j k}^{\prime} .
\]

Так как $\mathbf{B}^{-1}=\widetilde{\mathbf{B}}$, то преобразованные матричные элементы $\boldsymbol{\varepsilon}_{j k}^{\prime}$ связаны с элементами $\varepsilon_{m n}$ равенствами
\[
\boldsymbol{\varepsilon}_{j k}^{\prime}=\sum_{m, n} b_{j m} \boldsymbol{\varepsilon}_{m n} b_{k n},
\]

и поэтому $d \Omega_{i}^{\prime}$ можно представить в виде
\[
d \Omega_{i}^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{\substack{j, k \\ m, n}} \delta_{i j k} b_{j m} b_{k n} \varepsilon_{m n} .
\]

Пользуясь символом Леви-Чивита, можно выразить также $\varepsilon_{m n}$ через $d \Omega_{l}$ :
\[
\varepsilon_{m n}=\sum_{l} \delta_{l m n} d \Omega_{l}
\]

и поэтому составляющие $d \Omega^{\prime}$ будут выражаться через составляющие $d \Omega$ следующим образом:
\[
d \Omega_{i}^{\prime}=\frac{1}{2} \sum_{\substack{j, k, l \\ m, n}} \delta_{i j k} \delta_{l m n} b_{j m} b_{k n} d \Omega_{l} .
\]

Покажем теперь, что суммирование по $j, k, m$ и $n$ приводит к следующему простому результату:
\[
\frac{1}{2} \sum_{\substack{l, k \\ m, n}} \delta_{i l_{k}} \delta_{l m n} b_{l m} b_{k n}=b_{i l}|\mathrm{~B}| .
\]

Доказательство этого основывается на следующем выражении для величины детерминанта:
\[
\sum_{l, m, n} \delta_{l m n} b_{i l} b_{j m} b_{k n}=|\mathrm{B}|
\]

где $i, j, k$ – числа, получающиеся с помощью четной, т. е. циклической, перестановки чисел $1,2,3$. Если же $i, j, k$ будут образовывать нечетную перестановку чисел $1,2,3$, соответствующую нечетному числу перемен мест, то эта сумма будет отличаться от детерминанта $|\mathrm{B}|$ только знаком. Поэтому
\[
\frac{1}{2} \sum_{\substack{l, k \\ l, m, n}} \delta_{i l k} \delta_{l m n} b_{i l} b_{l m} b_{k n}=|\mathrm{B}| .
\]

Но из ортогональности матрицы В следует тождество
\[
\sum_{l} b_{l l}^{2}=1,
\]

которое можно ввести в правую часть предыдущего равенства. Проделав это, получим
\[
\sum_{l} b_{i l} \frac{1}{2} \sum_{\substack{l, k \\ m, n}} \delta_{i j k} \delta_{l m n} b_{j m} b_{k n}=\sum_{l} b_{i l}\left(b_{i l}|\mathrm{~B}|\right) .
\]

Наконец, так как величины $b_{i l}$ являются элементами произвольной ортогональной матрицы, то тождество (4.97) можно считать установленным. Учитывая это, мы получаем следующие уравнения преобразования для $d \Omega_{i}$ :
\[
d \Omega_{i}^{\prime}=|\mathrm{B}| \sum_{l} b_{i l} d \Omega_{l} .
\]

Преобразование (4.98) почти совпадает с линейным преобразованием (4.95), которое можно было предположить априори; разница между ними лишь в коэффициенте |В|. Поэтому для собственных вращений эти преобразования совпадают полностью, но если преобразование В содержит инверсию, то детерминант $|\mathrm{B}|$ вносит в уравнение (4.98) добавочный знак минус. Этот вывод полностью совпадает с тем, который был получен ранее с помощью менее строгих рассуждений. Векторы, преобразующиеся согласно уравнениям (4.98), известны как псевдовекторы. Следует заметить, что бесконечно малым характером матрицы $\varepsilon$ мы нигде в этом доказательстве не пользовались, а исходили лишь из свойств ее симметричности. Следовательно, элементы любой антисимметричной матрицы третьего порядка образуют составляющие псевдовектора.

Хотя в этом смысле $d \boldsymbol{\Omega}$ и не вполне является вектором, однако в большинстве случаев это отступление не имеет значения. Известно, что многие величины, которые обычно считаются векторными, часто наталкиваются на эту «преграду». Так, например, любое векторное произведение двух обычных векторов нужно считать псевдовектором, так как составляющие произведения $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$ равны
\[
C_{i}=A_{j} B_{k}-A_{k} B_{l},
\]

где $i=1,2,3$, а $j$ и $k$ следуют за $i$ в циклическом порядке. Но при инверсии составляющие векторов $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ меняют свой знак, и следовательно, знак $\boldsymbol{C}$ при этом не изменяется, что указывает на то, что это псевдовектор. Примерами псевдовекторов могут служить кинетический момент $\boldsymbol{L}=\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$ и напряженность магнитного поля. Скалярное произведение псевдовектора на вектор называется псевдоскаляром. В то время как истинный скаляр вполне инвариантен относительно ортогональных преобразований, псевдоскаляр изменяет свой знак при любом несобственном вращении.

Когда в начале этого параграфа ставился вопрос о связи вектора с поворотом, считалось очевидным, что направление этого вектора должно совпадать с направлением оси вращения, а его величиной должен быть угол поворота. При этом было установлено, что в случае конечных поворотов такой вектор построить нельзя, но в случае бесконечно малых поворотов эта трудность отпадает, так как, описывая эти повороты с помощью матриц, мы приходим к векторам $d \boldsymbol{\Omega}$, определяющим эти повороты. Теперь мы можем показать, что величина вектора $d \boldsymbol{\Omega}$ и его направление совпадают с теми, которые мы предполагали вначале, когда говорили о векторах конечных вращений.

Из формулы (4.94) видно, что̀ влиянию рассматриваемого бесконечно малого преобразования не подвергаются лишь те векторы, которые параллельны $d \boldsymbol{\Omega}$. Однако известно, что векторы, не изменяющиеся при вращении, должны быть направлены вдоль оси этого вращения, следовательно, эта ось направлена так же, как $d \boldsymbol{\Omega}$. Что касается величины вектора $d \boldsymbol{\Omega}$, то ее легко найти с помощью матрицы $\varepsilon$ в случае, когда ось $z$ совпадает с осью вращения. Сравнивая формулы (4.90) и (4.91), мы видим, что величина вектора $d \boldsymbol{\Omega}$ будет в этом случае равна углу поворота $d \varphi$. Но так как величина вектора (или псевдовектора) инвариантна относительно ортогональных преобразований, то $|d \boldsymbol{\Omega}|$ будет совпадать е углом поворота в любой координатной системе.

Можно рассуждать иначе. Пусть $d \boldsymbol{\Omega}$ обозначает вектор, направленный вдоль оси вращения и равный по величине углу поворота. Тогда, несомненно, будет справедливо уравнение (4.94), в чем можно убедиться с помощью элементарного доказательства. Рассмотрим, например, изменение вектора $r$ при вращении его вокруг оси $z$ на малый угол $d \Omega$ по ходу часовой стрелки (процедура, соответствующая вращению системы координат против хода часовой стрелки). Из рис. 48 видно, что с точностью до величин высшего порядка малости относительно $d \Omega$ величина $|d r|$ равна
\[
|d r|=r \sin \theta d \Omega \text {, }
\]

что совпадает с $|r \times d \boldsymbol{\Omega}|$. Кроме того, $d \boldsymbol{r}$ должно быть перпендикулярно к $d \boldsymbol{\Omega}$ и $r$. Направление этого вектора видно из рис. 48.

Из того факта, что бесконечно малое ортогональное преобразование можно записать в форме (4.94), вытекает также доказательство теоре-
мы Эйлера, не зависящее от доказательства, изложенного ранее. Действительно, любое конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить с помощью последовательных бесконечно малых перемещений. Но так как бесконечно малое преобразование является вращением, то и конечное преобразование также будет вращением.