Рассмотрим систему, гамильтониан которой является константой движения, а все координаты $q_{i}$ являются циклическими. В этом случае обобщенные импульсы $p_{i}$ будут просто постоянными, т. е. будут иметь место равенства
\[
p_{i}=\alpha_{i},
\]

а так как рассматриваемый гамильтониан не содержит явно времени и циклических координат, то можно написать
\[
H=H\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) .
\]

Поэтому уравнения Гамильтона для $\dot{q}_{i}$ будут иметь вид
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial \alpha_{i}}=\omega_{i}
\]

где $\omega_{i}$ – функции только $\alpha_{i}$, т. е. также некоторые постоянные.

Интегрируя уравнения (8.1), будем иметь
\[
q_{i}=\omega_{i} t+\beta_{i}
\]

где $\beta_{i}$ – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями. Таким образом, задача о движении рассматриваемой системы решается очень просто.

Может показаться, что рассмотренная задача имеет лишь академический интерес, так как все обобщенные координаты редко бывают циклическими. Однако каждая материальная система может быть описана с помощью обобщенных координат не единственным образом. Рассматривая,’ например, движение точки в плоскости, можно взять в качестве ее обобщенных координат либо декартовы координаты $x, y$, либо полярные координаты $r, \theta$. Қаждый из этих вариантов, конечно, одинаково допустим, и вопрос о том, какой из них лучше, определяется конкретными особенносгями рассматриваемой задачи. В случае, например, центральных сил координаты $x, y$ являются менее удобными, так как ни одна из них не является циклической; в то время как среди координат $r, \theta$ есть циклическая угол $\theta$. Следовательно, цикличность координат связана со способом их выбора, и в каждом конкретном случае можно подобрать такую систему обобщенных координат, что все они будут циклическими. Разумеется, єсли такая система будет найдена, то дальнейшее решение задачи станет тривиальным. Но так как те обобщенные координаты, которые мы рассматриваем как наиболее естественные для данной системы, обычно не являются циклическими, то мы должны разработать специальную процедуру для перехода от одної системы координат к другой; являющейся более подходящей.

Преобразования, с которыми мы встречались до сих пор, представляли переход от старых координат $q_{i}$ к новым координатам $Q_{i}$. Такие преобразования выражались уравнениями вида
\[
Q_{i}=Q_{i}(q, t) .
\]

Такой вид имели, например, уравнения ортогонального преобразования или уравнения перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем называть такие преобразования точечными. Однако в методе Гамильтона импульсы являются такими же независимыми переменными, как и обобщенные координаты. Поэтому мы должны расширить понятие преобразова: ния координат и включить в него одновременное преобразование как независимых координат $q_{i}$, так и независимых импульсов $p_{i}$.Таким образом, мы будем иметь дело с преобразованием; описываемым уравнениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
Q_{i}=Q_{i}(q, p, t), \\
P_{i}=P_{i}(q, p, t),
\end{array}\right\}
\]

где $Q_{i}$ – новые координаты, а $P_{i}$ – новые импульсы. Следовательно, новые координаты будут выражаться не только через старые координаты $q_{i}$, но и через старые импульсы $p_{i}$.

Желая сохранить струкғуру исходных уравнений движения, мы будем интересоваться лишь такими преобразованиями, при которых новые переменные $Q, P$ являются каноническими. Следовательно, мы требуем, чтобы новые уравнения имели ту же форму, что и уравнения Гамильтона, т. е. записывались в виде:
\[
\dot{Q}_{i}=\frac{\partial K}{\partial P_{i}}, \quad \dot{P}_{i}=\frac{\partial K}{\partial Q_{i}},
\]

где $K(Q, P, t)$ – некоторая функция новых переменных и времени, играющая роль нового гамильтониана. Преобразования, удовлетворяющие этому условию, называются каноническими*).

Так как переменные $Q_{i}$ и $P_{i}$ должны быть каноническими, то они должны удовлетворять принципу Гамильтона, записанному в этих переменных, т. е. должны удовлетворять уравнению
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\Sigma P_{i} \dot{Q}_{i}-K(Q, P, t)\right] d t=0 .
\]

В то же время старые переменные будут, конечно, удовлетворять принципу
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\Sigma p_{i} \dot{q}_{i}-H(q, p, t)\right] d t=0 .
\]

Таким образом, равенства (8.6) и (8.7) будут удовлетвөряться одновременно. Отсюда не следует, конечно, что функции, стоящие в этих равенствах под знаком. интеграла, будут одинаковы, но следует, что они могут отличаться не больше, чем на полную производную по времени от какой-либо функции $F$. Действи-
*) Применяется гакже термин контактное преобразование. Иногда эти понятия различаются, но разные авторы делают это по-разному. Некоторые из них (например, А. Зоммерфельд в книге «Atomic Structure and Spectral Lines») относят к контактным преобразованиям лишь такие, при которых время не содержится явным образом в уравнения преобразования [см. уравнения (8.4)]. Другие же (возможно, более корректно) понимают под контактными преобразованиями такие, при которых временная координата $t$ преобразовывается наряду с координатами $q_{i}$ и импульсами $p_{i}$, как это делается в ковариантной релятивистской теории. Физики, однако, склонны рассматривать эти два понятия как тождественные, и мы здесь будем следовать их примеру. О применении контактных \”треобразований в проективной геометрии (где, как можно предполагать, ‘и появился этот термин) можно прочесть в уже упоминавшейся книге Зоммерфельда, а также у Қаратеодори в книге «Variationsrechnung».

тельно, интеграл от разности рассматриваемых функций будет тогда равен
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d F}{d t} d t=F(2)-F(1),
\]

и, какова бы ни была функция $F$, вариация его будет равна нулю, так как в конечных точках интегрирования $\delta F$ обращается в нуль. Функция $F$ называется производящей функцией данного преобразования. Мы увидим, что, задавая произвольно функцию $F$, мы однозначно определяем уравнения преобразования (8.4).

Функция $F$, определяющая переход от старых канонических переменных к новым, должна быть функцией как тех, так и других. Поэтому, кроме времени $t$, она может содержать $4 n$ переменных. Но так как старые и новые переменные связаны $2 n$ уравнениями преобразования (8.4), то независимыми из них будут только $2 n$. Поэтому производящую функцию $F$ можно записать в одном из следующих четырех видов:
\[
F_{1}(q, Q, t), \quad F_{2}(q, P, t), \quad F_{3}(p, Q, t), \quad F_{4}(p, P, t) .
\]

Вопрос о том, какой из этих форм пользоваться, связан с конкретными особенностями рассматриваемой задачи. Если, например, мы желаем произвести точечное преобразование [определяемое уравнением (8.3)], то $q$ и $Q$ не будут независимыми переменными, и поэтому производящие функции типа $F_{1}$ следует исключить.

Если мы исходим из функции вида $F_{1}$, то функции, стоящие под знаками интегралов (8.6) и (8.7), будут связаны соотношением
\[
\sum p_{i} \dot{q}_{i}-H=\sum P_{i} \dot{Q}_{i}-K+\frac{d}{d t} F_{1}(q, Q, t),
\]

где
\[
\frac{d F}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial F}{\partial Q_{i}} \dot{Q}_{i}+\frac{\partial F}{\partial t} .
\]

Но так как старые и новые координаты рассматриваются здесь как независимые переменные, то равенство (8.8) будет иметь место только тогда, когда коэффициенты при $\dot{q}_{i}$ и $Q_{i}$ будут в левой части этого равенства такими же, как и в правой. Таким образом, в рассматриваемом случае будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
p_{i}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}, \\
P=-\frac{\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}
\end{array}
\]

и
\[
K=H+\frac{\partial F_{1}}{\partial t} .
\]

Уравнения (8.9a) представляют $n$ соотношений, содержащих только $p_{i}, q_{i}, Q_{i}$ и $t$. С их помощью можно выразить все $Q_{i}$ через $p_{i}, q_{i}$ и $t$. Таким путем мы получим первую часть уравнений преобразования (8.4). После этого мы можем воспользоваться равенствами (8.9b) и получить оставшиеся уравнения преобразования (8.4), для чего достаточно подставить в (8.9b) найденные зависимости $Q_{i}=Q_{i}\left(p_{i}, q_{i}, t\right)$. Наконец, уравнение (8.9c) дает нам возможность получить новый гамильтониан $K$.

Если в качестве независимых переменных выбрать $q_{i}$ и $P_{i}$, то мы будем иметь дело с производящей функцией типа $F_{2}$. Следует, однако, заметить, что переход от независимых переменных $q, Q$ к независимым переменным $q, P$ может быть выполнен посредством преобразования Лежандра, так как согласно (8.9b)
\[
\frac{\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}=-P_{i} .
\]

Это показывает, что производящую функцию $F_{2}$ можно получить из $F_{1}$ с помощью соотношения
\[
F_{2}(q, P, t)=F_{1}(q, Q, t)+\sum_{i} P_{i} Q_{i} .
\]

Разрешая это соотношение относительно $F_{1}$ и подставляя полученный результат в равенство (8.8), мы получаем
\[
\begin{aligned}
\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H & =\sum_{i} P_{i} \dot{Q}_{i}-K+\frac{d}{d t}\left[F_{2}(q, P, t)-\sum_{i} Q_{i} P_{i}\right]= \\
& =-\sum_{i} Q_{i} \dot{P}_{i}-K+\frac{d}{d t} F_{2}(q, P, t) .
\end{aligned}
\]

Повторяя теперь процедуру, проделанную нами с равенством (8.8), т. е. раскрывая производную $\frac{d}{d t} F_{2}(q, P, t)$ и приравнивая соответствующие коэффициенты при $\dot{q}_{i}$ и $\dot{P}_{i}$, мы получаем следующие уравнения преобразования:
\[
\begin{aligned}
p_{i} & =\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}, \\
Q_{i} & =\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{i}}
\end{aligned}
\]

и
\[
K=H+\frac{\partial F_{2}}{\partial t} \text {. }
\]

Выразив из уравнений (8.11а) $P_{i}$ через $q_{i}, p_{i}$ и $t$, мы получим вторую группу уравнений (8.4). Первая группа этих уравнений может после этого быть получена с помощью уравнений (8.11b). Из (8.9a) видно, что производящую функцию $F_{3}(p, Q, t)$ тоже можно связать с $F_{1}$ посредством преобразования Лежандра. Таким образом, будем иметь
\[
F_{1}(q, Q, t)=\Sigma q_{i} p_{i}+F_{3}(Q, p, t)
\]

и поэтому равенство (8.8) принимает вид
\[
-\sum q_{i} p_{i}-H=\sum P_{i} \dot{Q}_{i}-K+\frac{d}{d t} F_{3}(p, Q, t) .
\]

Приравнивая теперь соответствующие коэффициенты, мы приходим к уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
q_{i}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial p_{i}}, \\
P_{i}=-\frac{\partial F_{3}}{\partial Q_{i}} .
\end{array}
\]

и
\[
K=H+\frac{\partial F_{3}}{\partial t} .
\]

Қак и ранее, мы из (8.14а) можем получить $Q_{i}$ как функции $q$, $p, t$, и тогда уравнения (8.14b) дадут нам новые импульсы $P_{i}$, выраженные через старые переменные.
$\because$ Наконец, в случае, когда в качестве независимых переменных берутся импульсы $p_{i}$ и $P_{i}$, производящая функция $F_{4}$ может быть связана с $F_{1}$ двойным преобразованием Лежандра
\[
F_{4}(p, P, t)=F_{1}(q, Q, t)+\sum_{i} P_{i} Q_{i}-\sum_{i} p_{i} q_{i} .
\]

Тогда равенство (8.8) примет вид
\[
-\sum q_{i} \dot{p}_{i}-H=-\sum Q_{i} \dot{P}_{i}-K+\frac{d}{d t} F_{4}(p, P, t)
\]

и поэтому будем иметь:
\[
\begin{aligned}
q_{i} & =-\frac{\partial F_{4}}{\partial p_{i}}, \\
Q_{i} & =\frac{\partial F_{4}}{\partial P_{i}}
\end{aligned}
\]

и
\[
K=H+\frac{\partial F_{4}}{\partial t} .
\]

Во всех этих рассуждениях время рассматривалось как инвариантный параметр, .не преабразующийся вместе с координатами и импульсами. Такое преобразование времени автоматически совершается в релятивистской теории уравнений Гамильтона, где инвариантным параметром системы является местное время $\tau$, а обычное время $t$ играет роль одной из координат. Мы, однако, сейчас увидим, что в обычное каноническое преобразование тоже можно ввести изменение маситаба времени (отличное от того, кӧторое дается преобразованием Лоренца).

Так как мы не будем более считать время инвариантным, то нужно ввести некоторый другой параметр, который займет теперь его место. Роль такого параметра может играть любая инвариантная величина, характеризующая степень продвижения системы вдоль ее траектории в пространстве конфигураций. Обозначая этот параметр через $\theta$, мы можем записать модифицированный принцип Гамильтона в виде
\[
\delta \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\left(\sum_{i}^{n} p_{i} \dot{q}_{i} \frac{d t}{d \theta}-H \frac{d t}{d \theta}\right) d \theta=0,
\]

или
\[
\delta \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\left(\sum_{i}^{n} p_{i} \frac{d q_{i}}{d \theta}-H \frac{d t}{d \theta}\right) d \theta=0 .
\]

Форма этого равенства показывает, что $t$ можно рассматривать как $(n+1)$-ю обобщенную координату, а $H$-как соответствующий ей обобщенный импульс*). Поэтому модифицированный принцип Гамильтона можно записать также в виде
\[
\delta \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sum_{i=1}^{n+1} p_{i} q_{i}^{\prime} d \theta=0,
\]

где через $q_{i}^{\prime}$ обозначена производная $\frac{d q_{i}}{d \theta}$. После канонического преобразования переменных (включая $t$ ) этот принцип примет вид
\[
\delta \int_{\theta_{i}}^{\theta_{2}} \sum_{i=1}^{n+1} P_{i} Q_{i}^{\prime} d \theta=0
\]

где $Q_{n+1}$ – преобразованное время, а $P_{n+1}$ – новый гамильтониан $K$. Следуя теперь той же процедуре, которая применялась
*) Это немного напоминает релятивистское равенство $p_{4}=i H / c$, где $p_{4}$ – обобщенный импульс, соответствующий координате $x_{4}=$ ict. Однако это сходство является чисто формальным и не указывает на какую-либо физигескую связь со специальной теорией относительности.

нами раньше, мы можем ввести производящую функцию $G\left(q_{i}, P_{i}\right)$ и с ее помощью получить $(2 n+2)$ равенства:
\[
\begin{aligned}
p_{i} & =\frac{\partial G}{\partial q_{i}}, \\
Q_{i} & =\frac{\partial G}{\partial P_{i}},
\end{aligned}
\]

определяющие искомые уравнения преобразования.
Таким образом, мы можем получить канонические преобразования, содержащие изменения масштаба времени. Однако в дальнейшем мы всюду будем предполагать, что время является инвариантом, не подвергающимся преобразованию.