Для более удобного рассмотрения девяти направляющих косинусов целесообразно изменить обозначения и все координаты обозначать символом $x$, различая их посредством соответствующих индексов.

Таким образом, мы будем пользоваться следующими обозначениями:
\[
\left.\begin{array}{l}
x \rightarrow x_{1}, \\
y \rightarrow x_{2} \\
z \rightarrow x_{3}
\end{array}\right\}
\]

В этих обозначениях уравнения (4.6) примут вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\alpha_{3} x_{3}, \\
x_{2}^{\prime}=\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}+\beta_{3} x_{3}, \\
x_{3}^{\prime}=\gamma_{1} x_{1}+\gamma_{2} x_{2}+\gamma_{3} x_{3} .
\end{array}\right\}
\]

Равенства (4.11) представляют собой формулы перехода от системы координат $x_{1} x_{2} x_{3}$ к новой системе $x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime} x_{3}^{\prime}$. Они могут служить примером линейного преобразования, определяемого уравнениями вида:
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+a_{13} x_{3}, \\
x_{2}^{\prime}=a_{21} x_{1}+a_{21} x_{2}+a_{23} x_{3}, \\
x_{3}^{\prime}=a_{31} x_{1}+a_{32} x_{2}+a_{33} x_{3},
\end{array}\right\}
\]

где $a_{11}, a_{12}, \ldots$ – постоянные коэффициенты ${ }^{*}$ ) (не зависящие от $x$ и $x^{\prime}$ ). Уравнения (4.11) являются лишь сіециальным случаем уравнений (4.12), так как не все направляющие косинусы являются независимыми.

Зависимости между коэффициентами рассматриваемого преобразования [формулы (4.8)] можно теперь получить, исходя из равенств (4.12). Так как наши координатные системы являются декартовыми, то в каждой из них величина радиуса-вектора некоторой точки равна корню квадратному из суммы квадратов его составляющих. Но величина вектора не зависит от того, в какой системе координат он рассматривается, и поэтому она должна быть в этих системах одинаковой. Следовательно, величина
\[
\sum_{i=1}^{3}{x_{i}}^{2}=\sum_{i=1}^{3} x_{i}^{2}
\]

является при этом преобразовании инвариантной. Записывая уравнения (4.12) в более компактной форме
\[
x_{i}^{\prime}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} x_{j} \quad(i=1,2,3),
\]
*) Уравнения (4.12) являются, конечно, не самыми общими уравнениями преобразования [см., например, уравғения (1.36), описывающие переход от $\boldsymbol{r}$ к $q]$.

мы для левой части равенства (4.13) получим:
\[
\sum_{i=1}^{3}\left(\sum_{j=1}^{3} a_{i j} x_{j}\right)\left(\sum_{k=1}^{3} a_{i k} x_{k}\right)=\sum_{i=1}^{3} \sum_{l, k=1}^{3} a_{i j} a_{i k} x_{j} x_{k},
\]

или, изменяя порядок суммирования:
\[
\sum_{j, k}\left(\sum_{i} a_{i j} a_{i k}\right) x_{j} x_{k}
\]

Полученное выражение будет равно правой части равенства (4.13) только в том случае, если
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{i} a_{i j} a_{i k}=1 & \text { при } \quad j=k, \\
\sum_{i} a_{i j} a_{i k}=0 & \text { при } \quad j
eq k,
\end{array}
\]

или, в более компактной записи, если
\[
\sum_{i} a_{i j} a_{i k}=\delta_{j k} \quad(j, k=1,2,3) .
\]

Если фигурирующие здесь коэффициенты $a_{i j}$ заменить коэффициентами $\alpha, \beta, \gamma$, то шесть уравнений (4.15) перейдут в уравнения (4.9).

Любое линейное преобразование (4.12), удовлетворяющее условиям (4.15), называется ортогональным, а сами условия (4.15) известны под названием условий ортогональности. Таким образом, переход от неподвижной системы координат к системе, жестко связанной с твердым телом, совершается посредством ортогонального преобразования. Записывая коэффициенты преобразования (направляющие косинусы) в виде таблицы
\[
\left.\| \begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right\rvert\,
\]

мы получаем так называемую матрицу преобразования. Будем обозначать ее через А. Величины $a_{i j}$ называют элементами матрицы преобразования.

Чтобы сделать все эти формальные выкладки более наглядными, мы рассмотрим один простой пример. Пусть рассматриваемое движение является плоским. Тогда соответствующие координатные системы также будут плоскими и индексы при. коэффициентах $a_{i j}$ будут принимать лишь два значения: 1 и 2 . Матрица преобразования будет тогда иметь вид:
\[
\left\|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right\| .
\]

Четыре элемента этой матриць должны быть связаны тремя условиями ортогональности:
\[
\sum_{i=1}^{2} a_{i j} a_{i k}=\delta_{i k} \quad(j, k=1,2) .
\]

Следовательно, это преобразование определяется только одним независимым параметром. Такой вывод не является, конечно, неожиданным, так как переход от одной плоской системы координат к другой осуществляется посредством поворота координатных осей в их плоскости (рис. 40) и поэтому полностью определяется одной величиной: углом поворота $\varphi$. Выразив уравнения этого преобразования через параметр $\varphi$, получим:

Рис. 40. Поворот плоской системы координат, осуществляющий ортогональное преобразование.
\[
\begin{array}{l}
x_{1}^{\prime}=x_{1} \cos \varphi+x_{1} \sin \varphi, \\
x_{2}^{\prime}=-x_{1} \sin \varphi+x_{2} \cos \varphi,
\end{array}
\]

и, следовательно,
\[
\left.\begin{array}{ll}
a_{11}=\cos \varphi, & a_{12}=\sin \varphi, \\
a_{21}=-\sin \varphi, & a_{22}=\cos \varphi,
\end{array}\right\}
\]

так что матрица $A$ примет вид
\[
A=\left\|\begin{array}{rr}
\cos \varphi & \sin \varphi \\
-\sin \varphi & \cos \varphi
\end{array}\right\| .
\]

Три условия ортогональности будут здесь иметь вид:
\[
\begin{array}{l}
a_{11} a_{11}+a_{21} a_{21}=1, \\
a_{12} a_{12}+a_{22} a_{22}=1, \\
a_{11} a_{12}+a_{21} a_{22}=0
\end{array}
\]

и, очевидно, будут удовлетворены, так как, заменяя элементы $a_{i}$ их выражениями (4.17), получаем:
\[
\begin{aligned}
\cos ^{2} \varphi+\sin ^{2} \varphi & =1, \\
\sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi & =1, \\
\cos \varphi \sin \varphi-\sin \varphi \cos \varphi & =0 .
\end{aligned}
\]

Матрицу А можно рассматривать как оператор, который, действуя на систему $x_{1} x_{2} x_{3}$, преобразует ее в систему $x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime} x_{3}^{\prime}$. Символически это можно записать в виде равенства
\[
(\boldsymbol{r})^{\prime}=\mathrm{Ar} \text {, }
\]

которое мы прочтем следующим образом: матрица $A$, действуя на составляющие вектора $\boldsymbol{r}$ в системе $x_{1} x_{2} x_{3}$, переводит их в составляющие этого вектора в системе $x_{1}^{\prime} x_{2}^{\prime} x_{3}^{\prime}$. Следует подчеркнуть, что матрица $\mathbf{A}$ действовала до сих пор только на координатную систему. Вектор $r$ оставался при этом неизменным, и мы лишь искали его компоненты в двух различных системах координат. Поэтому вектор $r$ в левой части формулы (4.18) мы заключили в скобки, подчеркивая тем самым, что в обеих частях этого равенства фигурирует один и тот же вектор, изменяются только его составляющие. Мы видели, что в двумерном случае это преобразование является обычным врацением, а матрица $\mathbf{A}$ совпадает с оператором поворота в рассматриваемой плоскости.

Однако следует иметь в виду, что, не меняя формальной математической стороны, мы можем под А понимать также оператор, действующий на вектор $r$ и преобразующий его в другой вектор $\boldsymbol{r}^{\prime}$. Это можно записать в виде равенства
\[
\boldsymbol{r}^{\prime}=\mathrm{A} \boldsymbol{r}
\]

в котором оба вектора рассматриваются в одной и той же системе координат. Тогда в двумерном случае мы вместо вращения координатной системы получим вращение вектора $r$
Рис. 41. Интерпретация ортогонального преобразования с помощью поворота вектора $r$ в неизменной системе координат. (рис. 41), который нужно будет повернуть по часовой стрелке на угол $\varphi$ для совмещения его с новым вектором $\boldsymbol{r}^{\prime}$. Составляющие нового вектора будут связаны с составляющими старого вектора теми же уравнениями (4.12), которые описывают преобразование системы координат. Поэтому с формальной точки зрения мы в уравнении (4.18) не обязаны ставить скобки. Это уравнение можно писать так же, как уравнение (4.19), и интерпретировать либо как операцию над координатной системой, либо как операцию над вектором. Алгебра соответствующего преобразования не зависит от того, какой из двух точек зрения мы будем придерживаться. Интерпретация матрицы А как оператора, действующего на координатную систему, будет более целесообразна в том случае, когда рассматривается ортогональное преобразование, определяющее ориентацию твердого тела. С другой стороны, интерпретация этой матрицы как оператора, преобразующего один вектор в другой, имеет более широкое применение. При формально математическом рассмотрении можно пользоваться любой из этих интерпретаций в зависимости от удобства. Нужно, однако, помнить, что смысл операции, представляемой оператором $\mathrm{A}$, будет изменяться при изменении интерпретации. Так, например, если в одном случае оператор А означает вращение системы координат на угол $\varphi$ против хода часовой стрелки, то в другом случае он будет означать вращение вектора по ходу часовой стрелки.