ИЗ предыдущего видно, что если система такова, что для нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получення уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и лругие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями $T$ и $V$, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции $T$ и $V$ в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан $L$ и, іодставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых. координат к обобщенным получается для функций $T$ и $V$ с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так,
например, функция $T$ в общем случае вычисляется по формуле
\[
T=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}=\sum_{i} \frac{1}{2} m\left(\sum_{j} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial t}\right)^{2} .
\]

Ясно, что, раскрывая это равенство, мы получим выражение вида
\[
T=a+\sum_{i} a_{j} \dot{q}_{j}+\sum_{i, k} a_{j k} \dot{q}_{j} \dot{q}_{k},
\]

где $a, a_{j}, a_{j k}$ – определенные функции $\boldsymbol{r}$ и $t$ и, следовательно, определенные функции $q$ и $t$. Действительно, сравнивая два последних равенства, получаем:
\[
a=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial t}\right)^{2}, \quad a_{j}=\sum_{i} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial t} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q}
\]

и
\[
a_{j k}=\sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{l}}{\partial q_{k}} .
\]

Если уравнения преобразования не содержат явно времени, т. е. если связи не зависят от времени (склерономные связи), то два первых члена в равенстве (1.62) обращаются в нуль. В этом случае $T$ будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей.
Рассмотрим следующие простые примеры:
1. Движение свободной материальной точки
a) в декартовых координатах,
b) в плоских полярных координатах.
2. Машину Атвуда.
3. Шарик, скользящий вдоль вращающейся проволоки (пример связи, зависящей от времени).
1. Движение свободной материальной точки.
a) В декартовых координатах. В этом случае будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right), \\
\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{\partial T}{\partial y}=\frac{\partial T}{\partial z}=0, \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=(m \dot{x}), \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{y}}=m \dot{y}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{z}}=m \dot{z},
\end{array}
\]

и уравнения движения примут вид:
\[
\frac{d}{d t}(m \dot{x})=F_{x}, \quad \frac{d}{d t}(m \dot{y})=F_{y}, \quad \frac{d}{d t}(m \dot{z})=F_{z},
\]

где $F_{x}, F_{y}, F_{z}$ – обобщенные силы [уравнение (1.50)]. Таким образом, мы вновь пришли к уравнениям Ньютона.
b) В плоских полярных координатах. В этом случае нам нужно выразить $T$ через $\dot{r}$ и $\dot{\theta}$. Уравнения перехода от $x, y$ к $r$, $\theta$, т. е. уравнения (1.36), имеют ьид:
\[
\begin{array}{l}
x=r \cos \theta, \\
y=r \sin \theta,
\end{array}
\]

и поэтому скорости $\dot{x}, \dot{y}$ равны:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\dot{r} \cos \theta-r \dot{\theta} \sin \theta, \\
\dot{y}=\dot{r} \sin \theta+r \dot{\theta} \cos \theta
\end{array}
\]
[согласно (1.43)]. Следовательно, кинетическая энергия $T=$ $=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)$ принимает вид
\[
T=\frac{1}{2} m\left[\dot{r}^{2}+(r \dot{\theta})^{2}\right]
\]

Формулу (1.64) можно получить иначе, если учесть, что вектор скорости имеет в полярных координатах две составляющие: $\dot{r}$ – вдоль $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{r} \dot{\theta}$ – перпендикулярную к $\boldsymbol{r}$ (вдоль направления, определяемого единичным вектором, который мы обозначим через $n$ ). Поэтому величина $v^{2}$ будет в полярных координатах равна $\dot{r}^{2}+(r \dot{\theta})^{2}$.
Обобщенные силы $Q_{r}$ и $Q_{\theta}$ можно получить, исходя из их определения [формула (1.46)], согласно которому
\[
\begin{array}{l}
Q_{r}=\boldsymbol{F} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r}=\boldsymbol{F} \cdot \frac{\boldsymbol{r}}{\boldsymbol{r}}=F_{r}, \\
Q_{\theta}=\boldsymbol{F} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}=\boldsymbol{F} \cdot r \boldsymbol{n}=r F_{\theta}
\end{array}
\]
(в соответствии с определением производной вектор $\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta}$ направлен вдоль $\boldsymbol{n}$; рис. 7).

Так как в данном случае имеются две обобщенные координаты, мы можем получить два уравнения Лагранжа. Для координаты $r$ будем иметь:
\[
\frac{\partial \dot{T}}{\partial r}=m r \dot{\theta}^{2}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{r}}=m \dot{r}, \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{r}}\right)=m \ddot{r},
\]

и соответствующее уравнение получает вид
\[
m \ddot{r}-m r \dot{\theta}^{2}=F_{r} .
\]

Второе слагаемое этого уравнения появляется вследствие наличия центростремительного ускорения.

Для координаты $\theta$ будем иметь:
\[
\frac{\partial T}{\partial \theta}=0, \frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=m r^{2} \dot{\theta}, \quad \frac{d}{d t}\left(m r^{2} \dot{\theta}\right)=m r^{2} \ddot{\theta}+2 m r \dot{r} \dot{\theta},
\]

и соответствующее уравнение примет вид
\[
\frac{d}{d t}\left(m r^{2} \dot{\theta}\right)=m r^{2} \ddot{\theta}+2 m r \dot{r} \dot{\theta}=r F_{\theta} .
\]

Левая часть этого уравнения представляет собой производную по времени от кинетического момента, а правая – момент действующей силы. Таким образом, мы вновь получили уравнение (1.24).
2. Машина Атвуда. Эта машина может служить примером консервативной системы с голономной и склерономной связью (трением в блоке пренеборегаем). Здесь, очевидно, имеется лишь одна независимая координата $x$, так как положение второго груза определяется из того условия, что длина нити, связывающей грузы, равна $l$ (рис. 8). Потенциальная энергия этой системы равна
\[
V=-M_{1} g x-M_{2} g(l-x),
\]

а кинетическая энергия
\[
T=\frac{1}{2}\left(M_{1}+M_{2}\right) \dot{x}^{2} .
\]

Рис. 8. Машина Атвуда.
Следовательно, ее лагранжиан будет иметь вид
\[
L=T-V=\frac{1}{2}\left(M_{1}+M_{2}\right) \dot{x}^{2}+M_{1} g x+M_{2} g(l-x) .
\]

Далее находим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial L}{\partial x}=\left(M_{1}-M_{2}\right) g, \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\left(M_{1}+M_{2}\right) \dot{x}
\end{array}
\]

и получаем
\[
\left(M_{1}+M_{2}\right) \ddot{x}=\left(M_{1}-M_{2}\right) g,
\]

или
\[
\ddot{x}=\frac{M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}} g .
\]

В данном случае мы имеем лишь одно уравнение движения.
Полученный результат совпадает, конечно, с тем, который получается более элементарным путем. На примере этой простой задачи мы показали, что реакции связи — данном случае
натяжение нити – не входят в уравнения Јагранжа. Поэтому определить натяжение нити, пользуясь непосредственно методом Лагранжа, конечно, нельзя.
3. Шарик, скользящий по равномерно вращающейся проволоке в пространстве, свободном от сил. Этот пример выбран нами в качестве иллюстрации системы со связями, зависящими от времени. Уравнения перехода к обобщенным координатам содержат в данном случае время явным образом и имеют вид
\[
\begin{array}{l}
x=r \cos \omega t, \\
y=r \sin \omega t,
\end{array}
\]

где $\omega$ – угловая скорость вращения.
Хотя величину кинетической энергии $T$ можно в данном случае найти так же, как это делалось при получении формулы (1.62), однако проще воспользоваться непосредственно формулой (1.64), учитывая условие связи $\dot{\theta}=\omega$. Тогда получим
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \omega^{2}\right) .
\]
(Заметим, что $T$ в данном случае равно $L$ ). Кинетическая энергия $T$ не является здесь однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей, так как здесь имеется дополнительный член, не содержащий $\dot{r}$. Уравнение движения будет иметь в данном случае вид
\[
m \ddot{r}-m r \omega^{2}=0,
\]

или
\[
\ddot{r}=r \omega^{2} .
\]

Это равенство выражает хорошо известный факт, согласно которому шарик движется от оси вращения под действием центробежной силы.

В данном случае мы, как и ранее, не можем найти рассматриваемым методом реакцию связи, удерживающей шарик на проволоке.
ЗА д А ч и
1. Ядро, находящееся в покое, претерпевая радиоактивный распад, испускает электрон с количеством движения $1,73 \mathrm{Mev} / \mathrm{c}$ и под прямым углом к направлению электрона – нейтрино с количеством движения $1,00 \mathrm{Mev} / \mathrm{c}$. ( $\mathrm{Mev}=10^{6}$ электрон-вольт является единицей энергин, употребляемой в современной физике; она равна $1,59 \cdot 10^{-6}$ эргов. Соответственно Mev/c является единнцей количества движения, равной $0,533 \cdot 10^{-16} \quad г \cdot с м / с е к$ ) В каком направлении будет двигаться само ядро? Чему будет равно его количество движения в Mev $/$ ? Чему будет равна его кинетическая энергия в электронвольтах, если оставшаяся масса ядра равна $3,90 \cdot 10^{-22}$ ??
2. Материальной точке, находящейся на поверхности Земли, сообщена скорость, достаточная для преодоления силы земного притяжения. Показать, нто минимальное значение этой скорости равно приблизительно 11 км/сек.

(Если пренебречь сопротивлением атмосферы, то система будет консервативной. Использовать теорему о сохранении суммы потешциальной и кинетической энергии; влиянне Луны не учитывать.)
3. Движение ракет происходит в соответствии с теоремой о количестве движения. Продукты сгорания топлива отбрасываются назад через ее хвостовую часть, и так как топливо находится внутри самой ракеты, то масса ее не остается постоянной, а убывает по мере сгорания топлива. Показать, что если пренебречь сопротивлением атмосферы, то для ракеты, летящей по вертикали в однородном гравитационном поле, уравнение движения будет иметь вид
\[
m \frac{d v}{d t}=-v^{\prime} \frac{d m}{d t}-m g,
\]

где $m$-масса ракеты, а $v^{\prime}$ – скорость истечения газов относительно ракеты. Проинтегрировать это уравнение и получить $v$ как функцию $m$, считая массовый расход $\frac{d m}{d t}$ постоянным. Рассмотреть ракету, начинающую движение из состояния покоя со скоростью $
u^{\prime}=2$ км/сек и $\left|\frac{d m}{d t}\right|=m_{0} / 60$, где $m_{0}$ – начальная масса (данные близки к ракете Фау-2). Показать, что скорость, достаточную для преодоления земного тяготения, эта ракета сможет достигнуть тогда, когда отношение веса её топлива к весу самой ракеты (без топлива) будет равно приблизительно 300.
4. Точка движется в плоскости, притягиваясь к неподвижному центру силой
\[
F=\frac{1}{r}\left(1-\frac{\dot{t}^{2}-2 \ddot{r} \dot{r}}{c^{2}}\right),
\]

где $r$-расстояиие от центра притяжения. Найти обобщенный потенциал этой силы, а такжө-лагранжиан рассматриваемой системы. (Указанная сила $F$ представляет силу взаимодейсгвия двух заряженных частиц в электродинамике Вебера.)
5. Составить уравнение движения материальной точки, падающей вертикально вниз под действием двух сил: силы тяжести и силы трения, получаемой из диссипативной функции $\frac{1}{2} k v^{2}$. Проинтегрировать полученное уравнение и найти скорость как функцию времени. Показать, что максимальное значение скорости падения (прн $v_{0}=0$ ) равно $v=m g / k$.
6. Две точки равной массы $m$ соединены жестким невесомым стержнем длиной $l$. Середина этого стержня имеет возможность двигаться по окружности радиуса $a$. Выразить кинетическую энергию этой системы в обобщенных координатах.
7. Составить уравнения Лагранжа для сферического маятника, т. е. для точки, связанной посредством жесткого невесомого стержня с неподвижным центром.
8. Система состоит из трех материальных точек равной массы $m$. Между каждыми двумя из них действует сила, обладающая потенциалом
\[
V=-g e^{-\mu r},
\]

где $r$-расстояние между взаимодействующими точками. Кроме того, две из этих точек взаимодействуют с третьей и каждая из сил этого взаимодействия получается из обобщенного потенциала
\[
U=-f v \cdot r
\]

где $v$-относительная скорость взаимодействующих точек, а $f$-некоторая константа. Написать лагранжиан этой системы, выбрав в качестве координат радиус-вектор $R$ центра масс и векторы
\[
\rho_{1}=\boldsymbol{r}_{1}-\boldsymbol{r}_{3}, \quad \rho_{2}=\boldsymbol{r}_{2}-\boldsymbol{r}_{3} .
\]

Будет ли кинетический момент этой системы оставаться неизменным?
9. Две материальные точки с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ связаны нитью, праходящей через отверстие в гладком столе, причем $m_{1}$ находится на поверхности стола, а $m_{2}$ – ниже этой поверхности. Предполагая, что $m_{2}$ двнжется строго по вертикали, выберите обобщенные координаты этой системы и напишите уравнения Лагранжа для нее Постарайтесь выяснить физический смысл каждого из этих уравнений. Сведя задачу к одному дифференциальному уравнению второго порядка, нолучите его первый интеграл. Каков его физический смысл? (Движение рассматривается лишь до тех пор, пока масса $m_{1}$ или $m_{2}$ не пройдет через отверстие.)
10. Составьте лагранжиан и уравнения движения для двойного маятника, изображенного на рис. 5. Длины стержней равны $l_{1}$ и $l_{2}$, а массы грузов соответственно $m_{1}$ и $m_{2}$.