ИЗ предыдущего видно, что если система такова, что для нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получення уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и лругие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями $T$ и $V$, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции $T$ и $V$ в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан $L$ и, іодставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых. координат к обобщенным получается для функций $T$ и $V$ с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так,
например, функция $T$ в общем случае вычисляется по формуле
$$T=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2=\sum _i\frac{1}{2}m{(\sum _j\frac{\partial {\mathit{r}}_i}{\partial q_j}{\dot{q}}_j+\frac{\partial {\mathit{r}}_i}{\partial t})}^2.$$

Ясно, что, раскрывая это равенство, мы получим выражение вида
$$T=a+\sum _i{a}_j{\dot{q}}_j+\sum _{i,k}{a}_{jk}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_k,$$

где $a,a_j,a_{jk}$ — определенные функции $\mathit{r}$ и $t$ и, следовательно, определенные функции $q$ и $t$. Действительно, сравнивая два последних равенства, получаем:
$$a=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{\left(\frac{\partial {\mathit{r}}_i}{\partial t}\right)}^2,a_j=\sum _i{m}_i\frac{\partial {\mathit{r}}_i}{\partial t}\cdot \frac{\partial {\mathit{r}}_i}{\partial q}$$

и
$$a_{jk}=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i\frac{\partial {\mathit{r}}_i}{\partial q_j}\cdot \frac{\partial {\mathit{r}}_l}{\partial q_k}.$$

Если уравнения преобразования не содержат явно времени, т. е. если связи не зависят от времени (склерономные связи), то два первых члена в равенстве (1.62) обращаются в нуль. В этом случае $T$ будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей.
Рассмотрим следующие простые примеры:
1. Движение свободной материальной точки
a) в декартовых координатах,
b) в плоских полярных координатах.
2. Машину Атвуда.
3. Шарик, скользящий вдоль вращающейся проволоки (пример связи, зависящей от времени).
1. Движение свободной материальной точки.
a) В декартовых координатах. В этом случае будем иметь:
$$\begin{array}{c}T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2),\\ \frac{\partial T}{\partial x}=\frac{\partial T}{\partial y}=\frac{\partial T}{\partial z}=0,\\ \frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=(m\dot{x}),\frac{\partial T}{\partial \dot{y}}=m\dot{y},\frac{\partial T}{\partial \dot{z}}=m\dot{z},\end{array}$$

и уравнения движения примут вид:
$$\frac{d}{dt}(m\dot{x})=F_x,\frac{d}{dt}(m\dot{y})=F_y,\frac{d}{dt}(m\dot{z})=F_z,$$

где $F_x,F_y,F_z$ — обобщенные силы [уравнение (1.50)]. Таким образом, мы вновь пришли к уравнениям Ньютона.
b) В плоских полярных координатах. В этом случае нам нужно выразить $T$ через $\dot{r}$ и $\dot{\theta }$. Уравнения перехода от $x,y$ к $r$, $\theta$, т. е. уравнения (1.36), имеют ьид:
$$\begin{array}{l}x=r\cos \theta ,\\ y=r\sin \theta ,\end{array}$$

и поэтому скорости $\dot{x},\dot{y}$ равны:
$$\begin{array}{l}\dot{x}=\dot{r}\cos \theta -r\dot{\theta }\sin \theta ,\\ \dot{y}=\dot{r}\sin \theta +r\dot{\theta }\cos \theta \end{array}$$
[согласно (1.43)]. Следовательно, кинетическая энергия $T=$ $=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)$ принимает вид
$$T=\frac{1}{2}m[{\dot{r}}^2+(r\dot{\theta }{)}^2]$$

Формулу (1.64) можно получить иначе, если учесть, что вектор скорости имеет в полярных координатах две составляющие: $\dot{r}$ — вдоль $\mathit{r}$ и $\mathit{r}\dot{\theta }$ — перпендикулярную к $\mathit{r}$ (вдоль направления, определяемого единичным вектором, который мы обозначим через $n$ ). Поэтому величина $v^2$ будет в полярных координатах равна ${\dot{r}}^2+(r\dot{\theta }{)}^2$.
Обобщенные силы $Q_r$ и $Q_{\theta }$ можно получить, исходя из их определения [формула (1.46)], согласно которому
$$\begin{array}{l}{Q}_r=\mathit{F}\cdot \frac{\partial \mathit{r}}{\partial r}=\mathit{F}\cdot \frac{\mathit{r}}{\mathit{r}}=F_r,\\ Q_{\theta }=\mathit{F}\cdot \frac{\partial \mathit{r}}{\partial \theta }=\mathit{F}\cdot r\mathit{n}=r{F}_{\theta }\end{array}$$
(в соответствии с определением производной вектор $\frac{\partial \mathit{r}}{\partial \theta }$ направлен вдоль $\mathit{n}$; рис. 7).

Так как в данном случае имеются две обобщенные координаты, мы можем получить два уравнения Лагранжа. Для координаты $r$ будем иметь:
$$\frac{\partial \dot{T}}{\partial r}=mr{\dot{\theta }}^2,\frac{\partial T}{\partial \dot{r}}=m\dot{r},\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{r}}\right)=m\ddot{r},$$

и соответствующее уравнение получает вид
$$m\ddot{r}-mr{\dot{\theta }}^2=F_r.$$

Второе слагаемое этого уравнения появляется вследствие наличия центростремительного ускорения.

Для координаты $\theta$ будем иметь:
$$\frac{\partial T}{\partial \theta }=0,\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta }}=m{r}^2\dot{\theta },\frac{d}{dt}\left(m{r}^2\dot{\theta }\right)=m{r}^2\ddot{\theta }+2mr\dot{r}\dot{\theta },$$

и соответствующее уравнение примет вид
$$\frac{d}{dt}\left(m{r}^2\dot{\theta }\right)=m{r}^2\ddot{\theta }+2mr\dot{r}\dot{\theta }=r{F}_{\theta }.$$

Левая часть этого уравнения представляет собой производную по времени от кинетического момента, а правая — момент действующей силы. Таким образом, мы вновь получили уравнение (1.24).
2. Машина Атвуда. Эта машина может служить примером консервативной системы с голономной и склерономной связью (трением в блоке пренеборегаем). Здесь, очевидно, имеется лишь одна независимая координата $x$, так как положение второго груза определяется из того условия, что длина нити, связывающей грузы, равна $l$ (рис. 8). Потенциальная энергия этой системы равна
$$V=-M_{1}gx-M_{2}g(l-x),$$

а кинетическая энергия
$$T=\frac{1}{2}(M_1+M_2){\dot{x}}^2.$$

Рис. 8. Машина Атвуда.
Следовательно, ее лагранжиан будет иметь вид
$$L=T-V=\frac{1}{2}(M_1+M_2){\dot{x}}^2+M_{1}gx+M_{2}g(l-x).$$

Далее находим
$$\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x}=(M_1-M_2)g,\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=(M_1+M_2)\dot{x}\end{array}$$

и получаем
$$(M_1+M_2)\ddot{x}=(M_1-M_2)g,$$

или
$$\ddot{x}=\frac{M_1-M_2}{M_1+M_2}g.$$

В данном случае мы имеем лишь одно уравнение движения.
Полученный результат совпадает, конечно, с тем, который получается более элементарным путем. На примере этой простой задачи мы показали, что реакции связи — данном случае
натяжение нити — не входят в уравнения Јагранжа. Поэтому определить натяжение нити, пользуясь непосредственно методом Лагранжа, конечно, нельзя.
3. Шарик, скользящий по равномерно вращающейся проволоке в пространстве, свободном от сил. Этот пример выбран нами в качестве иллюстрации системы со связями, зависящими от времени. Уравнения перехода к обобщенным координатам содержат в данном случае время явным образом и имеют вид
$$\begin{array}{l}x=r\cos \omega t,\\ y=r\sin \omega t,\end{array}$$

где $\omega$ — угловая скорость вращения.
Хотя величину кинетической энергии $T$ можно в данном случае найти так же, как это делалось при получении формулы (1.62), однако проще воспользоваться непосредственно формулой (1.64), учитывая условие связи $\dot{\theta }=\omega$. Тогда получим
$$T=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\omega }^2).$$
(Заметим, что $T$ в данном случае равно $L$ ). Кинетическая энергия $T$ не является здесь однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей, так как здесь имеется дополнительный член, не содержащий $\dot{r}$. Уравнение движения будет иметь в данном случае вид
$$m\ddot{r}-mr{\omega }^2=0,$$

или
$$\ddot{r}=r{\omega }^2.$$

Это равенство выражает хорошо известный факт, согласно которому шарик движется от оси вращения под действием центробежной силы.

В данном случае мы, как и ранее, не можем найти рассматриваемым методом реакцию связи, удерживающей шарик на проволоке.
ЗА д А ч и
1. Ядро, находящееся в покое, претерпевая радиоактивный распад, испускает электрон с количеством движения $1,73\mathrm{Mev}/\mathrm{c}$ и под прямым углом к направлению электрона — нейтрино с количеством движения $1,00\mathrm{Mev}/\mathrm{c}$. ( $\mathrm{Mev}={10}^6$ электрон-вольт является единицей энергин, употребляемой в современной физике; она равна $1,59\cdot {10}^{-6}$ эргов. Соответственно Mev/c является единнцей количества движения, равной $0,533\cdot {10}^{-16}г\cdot см/сек$ ) В каком направлении будет двигаться само ядро? Чему будет равно его количество движения в Mev $/$ ? Чему будет равна его кинетическая энергия в электронвольтах, если оставшаяся масса ядра равна $3,90\cdot {10}^{-22}$ ??
2. Материальной точке, находящейся на поверхности Земли, сообщена скорость, достаточная для преодоления силы земного притяжения. Показать, нто минимальное значение этой скорости равно приблизительно 11 км/сек.

(Если пренебречь сопротивлением атмосферы, то система будет консервативной. Использовать теорему о сохранении суммы потешциальной и кинетической энергии; влиянне Луны не учитывать.)
3. Движение ракет происходит в соответствии с теоремой о количестве движения. Продукты сгорания топлива отбрасываются назад через ее хвостовую часть, и так как топливо находится внутри самой ракеты, то масса ее не остается постоянной, а убывает по мере сгорания топлива. Показать, что если пренебречь сопротивлением атмосферы, то для ракеты, летящей по вертикали в однородном гравитационном поле, уравнение движения будет иметь вид
$$m\frac{dv}{dt}=-v^{\prime }\frac{dm}{dt}-mg,$$

где $m$-масса ракеты, а $v^{\prime }$ — скорость истечения газов относительно ракеты. Проинтегрировать это уравнение и получить $v$ как функцию $m$, считая массовый расход $\frac{dm}{dt}$ постоянным. Рассмотреть ракету, начинающую движение из состояния покоя со скоростью $u^{\prime }=2$ км/сек и $\left|\frac{dm}{dt}\right|=m_0/60$, где $m_0$ — начальная масса (данные близки к ракете Фау-2). Показать, что скорость, достаточную для преодоления земного тяготения, эта ракета сможет достигнуть тогда, когда отношение веса её топлива к весу самой ракеты (без топлива) будет равно приблизительно 300.
4. Точка движется в плоскости, притягиваясь к неподвижному центру силой
$$F=\frac{1}{r}(1-\frac{{\dot{t}}^2-2\ddot{r}\dot{r}}{c^2}),$$

где $r$-расстояиие от центра притяжения. Найти обобщенный потенциал этой силы, а такжө-лагранжиан рассматриваемой системы. (Указанная сила $F$ представляет силу взаимодейсгвия двух заряженных частиц в электродинамике Вебера.)
5. Составить уравнение движения материальной точки, падающей вертикально вниз под действием двух сил: силы тяжести и силы трения, получаемой из диссипативной функции $\frac{1}{2}k{v}^2$. Проинтегрировать полученное уравнение и найти скорость как функцию времени. Показать, что максимальное значение скорости падения (прн $v_0=0$ ) равно $v=mg/k$.
6. Две точки равной массы $m$ соединены жестким невесомым стержнем длиной $l$. Середина этого стержня имеет возможность двигаться по окружности радиуса $a$. Выразить кинетическую энергию этой системы в обобщенных координатах.
7. Составить уравнения Лагранжа для сферического маятника, т. е. для точки, связанной посредством жесткого невесомого стержня с неподвижным центром.
8. Система состоит из трех материальных точек равной массы $m$. Между каждыми двумя из них действует сила, обладающая потенциалом
$$V=-g{e}^{-\mu r},$$

где $r$-расстояние между взаимодействующими точками. Кроме того, две из этих точек взаимодействуют с третьей и каждая из сил этого взаимодействия получается из обобщенного потенциала
$$U=-fv\cdot r$$

где $v$-относительная скорость взаимодействующих точек, а $f$-некоторая константа. Написать лагранжиан этой системы, выбрав в качестве координат радиус-вектор $R$ центра масс и векторы
$${\rho }_1={\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_3,{\rho }_2={\mathit{r}}_2-{\mathit{r}}_3.$$

Будет ли кинетический момент этой системы оставаться неизменным?
9. Две материальные точки с массами $m_1$ и $m_2$ связаны нитью, праходящей через отверстие в гладком столе, причем $m_1$ находится на поверхности стола, а $m_2$ — ниже этой поверхности. Предполагая, что $m_2$ двнжется строго по вертикали, выберите обобщенные координаты этой системы и напишите уравнения Лагранжа для нее Постарайтесь выяснить физический смысл каждого из этих уравнений. Сведя задачу к одному дифференциальному уравнению второго порядка, нолучите его первый интеграл. Каков его физический смысл? (Движение рассматривается лишь до тех пор, пока масса $m_1$ или $m_2$ не пройдет через отверстие.)
10. Составьте лагранжиан и уравнения движения для двойного маятника, изображенного на рис. 5. Длины стержней равны $l_1$ и $l_2$, а массы грузов соответственно $m_1$ и $m_2$.