Главная > КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (Г.Голдстейн)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ИЗ предыдущего видно, что если система такова, что для нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получення уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и лругие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями T и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции T и V в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, іодставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых. координат к обобщенным получается для функций T и V с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так,
например, функция T в общем случае вычисляется по формуле
T=i12mivi2=i12m(jriqjq˙j+rit)2.

Ясно, что, раскрывая это равенство, мы получим выражение вида
T=a+iajq˙j+i,kajkq˙jq˙k,

где a,aj,ajk — определенные функции r и t и, следовательно, определенные функции q и t. Действительно, сравнивая два последних равенства, получаем:
a=i12mi(rit)2,aj=imiritriq

и
ajk=i12miriqjrlqk.

Если уравнения преобразования не содержат явно времени, т. е. если связи не зависят от времени (склерономные связи), то два первых члена в равенстве (1.62) обращаются в нуль. В этом случае T будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей.
Рассмотрим следующие простые примеры:
1. Движение свободной материальной точки
a) в декартовых координатах,
b) в плоских полярных координатах.
2. Машину Атвуда.
3. Шарик, скользящий вдоль вращающейся проволоки (пример связи, зависящей от времени).
1. Движение свободной материальной точки.
a) В декартовых координатах. В этом случае будем иметь:
T=12m(x˙2+y˙2+z˙2),Tx=Ty=Tz=0,Tx˙=(mx˙),Ty˙=my˙,Tz˙=mz˙,

и уравнения движения примут вид:
ddt(mx˙)=Fx,ddt(my˙)=Fy,ddt(mz˙)=Fz,

где Fx,Fy,Fz — обобщенные силы [уравнение (1.50)]. Таким образом, мы вновь пришли к уравнениям Ньютона.
b) В плоских полярных координатах. В этом случае нам нужно выразить T через r˙ и θ˙. Уравнения перехода от x,y к r, θ, т. е. уравнения (1.36), имеют ьид:
x=rcosθ,y=rsinθ,

и поэтому скорости x˙,y˙ равны:
x˙=r˙cosθrθ˙sinθ,y˙=r˙sinθ+rθ˙cosθ
[согласно (1.43)]. Следовательно, кинетическая энергия T= =12m(x˙2+y˙2) принимает вид
T=12m[r˙2+(rθ˙)2]

Формулу (1.64) можно получить иначе, если учесть, что вектор скорости имеет в полярных координатах две составляющие: r˙ — вдоль r и rθ˙ — перпендикулярную к r (вдоль направления, определяемого единичным вектором, который мы обозначим через n ). Поэтому величина v2 будет в полярных координатах равна r˙2+(rθ˙)2.
Обобщенные силы Qr и Qθ можно получить, исходя из их определения [формула (1.46)], согласно которому
Qr=Frr=Frr=Fr,Qθ=Frθ=Frn=rFθ
(в соответствии с определением производной вектор rθ направлен вдоль n; рис. 7).

Так как в данном случае имеются две обобщенные координаты, мы можем получить два уравнения Лагранжа. Для координаты r будем иметь:
T˙r=mrθ˙2,Tr˙=mr˙,ddt(Tr˙)=mr¨,

и соответствующее уравнение получает вид
mr¨mrθ˙2=Fr.

Второе слагаемое этого уравнения появляется вследствие наличия центростремительного ускорения.

Для координаты θ будем иметь:
Tθ=0,Tθ˙=mr2θ˙,ddt(mr2θ˙)=mr2θ¨+2mrr˙θ˙,

и соответствующее уравнение примет вид
ddt(mr2θ˙)=mr2θ¨+2mrr˙θ˙=rFθ.

Левая часть этого уравнения представляет собой производную по времени от кинетического момента, а правая — момент действующей силы. Таким образом, мы вновь получили уравнение (1.24).
2. Машина Атвуда. Эта машина может служить примером консервативной системы с голономной и склерономной связью (трением в блоке пренеборегаем). Здесь, очевидно, имеется лишь одна независимая координата x, так как положение второго груза определяется из того условия, что длина нити, связывающей грузы, равна l (рис. 8). Потенциальная энергия этой системы равна
V=M1gxM2g(lx),

а кинетическая энергия
T=12(M1+M2)x˙2.

Рис. 8. Машина Атвуда.
Следовательно, ее лагранжиан будет иметь вид
L=TV=12(M1+M2)x˙2+M1gx+M2g(lx).

Далее находим
Lx=(M1M2)g,Lx˙=(M1+M2)x˙

и получаем
(M1+M2)x¨=(M1M2)g,

или
x¨=M1M2M1+M2g.

В данном случае мы имеем лишь одно уравнение движения.
Полученный результат совпадает, конечно, с тем, который получается более элементарным путем. На примере этой простой задачи мы показали, что реакции связи — данном случае
натяжение нити — не входят в уравнения Јагранжа. Поэтому определить натяжение нити, пользуясь непосредственно методом Лагранжа, конечно, нельзя.
3. Шарик, скользящий по равномерно вращающейся проволоке в пространстве, свободном от сил. Этот пример выбран нами в качестве иллюстрации системы со связями, зависящими от времени. Уравнения перехода к обобщенным координатам содержат в данном случае время явным образом и имеют вид
x=rcosωt,y=rsinωt,

где ω — угловая скорость вращения.
Хотя величину кинетической энергии T можно в данном случае найти так же, как это делалось при получении формулы (1.62), однако проще воспользоваться непосредственно формулой (1.64), учитывая условие связи θ˙=ω. Тогда получим
T=12m(r˙2+r2ω2).
(Заметим, что T в данном случае равно L ). Кинетическая энергия T не является здесь однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей, так как здесь имеется дополнительный член, не содержащий r˙. Уравнение движения будет иметь в данном случае вид
mr¨mrω2=0,

или
r¨=rω2.

Это равенство выражает хорошо известный факт, согласно которому шарик движется от оси вращения под действием центробежной силы.

В данном случае мы, как и ранее, не можем найти рассматриваемым методом реакцию связи, удерживающей шарик на проволоке.
ЗА д А ч и
1. Ядро, находящееся в покое, претерпевая радиоактивный распад, испускает электрон с количеством движения 1,73Mev/c и под прямым углом к направлению электрона — нейтрино с количеством движения 1,00Mev/c. ( Mev=106 электрон-вольт является единицей энергин, употребляемой в современной физике; она равна 1,59106 эргов. Соответственно Mev/c является единнцей количества движения, равной 0,5331016гсм/сек ) В каком направлении будет двигаться само ядро? Чему будет равно его количество движения в Mev / ? Чему будет равна его кинетическая энергия в электронвольтах, если оставшаяся масса ядра равна 3,901022 ??
2. Материальной точке, находящейся на поверхности Земли, сообщена скорость, достаточная для преодоления силы земного притяжения. Показать, нто минимальное значение этой скорости равно приблизительно 11 км/сек.

(Если пренебречь сопротивлением атмосферы, то система будет консервативной. Использовать теорему о сохранении суммы потешциальной и кинетической энергии; влиянне Луны не учитывать.)
3. Движение ракет происходит в соответствии с теоремой о количестве движения. Продукты сгорания топлива отбрасываются назад через ее хвостовую часть, и так как топливо находится внутри самой ракеты, то масса ее не остается постоянной, а убывает по мере сгорания топлива. Показать, что если пренебречь сопротивлением атмосферы, то для ракеты, летящей по вертикали в однородном гравитационном поле, уравнение движения будет иметь вид
mdvdt=vdmdtmg,

где m-масса ракеты, а v — скорость истечения газов относительно ракеты. Проинтегрировать это уравнение и получить v как функцию m, считая массовый расход dmdt постоянным. Рассмотреть ракету, начинающую движение из состояния покоя со скоростью u=2 км/сек и |dmdt|=m0/60, где m0 — начальная масса (данные близки к ракете Фау-2). Показать, что скорость, достаточную для преодоления земного тяготения, эта ракета сможет достигнуть тогда, когда отношение веса её топлива к весу самой ракеты (без топлива) будет равно приблизительно 300.
4. Точка движется в плоскости, притягиваясь к неподвижному центру силой
F=1r(1t˙22r¨r˙c2),

где r-расстояиие от центра притяжения. Найти обобщенный потенциал этой силы, а такжө-лагранжиан рассматриваемой системы. (Указанная сила F представляет силу взаимодейсгвия двух заряженных частиц в электродинамике Вебера.)
5. Составить уравнение движения материальной точки, падающей вертикально вниз под действием двух сил: силы тяжести и силы трения, получаемой из диссипативной функции 12kv2. Проинтегрировать полученное уравнение и найти скорость как функцию времени. Показать, что максимальное значение скорости падения (прн v0=0 ) равно v=mg/k.
6. Две точки равной массы m соединены жестким невесомым стержнем длиной l. Середина этого стержня имеет возможность двигаться по окружности радиуса a. Выразить кинетическую энергию этой системы в обобщенных координатах.
7. Составить уравнения Лагранжа для сферического маятника, т. е. для точки, связанной посредством жесткого невесомого стержня с неподвижным центром.
8. Система состоит из трех материальных точек равной массы m. Между каждыми двумя из них действует сила, обладающая потенциалом
V=geμr,

где r-расстояние между взаимодействующими точками. Кроме того, две из этих точек взаимодействуют с третьей и каждая из сил этого взаимодействия получается из обобщенного потенциала
U=fvr

где v-относительная скорость взаимодействующих точек, а f-некоторая константа. Написать лагранжиан этой системы, выбрав в качестве координат радиус-вектор R центра масс и векторы
ρ1=r1r3,ρ2=r2r3.

Будет ли кинетический момент этой системы оставаться неизменным?
9. Две материальные точки с массами m1 и m2 связаны нитью, праходящей через отверстие в гладком столе, причем m1 находится на поверхности стола, а m2 — ниже этой поверхности. Предполагая, что m2 двнжется строго по вертикали, выберите обобщенные координаты этой системы и напишите уравнения Лагранжа для нее Постарайтесь выяснить физический смысл каждого из этих уравнений. Сведя задачу к одному дифференциальному уравнению второго порядка, нолучите его первый интеграл. Каков его физический смысл? (Движение рассматривается лишь до тех пор, пока масса m1 или m2 не пройдет через отверстие.)
10. Составьте лагранжиан и уравнения движения для двойного маятника, изображенного на рис. 5. Длины стержней равны l1 и l2, а массы грузов соответственно m1 и m2.

1
Оглавление
email@scask.ru