Уравнения Лагранжа можно представить в форме, подобной (1.53), и тогда, когда система не является консервативной в обычном смысле слова. Это удается сделать в том случае, когда обобщенные силы $Q_{j}$ можно получить из функции $U\left(q_{j}, \dot{q}_{j}\right)$ посредством равенства
\[
Q_{i}=-\frac{\partial U}{\partial q_{j}}+\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{j}}\right) .
\]

В этом случае уравнения (1.53) получаются из уравнений (1.50) при лагранжиане, равном
\[
L=T-U \text {. }
\]

Величину $U$ можно назвать «обобщенным потенциалом» или «потенциалом, зависящим от скорости»*). Возможность использования такого «потенциала» имеет не только академический интерес; такой потенциал можно применить к очень важному силовому полю – полю электромагнитных сил, действующих на движущийся электрический заряд. Учитывая важность этого случая, остановимся на нем несколько подробнее.
В единицах системы Гаусса уравнения Максвелла имеют вид:
\[
\left.\begin{array}{ll}

abla \times \boldsymbol{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}=0, &
abla \cdot \boldsymbol{D}=4 \pi \rho, \\

abla \times \boldsymbol{H}-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}=\frac{4 \pi \boldsymbol{j}}{c}, &
abla \cdot \boldsymbol{B}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Известно, что сила, действующая на заряд $q$, не вполне определяется электрической силой
\[
\boldsymbol{F}=q \boldsymbol{E}=-q
abla \varphi,
\]
*) История этого термина довольно курьезна. По-видимому, он был сначала введен (и ошибочно) Вебером в классической электродинамике, где постулируются силы, зависящие от скорости. Немецкий математик Е. Шеринг был, видимо, первый, кто серьезно пытался ввести такие силы в механику (cм. Gött. Abh. 18, 3, 1873). Так, например, в первом издании Уиттекера, Аналитическая динамика, 1904 , есть ссылка на потенциал в смысле «потенциальной функции Шеринга». Однако этот термин, по-видимому, не вошел в употребление, так как в последующих изданиях он был исключен. Мы отдаем предпочтение термину «обобщенный потенциал», включая в это понятие также и обычную потенциальную энергию, являющуюся функцией только положения.

и, следовательно, этот заряд не является консервативной системой в обычном смысле. Полная сила, действующая на движущийся заряд, равна
\[
\boldsymbol{F}=q\left\{\boldsymbol{E}+\frac{1}{c}(\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B})\right\} .
\]

Вектор $\boldsymbol{E}$ не есть градиент скалярной функции, так как $
abla \times \boldsymbol{E}
eq 0 ;$ из равенства $
abla \cdot \boldsymbol{B}=0$ следует, что вектор $\boldsymbol{B}$ можно представить в виде
\[
\boldsymbol{B}=
abla \times \boldsymbol{A},
\]

где $\boldsymbol{A}$ – так называемый векторный магнитный потенциал. Тогда первое из уравнений (1.55) примет вид
\[

abla \times \boldsymbol{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}(
abla \times \boldsymbol{A})=
abla \times\left(\boldsymbol{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=0,
\]

что позволяет написать
\[
\boldsymbol{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=-
abla \varphi
\]

или
\[
\boldsymbol{E}=-
abla \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} .
\]

Отсюда следует, что так называемая сила Јоренца (1.56) выражается через потенциалы $\varphi$ и $\boldsymbol{A}$ следующим образом:
\[
\boldsymbol{F}=q\left\{-
abla \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}+\frac{1}{c}(\boldsymbol{v} \times
abla \times \boldsymbol{A})\right\} .
\]

Члены равенства (1.59) можно записать в более удобной форме. Для того чтобы получить ее, рассмотрим составляющие
\[
(
abla \varphi)_{x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
(v \times
abla \times \boldsymbol{A})_{x}=v_{y}\left(\frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right)-v_{z}\left(\frac{\partial A_{x}}{\partial z}-\frac{\partial A_{z}}{\partial x}\right)= \\
=v_{y} \frac{\partial A_{y}}{\partial x}+v_{z} \frac{\partial A_{z}}{\partial x}+v_{x} \frac{\partial A_{x}}{\partial x}-v_{y} \frac{\partial A_{x}}{\partial y}-v_{z} \frac{\partial A_{x}}{\partial z}-v_{x} \frac{\partial A_{x}}{\partial x} .
\end{array}
\]
(В последнем выражении мы добавили и вычли член $v_{x} \frac{\partial A_{x}}{\partial x}$.) Полная производная $A_{x}$ по времени равна
\[
\frac{d A_{x}}{d t}=\frac{\partial A_{x}}{\partial t}+\left(v_{x} \frac{\partial A_{x}}{\partial x}+v_{y} \frac{\partial A_{x}}{\partial y}+v_{z} \frac{\partial A_{x}}{\partial z}\right) .
\]

Первый член здесь возникает вследствие непосредственного изменения $A_{x}$ со временем, а второй – вследствие движения заряда, так как это приводит к изменению координат точки, к которой относится $A_{x}$. Учитывая предыдущие равенства, можно составляющую $(v \times
abla \times A)_{x}$ записать в виде
\[
(v \times
abla \times \boldsymbol{A})_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A})-\frac{d A_{x}}{d t}+\frac{\partial A_{x}}{\partial t},
\]

а составляющую $F_{x}$ в равенстве (1.59) – в виде
\[
F_{x}=q\left\{-\frac{\partial}{\partial x}\left(\varphi-\frac{1}{c} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{A}\right)-\frac{1}{c} \frac{d}{d t}\left[\frac{\partial}{\partial v_{x}}(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v})\right]\right\} .
\]

Так как скалярный потенциал $\varphi$ не зависит от скорости, то это равенство можно написать в виде
\[
F_{x}=-\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{d}{d t} \frac{\partial U}{\partial v_{x}},
\]

где
\[
U=q \varphi-\frac{q}{c} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v} .
\]

Таким образом, величина $U$ является обобщенным потенциалом в смысле (1.54), и, значит, лагранжиан заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле, можно записать в виде
\[
L=T-q \varphi+\frac{q}{c} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{v} .
\]

Следует заметить, что если из сил, действующих на систему, потенциалом обладают лишь некоторые, то уравнения Лагранжа можно записать в виде
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=Q_{j},
\]

где $L$, как и ранее, получается из сил, обладающих потенциалом, а $Q_{j}$ представляют собой обобщенные силы, не имеющие потенциала. Такое положение часто встречается тогда, когда в системе имеются силы трения.

В ряде случаев сила трения пропорциональна скорости движущейся точки, так что ее составляющая по оси $x$ выражается равенством
\[
F_{f x}=-k_{x} v_{x} .
\]

В этих случаях силы трения могут быть выражены через дucсипативную функцию Рйлея, равную
\[
\mathfrak{F}=\frac{1}{2} \sum_{i}\left(k_{x} v_{i x}^{2}+k_{y} v_{i y}^{2}+k_{z} v_{i z}^{2}\right),
\]

где суммирование производится по всем точкам системы. Из этого выражения видно, что
\[
F_{f x}=-\frac{\partial \mathfrak{F}}{\partial v_{x}},
\]

или символически:
\[
F_{f}=-
abla_{v} \mathfrak{F} .
\]

Диссипативной функции можно дать физическую интерпретацию. Работа, расходуемая системой на трение, равна
\[
d W_{f}=-\boldsymbol{F}_{f} \cdot d \boldsymbol{r}=-\boldsymbol{F}_{f} \cdot \boldsymbol{v} d t=\left(k_{x} v_{x}^{2}+k_{y} v_{y}^{2}+k_{z} v_{z}^{2}\right) d t .
\]

Следовательно, величина $2 \mathfrak{F}$ выражает скорость рассеивания энергии вследствие трения. Обобщенные силы, обусловленные рассматриваемыми силами трения, равны
\[
Q_{j}=\sum_{i} \boldsymbol{F}_{i f} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}=-\sum
abla_{v} \mathfrak{F} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{j}}
\]

что согласно (1.48) равно
\[
-\sum
abla_{v} \mathfrak{\mho} \cdot \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=-\frac{\partial \mathfrak{F}}{\partial \dot{q}_{j}} .
\]

Уравнения Лагранжа принимают в этом случае вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}+\frac{\partial \widetilde{\mho}}{\partial \dot{q}_{j}}=0,
\]

и для того, чтобы получить уравнения движения, нужно задать две скалярные функции: $L$ и $\mathfrak{\text { . }}$.